均勻帶電的無限長直導線電勢問題的正規化處理

高向東　王雯宇　曾定方

摘 要 若在基礎物理課程的教學中合理融入現代物理學研究的概念與方法，則可使學生更好地理解所學知識的應用價值，從而為更高水平的教學和研究作準備。本文以均勻帶電無限長直導線電勢的計算為例，探討了如何在本科二年級的電動力學課程教學中引入和滲透現代量子場論的一些概念和方法。具體內容包括良好的數學定義與病態的數學定義、發散積分的正規化、物理量與非物理量等。本文試圖以較為淺顯的方式來講明這些對于本科生來說太過抽象的物理與數學概念，以幫助學生在未來學習量子場論等現代物理內容時更輕松自然地理解并使用其中的思想與方法，并對數學與物理中一些一般性的相關問題有更好的理解。

關鍵詞 電動力學;教學案例;發散積分;正規化

0 引言

為學生未來進行前沿物理學研究以及工業實踐提供理論與技術基礎是物理學專業基礎課的重要教學目標，但伴隨著基礎理論與應用技術的快速發展以及學生就業前景的多樣化趨勢，當前物理類專業基礎的本科教學與實際科研活動產生了相當大的距離。本科專業基礎課越來越多地轉變為學生后續學習與工業實踐基礎知識的通識課，前沿理論與技術很難直接體現在本科生教學中。在這種背景下，在教學中融入現代前沿物理的概念與方法變得尤為可貴，這一方面能使學生在未來接觸這些概念與方法時不會感覺過分突兀，另一方面也能深化學生對物理學的認知。

基于這種理念，我們在本文中以一個簡單的例子，即電動力學課程中的“均勻帶電無限長直導線的電勢”為例，展示如何在教學中把“物理量與非物理量”“良好的數學定義”“發散的正規化”等重要物理概念和解決問題的方法講明白。這些概念和方法對物理學學生，特別是將來準備從事理論物理研究的學生，理解后續量子場論課程中的正規化重整化等概念以及理論探索研究有一定技術鋪墊意義。

本文在結構上作以下安排：首先我們將指出流行教科書在求解這個問題時的不足之處。在第2節中我們將以網絡上的常見問題“0.9 ? 是否等于1”為例解釋良好與病態數學定義，并以此澄清部分教科書在這一問題上的病態數學定義問題。第3節將給出三種不同的發散積分的“良好數學定義”，即正規化方法，并分別求出均勻帶電無限長直導線的電勢;然后我們分析正規化方案與物理結果之間的關系，幫助學生理解物理量與非物理量的概念區別;最后是全文總結。

1 均勻帶電無限長直導線的電勢

本文主要要討論的是電動力學中一道看似簡單的習題（由于習題很簡單，這里就不畫圖說明了）：

截面積可忽略的無限長直導線上均勻帶電，線電荷密度為τ，試求空間中電勢分布。