顯式與隱式方法求解含時薛定諤方程及誤差分析

鄭紓寒　潘超鈺　陳保義

摘 要 含時薛定諤方程是量子力學最重要的方程之一，它可以給出不同相互作用勢下體系波函數的演化。相互作用勢的復雜形式使得薛定諤方程一般沒有解析解。如何較準確地數值求解含時薛定諤方程，對許多物理問題有著重要意義。本文采用顯式與隱式的方法求解薛定諤方程。從結果可以發現，隱式的方法得到的波函數精度遠高于顯式方法，且誤差具有收斂性。為了進一步探索隱式格式的可行性，本文還采用有限溫度下的屏蔽勢，利用隱式方法具體求解粲夸克偶素的波函數演化。

關鍵詞 含時薛定諤方程;偏微分方程數值求解;顯隱式格式穩定性分析

在經典物理中，牛頓運動定律給出了物體的狀態在受力情形下的改變規律，而在量子力學中，薛定諤方程給出了物體的波函數在相互作用勢下的改變。在課本中，相互作用勢的形式一般比較簡單，所以含時薛定諤方程可以有解析的解。但在絕大部分真實相互作用下，相互作用勢的形式較復雜，如何數值求解含時薛定諤方程，并得到準確的波函數演化，值得深入探討。

本文將重點討論采用隱式的方法，通過矩陣求逆，來得到波函數的時間演化。通過與顯式的數值方法及一維諧振子模型之下的解析解進行對比，可以發現這種隱式方法的精度很高。為了進一步理解波函數的誤差演化，本文利用格點QCD模型計算在有限溫度的屏蔽勢下，波函數隨著時間的演化。

1 含時薛定諤方程的求解