利用殼層定理求解地球隧道問題

收稿日期：2023-10-13

基金項目：教育部產學合作協同育人項目“物理學前沿問題在《光電子技術》課程教學中的滲透與實踐”；重慶市研究生教育教學改革研究項目“理工類學術研究生的多學科交叉融合課程體系探索”（ ｙｊｇ２２３０３５）。

作者簡介：崔勝喆（２００３－），男，本科生，主要從事物理學科教學研究。

*通信作者：朱建慧（1987-），女，副教授，主要從事凝聚態物理和物理學科教學研究。

摘" "要：地球隧道問題是物理教學、科幻作品和科普教育中常見的物理模型。文章從學生熟悉的高中幾何證明思路入手，提出了基于殼層定理的地球隧道問題求解方法。該方法思路簡單，理解難度較低，可避免學生在未理解高斯定理內涵的情況下強行利用高斯定理證明地球隧道問題的迷茫。

關鍵詞：地球隧道；殼層定理；高斯定理；類比思想

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）3-0073-4

凡爾納的著名科幻作品《地心游記》設想了一條通過地心、貫穿地球兩端的假想隧道。人們可以通過該隧道直通地球兩端，并在沿途欣賞地心的奇幻美景。科幻大片《全面回憶》“實現”了凡爾納的夢想：一條穿越地心的“墜道”直接連通北半球的英國和南半球的澳大利亞，生活在澳洲的人們可乘坐“地鐵”穿越地心，經４０分鐘抵達英國。而現實生活中，澳大利亞悉尼至英國倫敦的直飛航線全程飛行時間超過二十個小時，相比枯燥又漫長的空中飛行，穿越地心之旅大大縮短了行程時間，也給人類帶來了更奇妙的觀感和體驗。科幻作品中的暢想往往都有現實依據，上述電影中的４０分鐘旅程時間是如何確定的呢？該時間和隧道長短有關嗎？為解決這些疑問，在此對地球隧道問題展開研究。

地球隧道是物理教學中的常見模型，顧名思義，它是指一條穿行于地球內部的隧道。其幾何示意圖如圖１所示，假設地球是密度均勻的球體，隧道從地球的一端開始，通過地心到達另一端。若只考慮萬有引力作用，物體在該地球隧道中做何種運動？物體通過地球隧道的時間又是多少呢？這是一個很有意思的問題。目前，對地球隧道問題的探討大多都是基于高斯定理的類比推導，從而得出隧道內質點所受萬有引力的表達式［１－７］。高斯定理本是電磁學中用來描述靜電場內閉合曲面所包圍的電荷與電場在閉合曲面上電通量的關系，多用于對靜電場分布的描述。因數學上具有相似性，在證明其他平方反比規律的時候也常用到。故多數解法只是簡單套用高斯定理，并未詳細闡述利用靜電場分布規律解釋力學過程的原因，導致學生對問題的理解不夠深入。因此，為了更加清楚地求解此類問題，本文提出了基于殼層定理的地球隧道問題求解方法，從學生高中時期熟悉的幾何證明思路入手，思路簡單易懂，理解門檻較低，可避免學生在未理解高斯定理內涵的情況下強行接受。

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圖1" 地球隧道幾何模型示意圖

１" " 地球隧道問題

為求解地球隧道問題，首先建立地球隧道模型：設地球是半徑為Ｒ、質量為Ｍ、密度為ρ的勻質球體，沿其徑向過球心挖一條隧道，將位于隧道內的任一物體視作質量為ｍ的質點，ｒ是該質點與地球球心之間的距離（圖１）。忽略地球自轉的離心慣性力和科里奧利力，在僅考慮萬有引力作用的情況下討論質點的運動情況。

２" " 高斯定理法

目前普遍利用高斯定理對上述地球隧道問題進行求解，直接套用高斯定理求解出質點與地心之間的萬有引力，再根據質點所受引力情況對質點運動情況作出判斷，具體求解過程大都很粗略。為了與殼層定理法進行對比，這里再次對基于高斯定理的證明方法進行總結歸納。

如圖１所示，以球心為原點，隧道方向為ｚ 軸，建立直角坐標系，則隧道內質量為ｍ的質點位置可表示為 （０，０，ｒ）。根據球對稱性，假定質點ｍ所在的球面為一高斯面，此高斯面上的引力場強為ｇ，方向與質點位置矢量ｒ（或面元的法線方向ｎ）相反，即θ角為π，如圖２所示。

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圖2" 質點m處的高斯面示意圖

類比高斯定理，引力場強度對包圍該質點曲面的積分為

■g·nds=-4πGρ·■πr3（１）

其中，Ｇ為萬有引力常量。又經計算可得

■g·nds=-4πr2g

因此，引力場表達式為

ｇ＝－■πGρｒ（２）

根據牛頓第二定律，得質點在坐標（０，０，ｒ）處的加速度為

■=－■πGρｒ（３）

由（3）式可解得［２］r=Acos（ωt+φ），其中ω=■。故由該結果可知質點運動為簡諧振動。根據T=■=■，代入地球的質量密度ρ和萬有引力常量Ｇ，即可得簡諧振動的周期約為８４分鐘。

由此可見，利用高斯定理求解“地球隧道”問題的方法并不復雜。但如果不理解公式（１）的推導和證明過程，就很難理解高斯面與地球表面之間的球殼質量為什么不會對高斯面上的質點產生萬有引力。同時，大學一年級的學生尚未完全理解電磁學中高斯定理的物理意義，難以進行高斯定理的類比應用。給學生詳細推導和證明高斯公式不失為一種解決辦法，但推導涉及的曲面微積分知識過于抽象和復雜，不適用于在大學物理課程教學以及物理科普中詳細闡述。基于此，嘗試利用更直觀、清晰的牛頓殼層定理求解該問題。

３" " 牛頓殼層定理法

３．１" " 牛頓殼層定理的推導證明

幾何模型與物理問題結合是物理教學經常提及的一種思路，例如，研究帶電粒子在磁場中的運動、光的折射與反射等問題時會頻繁應用此思路［８－９］。牛頓在《自然哲學的數學原理》中，首次證明殼層定理（ｓｈｅｌｌ ｔｈｅｏｒｅｍ），其也是幾何模型與物理問題結合的典型例子。在求解引力場問題時，引入球體幾何模型可得具體結論：一個質量為Ｍ、半徑為Ｒ的球殼，若其質量呈球對稱分布，它在距離球心ｒ處Ｐ點產生的引力場可以做兩種等效。當Ｐ點在球殼外（ｒ ≥ Ｒ）時，Ｐ點引力場等效為球心處質量為Ｍ的質點產生的引力場；當Ｐ點在球殼內（ｒ ＜ Ｒ）時，球殼的部分在Ｐ點產生的引力場等于零。

利用解析幾何思想證明該結論的具體過程如下：均勻實心球體外存在質點ｍ，其中ｍ到實心球體球心距離為r。為求二者之間的萬有引力，可將實心球劃為無數個極薄的同心球殼。圖３是半徑為Ｒ、質量為Ｍ的同心球殼的示意圖，質點ｍ與該同心球殼的位置關系如圖3所示，其中任一無窮小的圓弧對應的圓心角為ｄθ（圖中ｄθ為無窮小角度）。

如圖３所示，經過同一球殼上任意一點處的經線所包圍的圓環質量為

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圖3" "質點在球殼外示意圖

dM=■2πR2sinθdθ=■sinθdθ（４）

該圓環dＭ對ｍ的萬有引力合力指向球殼中心，表達式為

dFr=■dMcosφ=■■dθ（５）

對（５）式兩邊不定積分得

Fr=■dFr=■■■dθ（６）

式子中變量為θ，φ，為運算方便下面統一變量為s。由余弦定理得

cosθ=■（７）

故

sinθdθ=■ds（８）

而

scosφ=r-Rcosθ（9）

將（8）（9）式代入（6）式，得質點在球殼外部，即rgt;R時

Fr=■dFr=■■■（r-■）ds=G■（１０）

推廣到質點位于球殼內部時，質點在球殼內示意圖如圖４，有

Fr=■■[1+■]ds=0（１１）

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圖4" 質點在球殼內示意圖

故得出，質量分布均勻的球體其內部的萬有引力為０。

３．２" " 利用牛頓殼層定理證明“地球隧道”問題

不妨研究對稱的兩個質元，如圖５所示。質點Ｐ位于球心為Ｏ的均勻球面之內，Ｅ位于球面之上。連接直線ＯＥ，過Ｐ作直線ＡＣ和ＢＤ分別與球面交于Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ四點，設ＡＣ與ＢＤ的夾角為α，ＡＣ與ＯＥ的夾角為β，并使ＡＣ與ＢＤ的夾角α趨于無限小，則■近似相等于直線ＡＢ，AP≈BP≈r1，DP≈CP≈r2。

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（a）面積微元

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（b）球殼整體

圖5" 面積微元與球殼整體示意圖

繞ＯＥ軸旋轉，則ＡＢ，ＣＤ形成一個環狀球帶，設ＡＢ形成球帶側面積為S1，ＣＤ形成球帶側面積為S2，S1與高為ＡＢ（ＡB＝r1sinα）、底面半徑為ＡＦ （ＡＦ＝r1sin β）的圓柱側面積無限接近，易得

S1=2πr■■sin βsinα（１２）

S2=2πr■■sin βsinα（１３）

■=■=■（１４）

■=■·■=1（１５）

由上述結果可以得到，取得的對稱兩環帶S1，S2，對Ｐ點萬有引力之和為０。已知球殼可被視為無數對稱環帶之和，故將結論推廣到整個球殼，可得球殼對Ｐ點的萬有引力之和為０。這也就解釋了為什么高斯定理不考慮高斯面外球殼的引力場。

故可嚴謹證明，質點所受萬有引力為

F■=-G■·M■=-G■·■πr3ρ（１６）

將（１６）式代入牛頓定律，得

F■=m■

得到微分方程

■=-■ρπG·r

由此可見，（１６）式與（３）式結果一樣。然后求解二階齊次微分方程，易解得

r=Acos（ωt+φ）（１７）

由（１７）式，物體在地球隧道內做簡諧運動，其中Ａ為振幅，由初始條件可得Ａ等于地球半徑Ｒ，ω=■為振動頻率。當隧道不經過地球球心，而是地球的一條弦時，可以通過幾何關系證明振動的振幅Ａ發生了變化［１，４］，但振動頻率和周期并沒有發生變化。

４" " 結" 語

牛頓殼層定理為求解地球隧道問題提供了較為新穎的證明方法，彌補了利用高斯定理求解此類問題導致的討論不深入、學生理解困難等缺陷。同時，相比高斯定理中涉及的曲面積分、求解微分方程等較為復雜的高等數學知識，應用殼層定理解決地球隧道問題的方法則更多借鑒了高中數學中平面解析幾何的思想，數學門檻較低，更加普適化且便于理解。同時，可實現“一題多解”，啟發學生在面對同一個問題時采用多種方法進行研究，培養其探究精神和創新意識。

參考文獻：

［１］吳岱宗，劉玉穎．物體在地球隧道中的運動［Ｊ］．物理與工程，２０２０，３０（１）：７３－7９．

［２］周建麗，陳鋼．“均勻球殼對殼內物體引力為０”證明問題的探討［Ｊ］．物理教師，２０１３，３４（９）：６０－6１．

［３］石鳳良，劉一山，邸淑紅．穿越貫通南北極隧道的物體與簡諧振動［Ｊ］．物理教師（高中版），２００８，２９（２）：２６，28．

［４］覃銘，黃紅強．地球隧道運輸［Ｊ］．廣西物理，２００３，２４（１）：２４－2５．

［５］黃石初．對物體在貫通地球的直隧道內運動問題之商榷［Ｊ］．安徽工學院學報，１９８７（Z１）：１３９－1４８．

［６］楊天才．兩平方反比力在球體（殼）模型中的強度公式對比［Ｊ］．數理化解題研究，２０２１（４）：７７－7９．

［７］陳學文，李彥敏．“萬有引力場強度”與“萬有引力場的高斯定理”［Ｊ］．商丘師范學院學報，２００５，21（５）：１６1－１６3．

［８］唐淑紅．高斯定理在萬有引力場中的應用［Ｊ］．湘潭師范學院學報（自然科學版），２００８，30（３）：１４－１６．

［９］劉景世．“均勻帶電球面上的電場強度如何計算”的再討論［Ｊ］．河南教育學院學報（自然科學版），２０１１，２０（４）：３２－３３．

［１０］周國全，黃華玲．類比法研究萬有引力場的高斯定理［Ｊ］．物理與工程，２０１９，２９（Ｓ１）：２２－２５．

（欄目編輯" " 蔣小平）