“從愛(ài)因斯坦質(zhì)能關(guān)系式推出勾股定理”之荒謬

摘 要 一本數(shù)學(xué)教科書(shū)提出并“證明”勾股定理可以用愛(ài)因斯坦質(zhì)能關(guān)系式推導(dǎo)出來(lái)。教科書(shū)的編寫(xiě)者混淆了愛(ài)因斯坦少年時(shí)對(duì)勾股定理的簡(jiǎn)潔而睿智的純數(shù)學(xué)推導(dǎo)，與多年后提出的著名的物理大發(fā)現(xiàn)———質(zhì)能關(guān)系式。科學(xué)和教育界類(lèi)似的荒謬貽害深遠(yuǎn)，必須予以澄清。

關(guān)鍵詞 勾股定理;質(zhì)能關(guān)系式;荒謬

1 故事的由來(lái)

最近關(guān)于人民教育出版社義務(wù)教科書(shū)八年級(jí)《數(shù)學(xué)自讀課本》[1]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“教科書(shū)”）的“勾股定理與愛(ài)因斯坦質(zhì)能關(guān)系式”的匪夷所思的勾連，引起物理界一陣感嘆。勾股定理與愛(ài)因斯坦質(zhì)能關(guān)系式在科學(xué)上都是重量級(jí)的發(fā)現(xiàn)，而把它們勾連在一起，也可以算是這本號(hào)稱(chēng)“教科書(shū)”的編者們的相當(dāng)驚人的發(fā)現(xiàn)。教科書(shū)的封面就以勾股定理作圖，可見(jiàn)它的編者們是拿這件事很以為傲的。

愛(ài)因斯坦本人在11歲時(shí)還真的給出一個(gè)勾股定理的證明，于是想象力豐富的編者就杜撰了下面的故事：

“2005年是愛(ài)因斯坦建立相對(duì)論100周年。愛(ài)因斯坦在相對(duì)論中提出了一個(gè)著名的質(zhì)能方程E=mc2，其中E 表示物質(zhì)所含的所有能量，m 是物質(zhì)的質(zhì)量，c 是光速。這個(gè)質(zhì)能方程是現(xiàn)代制造核武器、核電站的理論基礎(chǔ)。”到這兒，沒(méi)大毛病。接下去：

“據(jù)說(shuō)，勾股定理也曾經(jīng)引起了這位偉大的物理學(xué)家的濃厚興趣，”這也沒(méi)錯(cuò)。然后：“與眾不同的是，愛(ài)因斯坦是用相對(duì)論來(lái)證明勾股定理的。”讀到這兒，筆者不由驚出一身冷汗。相對(duì)論可以證明勾股定理，How？ 這怎么可能呢，怎么有關(guān)聯(lián)了呢？ 學(xué)了這么多年物理竟然不知這等妙聞？ 有趣的還在下面，這個(gè)“證明”原來(lái)如此：

假設(shè)直角三角形的三條邊為a， b， c，過(guò)直角頂點(diǎn)作斜邊 c 的垂線(xiàn)段。

假設(shè)原三角形面積為E，根據(jù)相對(duì)論，有E=mc2。

同理，內(nèi)部被分割出來(lái)的兩個(gè)小三角形的面積為

E（a）=ma2，E（b）=mb2

因?yàn)閮?nèi)部?jī)蓚€(gè)小三角形拼成原三角形，所以

E =E（a） + E（b）

也就是

mc2 =ma2 +mb2

兩邊約去m ，就得到了勾股定理

c2 =a2 +b2

看到這里，不禁拍案叫絕，原來(lái)愛(ài)因斯坦質(zhì)能關(guān)系式可以用來(lái)算直角三角形的面積！ 原來(lái)質(zhì)能關(guān)系式中的光速c，可以就是直角三角形的斜邊長(zhǎng)度c。這種類(lèi)比真是異想天開(kāi)，匪夷所思。為了讓故事更吸引人，教科書(shū)繼續(xù)編造：

“愛(ài)因斯坦這個(gè)證明發(fā)表以后，震驚了國(guó)際數(shù)學(xué)界，大家發(fā)現(xiàn)相對(duì)論原來(lái)有這么大的威力。后來(lái)德國(guó)著名的數(shù)學(xué)刊物‘Mathematische Annolen聘請(qǐng)愛(ài)因斯坦去做了多年的主編。”

好一個(gè)完美動(dòng)聽(tīng)的故事。愛(ài)因斯坦發(fā)表過(guò)這樣的證明嗎？ 他因此而震驚了國(guó)際數(shù)學(xué)界了嗎？ 物理界和數(shù)學(xué)界的朋友們聽(tīng)到這里都目瞪口呆：謊言就這樣明目張膽地寫(xiě)入官方教科書(shū)里？

2 愛(ài)因斯坦對(duì)勾股定理的天才論證

事實(shí)又是如何呢？ 愛(ài)因斯坦證明過(guò)勾股定理還真是歷史事實(shí)，但那是他11歲時(shí)的天才萌發(fā)，離他發(fā)明相對(duì)論還有15年之久，談何以相對(duì)論證明勾股定理？ 一本著名的科學(xué)史著作《分形、混沌和指數(shù)律（Fractals， chaos， power laws）》[2]，論述了勾股定理（西方稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理）的由來(lái)，其中介紹了愛(ài)因斯坦的證明。那一節(jié)的題目就是愛(ài)因斯坦的名言：“我要稍微想一想”（I will alittle think）。這個(gè)稍微想一想，發(fā)生在愛(ài)因斯坦11歲學(xué)習(xí)歐幾里得幾何學(xué)時(shí)。他那時(shí)已經(jīng)有了追求簡(jiǎn)約的思想風(fēng)格，因此覺(jué)得歐幾里得關(guān)于畢達(dá)哥拉斯定理的證明是不必要的繁復(fù)（如果你認(rèn)真看看歐幾里得最初的證明，那里有若干條輔助線(xiàn)，一定會(huì)同意愛(ài)因斯坦的看法），于是只經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的思考（A little thinking），愛(ài)因斯坦給出了一個(gè)十分簡(jiǎn)潔的證明，只需要一根輔助線(xiàn)。這根輔助線(xiàn)把原來(lái)的三角形分成兩個(gè)，顯然這兩個(gè)小三角形和原來(lái)的大三角形彼此相似。如果大三角形斜邊長(zhǎng)度為c，兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度分別為a 和b，則a和b 分別成為兩個(gè)小三角形的斜邊長(zhǎng)度（見(jiàn)圖1）。根據(jù)相似三角形的歐幾里得幾何學(xué)，可以證明這三個(gè)三角形的面積之比等于它們相應(yīng)的一個(gè)邊（例如斜邊）長(zhǎng)度平方之比，因此，這三個(gè)三角形的面積可以用Ea =ma2、Eb=mb2 和Ec=mc2 來(lái)表示，m 是個(gè)無(wú)量綱的常數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，直角三角形的面積是兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度的乘積之半，而兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度之比取決于內(nèi)角，例如圖中b=αa，面積即可以寫(xiě)成ab/2=αa2/2，也就是與一個(gè)邊長(zhǎng)的平方成正比。圖中的三個(gè)三角形是相似三角形，這個(gè)比例系數(shù)a 是相同的，所以這三個(gè)三角形的面積之比等于它們相應(yīng)的一個(gè)邊（例如斜邊）長(zhǎng)度平方之比。這樣，這三個(gè)三角形的面積之間顯然有下列關(guān)系：

Ea +Eb =Ec

即

ma2 +mb2 =mc2

約去常數(shù)m ， 就得到勾股定理。

多么巧妙而簡(jiǎn)潔的證明，出自一位11歲少年之手。細(xì)心的讀者可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里真出現(xiàn)了類(lèi)似相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系式的公式：Ec =mc2，于是“教科書(shū)”大加發(fā)揮，說(shuō)成是愛(ài)因斯坦用相對(duì)論的質(zhì)能關(guān)系式證明了勾股定理。這些編輯絕對(duì)是沒(méi)經(jīng)過(guò)大腦，也不想想在上面的勾股定理證明中，m 只是個(gè)無(wú)量綱的常數(shù)而不是質(zhì)量，c 是個(gè)長(zhǎng)度而不是光速，E 也不是能量而是面積。兩者之間的關(guān)系，除了表面形似，可以說(shuō)風(fēng)馬牛不相及！ 讓人不得不佩服編輯們的想象力！

3 勾股定理的各種傳奇證明

至于震驚了國(guó)際數(shù)學(xué)界，更是一個(gè)神話(huà)。勾股定理的證明從公元前400多年，至今2600多年，有無(wú)數(shù)智者徜徉于其中尋求樂(lè)趣。就連一位后來(lái)當(dāng)了美國(guó)總統(tǒng)的加菲爾德先生，也給出一個(gè)頗為聰明的證法（見(jiàn)圖2），后被戲稱(chēng)為總統(tǒng)證法[2]。如圖2所示，三角形ABC 的面積是c2/2，AEB 和CBD 兩個(gè)三角形面積都是ab/2。這三者面積之和為直角梯形ABED 的面積（a+b）（a+b）/2。因此

因而

a2 +b2 =c2

這個(gè)證明也頗有新意，說(shuō)明這位后來(lái)的美國(guó)總統(tǒng)確實(shí)智力過(guò)人。

總而言之，勾股定理自古至今堪稱(chēng)人類(lèi)智慧的一個(gè)大賽場(chǎng)，包括吸引了11歲的愛(ài)因斯坦，但是無(wú)論如何，與相對(duì)論無(wú)關(guān)，與質(zhì)能關(guān)系式完全無(wú)關(guān)。

4 相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系式

那么相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系式又是何方神圣呢？ 讓我們引述張?zhí)烊卦凇渡系廴绾卧O(shè)計(jì)世界：愛(ài)因斯坦的困惑》的介紹[3]：

“愛(ài)因斯坦善于‘從一團(tuán)亂麻中尋找出最重要最核心的東西，他天才地在狹義相對(duì)論中導(dǎo)出了描述能量質(zhì)量關(guān)系的質(zhì)能公式：E =mc2，……這個(gè)公式已經(jīng)深入人心，是人類(lèi)歷史上最有名的公式之一，已成為人類(lèi)文化的一部分。”

“狹義相對(duì)論中，三維空間被四維時(shí)空所代替：（t，x，y，z），質(zhì)能關(guān)系表明了靜止質(zhì)量m 和其內(nèi)稟能量的關(guān)系。它表明物體相對(duì)于一個(gè)參照系靜止時(shí)仍然有能量mc2。反之，在真空中傳播的一束光，其靜止質(zhì)量是0，但由于它們有運(yùn)動(dòng)能量，因此它們也有所謂因運(yùn)動(dòng)而具有的‘相對(duì)論質(zhì)量……這個(gè)等式所描述的不是質(zhì)量和能量的互相轉(zhuǎn)化，而是表明了質(zhì)量能量是同一個(gè)東西，物體的質(zhì)量實(shí)際上就是它自身能量的量度。”

質(zhì)量和能量這種關(guān)聯(lián)，不但是物理學(xué)的重大飛躍，也是哲學(xué)上非凡的突破，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)史一個(gè)里程碑式的發(fā)展。

質(zhì)能關(guān)系式的證明，正需要四維時(shí)空的概念。在四維時(shí)空中，可以定義一個(gè)協(xié)變的四維速度：

愛(ài)因斯坦很快意識(shí)到這一項(xiàng)應(yīng)該被理解為能量，因?yàn)楫?dāng)速度v 極大地小于光速c 的時(shí)候，可以用平方根式的二項(xiàng)式展開(kāi)而得到：

E 中包含了兩部分，后面一項(xiàng)顯然就是牛頓力學(xué)中質(zhì)量為m 的粒子的動(dòng)能表達(dá)式，而第一項(xiàng)則可看成是粒子內(nèi)部的能量。當(dāng)速度v=0時(shí)，便得到：E=mc2，即眾所周知的質(zhì)能關(guān)系。

5 結(jié)語(yǔ)

關(guān)于這個(gè)勾股定理與質(zhì)能關(guān)系式的糾纏故事到此可以落幕了。“教科書(shū)”的編者們現(xiàn)在感到尷尬，于是發(fā)了個(gè)聲明，表示“確有文獻(xiàn)記載愛(ài)因斯坦在少年時(shí)，曾運(yùn)用相似、利用兩個(gè)小直角三角形的面積和等于大直角三角形的面積，證明過(guò)勾股定理。但其證明過(guò)程中涉及的公式Ec=mc2 等與相對(duì)論的質(zhì)能方程具有類(lèi)似的形式是一種偶然，并不能說(shuō)明他是利用相對(duì)論證明了勾股定理，因此自讀課本中的有關(guān)表述存在錯(cuò)誤。”這里用“偶然”和“表述存在錯(cuò)誤”來(lái)輕描淡寫(xiě)，實(shí)在看不出誠(chéng)意所在。他們承認(rèn)：“在自讀課本中出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，說(shuō)明我們?cè)诰庉嫛徃暹^(guò)程中不夠嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)。”然而這僅僅是不夠嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)嗎？ 這是在褻瀆科學(xué)，是以偽科學(xué)在誤導(dǎo)孩子。最后，這個(gè)聲明的著眼點(diǎn)，其實(shí)是欲蓋彌彰、息事寧人，不想太丟人而已：“現(xiàn)在這個(gè)事已經(jīng)形成了一波輿情，還請(qǐng)老師看到有關(guān)內(nèi)容后不再轉(zhuǎn)發(fā)。”如果真正認(rèn)識(shí)到自己的錯(cuò)誤，以及危害之嚴(yán)重，為什么要遮遮蓋蓋呢？ 難道不應(yīng)該勇敢地向最廣大的讀者群承認(rèn)錯(cuò)誤，挽回?fù)p失嗎？

真誠(chéng)地認(rèn)識(shí)和承認(rèn)錯(cuò)誤，是改正錯(cuò)誤的開(kāi)始。其實(shí)這個(gè)錯(cuò)誤也不完全在幾位編者，他們水平有限、自以為是，固然是事件的直接起因，但更要追究的是：誰(shuí)把教科書(shū)這樣重大的社會(huì)責(zé)任交付給他們？ 在美國(guó)，像費(fèi)曼這樣頂尖的物理學(xué)家曾經(jīng)是中小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)的評(píng)審人。我們這里呢？ 誰(shuí)把中小學(xué)教育和他們的教科書(shū)真正當(dāng)回事了？ 教育，當(dāng)然要從娃娃抓起，幼兒、兒童和少年的教育會(huì)奠定一個(gè)人一生認(rèn)知的基礎(chǔ)，其無(wú)可替代的重要性是不言而喻的！

借鑒于這個(gè)小小的事件，我們期待教育的改革和發(fā)展，期待中國(guó)教育強(qiáng)盛的一天。

6 “荒謬”又一例

最近，一則小魔術(shù)風(fēng)靡一時(shí)。表演者擺出六張帶人物形象的撲克牌（J，Q，K），請(qǐng)觀眾任選一張，默記于心。表演者聲稱(chēng)可以讀出你選的是哪張牌。然后洗牌，重新亮出五張，觀眾選定的那張牌果然不見(jiàn)了。看起來(lái)非常神奇、不可思議，號(hào)稱(chēng)世紀(jì)之謎。于是各種解釋匪夷所思。最荒謬的一種是把這說(shuō)成是“量子糾纏”效應(yīng)，認(rèn)為表演者基于量子糾纏，“讀出”了觀眾的量子信息。

其實(shí)說(shuō)穿了，這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的魔術(shù)。帶人物形象的撲克牌總共有12張。表演者先擺出任意六張，然后從另外剩下的六張中任選五張擺出，當(dāng)然原先的都不在里面。所以你任意選定一張，都不會(huì)出現(xiàn)。如此而已。請(qǐng)看下圖。這樣簡(jiǎn)單的魔術(shù)騙過(guò)了許多人。

由此可見(jiàn)，關(guān)于量子糾纏，已經(jīng)被誤解到何種程度。筆者在《物理》雜志上曾經(jīng)撰文闡述2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的科學(xué)內(nèi)涵[4]，其摘要為：“

2022年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，被一些人誤解為證明了量子糾纏現(xiàn)象。實(shí)際上，包括愛(ài)因斯坦本人都承認(rèn)量子糾纏，關(guān)鍵在于如何詮釋。今年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的價(jià)值在于這幾位物理學(xué)家以無(wú)可爭(zhēng)辯的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，證明了基于定域隱變量的貝爾不等式是不對(duì)的。目前的一些介紹文字，沒(méi)有認(rèn)真解釋量子力學(xué)在理論上是如何批駁貝爾不等式的，同時(shí)雖對(duì)量子糾纏的物理價(jià)值多有闡述，但對(duì)其哲學(xué)意義卻鮮有評(píng)述，對(duì)社會(huì)上濫用糾纏概念缺少直接批判和闡釋。本文希望在這兩方面有所補(bǔ)充。”有興趣的讀者可以參考。

參考文獻(xiàn)

[1] 人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.數(shù)學(xué) 八年級(jí)下冊(cè) 自讀課本[M]. 北京：人民教育出版社.

[2] SCHROEDER M. Fractals， chaos， power laws： Minutesfrom an Infinite Paradise[M]. New York： Dover Publications，2009.

[3] 張?zhí)烊? 上帝如何設(shè)計(jì)世界：愛(ài)因斯坦的困惑[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[4] 葛惟昆.2022年物理學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)的科學(xué)內(nèi)涵辨識(shí)[J].物理，2022，51（12）：821.GE W K. On the interpretation of the 2022 Nobel Prize inphysics[J]. Physics， 2022， 51（12）： 821. （in Chinese）