2023年高考物理江蘇卷第10題的分析與拓展

收稿日期：2023-07-27

作者簡(jiǎn)介：段石峰（1992-），男，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事高中物理教學(xué)研究。

摘" "要：2023年高考物理江蘇卷第10題以達(dá)·芬奇手稿中描述的一個(gè)實(shí)驗(yàn)為素材，考查軌跡圖形中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，兼具思想的深度和立意的高度，是一道難得的好題。探討了試題的教材溯源，并對(duì)試題進(jìn)行定性和定量分析，用軟件模擬演示圖形，探究其中有益的啟示，并對(duì)試題進(jìn)行變式拓展。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)軌跡；空間圖形；相對(duì)運(yùn)動(dòng)；模擬演示

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2024）3-0047-4

１" " 試題分析

１．１" " 試題呈現(xiàn)

達(dá)·芬奇的手稿中描述了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，沿途連續(xù)漏出沙子。若不計(jì)空氣阻力，則圖１中能反映空中沙子排列的幾何圖形是（" " " ）

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Ａ" " " " " " " " "Ｂ" " " " " " " "Ｃ" " " " " " " "Ｄ

圖1" 漏沙空中排列圖示

參考答案：Ｄ

１．２" " 教材溯源

人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材必修１在“參考系”這一部分，為了說(shuō)明選擇不同的參考系來(lái)觀察同一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果會(huì)有所不同，特地舉了一個(gè)例子，并配了一幅插圖。如圖２所示，在沿直線勻速飛行的飛機(jī)上，人們以飛機(jī)做參考系，看到從飛機(jī)上落下的重物幾乎是沿直線豎直下落的，而地面上的人以地面做參考系，看到物體是沿著曲線下落的［１］。

這是典型的“飛機(jī)投彈”模型，但這道高考題考查的角度與教材中說(shuō)明的問(wèn)題不同。教材中描述的是物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，即一個(gè)物體在不同時(shí)刻所處位置的連線，相當(dāng)于錄制的一段“錄像”，這與參考系的選擇有關(guān)。而這道高考題考查的是物體在空中排列的幾何圖形，即多個(gè)物體在同一時(shí)刻所處位置的集合，相當(dāng)于拍攝的一張“照片”，這與參考系的選擇無(wú)關(guān)。

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圖2" "選擇不同的參考系觀察到的現(xiàn)象不同

１．３" " 定性分析

罐子的加速度水平向右，以罐子為參考系，漏出的每粒沙子的初速度都為零，但有豎直向下的重力加速度和水平向左的加速度，因此相對(duì)加速度斜向左下方且為定值，所以每粒沙子都相對(duì)于罐子做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而所有沙子在任意時(shí)刻排列的形狀與參考系的選擇無(wú)關(guān)。由此可見(jiàn)，沙子在空中的排列形狀取決于罐子的加速度，而不是罐子的速度。

１．４" " 定量分析

方法一：分析任意一粒沙子與罐子的連線。

如圖３所示，以任意一粒沙子剛漏出時(shí)的位置為原點(diǎn)Ｏ建立固定于地面的坐標(biāo)系ｘＯｙ，設(shè)此時(shí)罐子和沙子的速度為ｖ０，罐子沿水平方向運(yùn)動(dòng)的加速度為ａ，沙子漏出后做平拋運(yùn)動(dòng)。

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圖3" 任意一粒沙子與罐子的連線

經(jīng)過(guò)時(shí)間ｔ，罐子Ｐ和沙子Ｑ的位置坐標(biāo)分別為

xP=v0t+■at2，yP=0

xQ=v0t，yQ=-■gt2

由此可得ＰＱ連線的斜率k=■=■為定值，與時(shí)間ｔ無(wú)關(guān)，即任意一粒沙子在任意時(shí)刻與罐子連線的斜率都相同，所以空中沙子排列的幾何圖形是一條斜向右上方的直線。

進(jìn)一步，由罐子和沙子的位置坐標(biāo)可求得ＰＱ的距離為

PQ=■=■■t2

由此可知，沙子相對(duì)于罐子做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向和豎直方向加速度的分量分別為ａ和ｇ，合加速度大小為a'=■，方向與水平方向的夾角為θ，滿足tanθ=■。

方法二：分析任意兩粒沙子之間的連線。

如圖4所示，以任意一粒沙子剛漏出時(shí)的位置為原點(diǎn)Ｏ建立固定于地面的坐標(biāo)系ｘＯｙ，設(shè)此時(shí)罐子和沙子的速度為ｖ０，間隔時(shí)間Δｔ漏出的沙子，罐子和此時(shí)剛漏出的沙子的速度為ｖ０＋ａΔｔ。

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圖4" 任意兩粒沙子之間的連線

經(jīng)過(guò)時(shí)間t，兩粒沙子Q1和Q2的位置坐標(biāo)分別為

x1=v0t，y1=-■gt2

x2=v0Δｔ+■aΔt2+（v0+aΔt）（t-Δt）

y2=-■g（t-Δt）2

由此可得Q1Q2連線的斜率為定值k=■=■，與時(shí)間t和Δt無(wú)關(guān)，即任意兩粒沙子在任意時(shí)刻的連線的斜率都相同，所以空中沙子排列的幾何圖形是一條斜向右上方的直線。

進(jìn)一步，再間隔時(shí)間Δt漏出沙子Q3的位置坐標(biāo)為

x3=v0·2Δｔ+■a（2Δt）2+（v0+a·2Δt）（t-2Δt）

y3=-■g（t-2Δt）2

可得Q1Q2的水平距離和豎直距離分別為

s1=x2-x1=atΔt-■aΔt2

h1=y2-y1=gtΔt-■gΔt2

Q2Q3的水平距離和豎直距離分別為

s2=x3-x2=atΔt-■aΔt2

h2=y3-y2=gtΔt-■gΔt2

所以，在兩段相等時(shí)間Δt內(nèi)，水平距離之差和豎直距離之差分別為

Δs=s2-s1=aΔt2

Δh=h2-h1=gΔt2

由此可知，沙子相對(duì)于罐子在水平方向和豎直方向都做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度分量分別為a和g，合加速度大小為a'=■，方向與水平方向的夾角為θ，滿足tanθ=■。

方法三：分析任意兩粒沙子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

如圖5所示，以第一粒沙子剛漏出時(shí)的位置為原點(diǎn)O建立固定于地面的坐標(biāo)系xOy，設(shè)此時(shí)罐子和沙子的速度為v0，間隔時(shí)間Δt漏出的沙子，罐子和沙子的速度為v0＋aΔt。

經(jīng)過(guò)時(shí)間t，兩粒沙子Q1和Q2的水平速度和豎直速度分別為

v1x=v0，v1y=gt

v2x=v0+aΔt，v2y=g（t-Δt）

兩粒沙子Q1和Q2的水平相對(duì)速度和豎直相對(duì)速度分別為

Δvx=v2x-v1x=aΔt

Δvy=v2y-v1y=-gΔt

由于Δvx和Δvy都為定值，與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而Δt可以取任意值，表明任意兩粒沙子相對(duì)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。或者說(shuō)，若以第一粒沙子為參考系，則后續(xù)所有的沙子都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平分速度向右，豎直分速度向上，合速度斜向右上方。雖然漏出的所有沙子都在做平拋運(yùn)動(dòng)，但任意時(shí)刻所有沙子在空中的位置組成一條斜向上方的直線，并且這條直線在平行移動(dòng)。

進(jìn)一步，可以作出第一粒沙子的速度矢量圖示，以及后續(xù)所有沙子漏出時(shí)相對(duì)于第一粒沙子的相對(duì)速度，如圖5所示。從速度矢量圖可以看出，任意兩粒沙子的相對(duì)速度方向不變。

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圖5" 第一粒沙子的速度矢量圖示

1.5" " 模擬演示

利用幾何畫板軟件可以模擬演示圖形，設(shè)罐子的初速度v0＝5 m/s，加速度a＝5 m/s2，重力加速度g＝10 m/s2。如圖6所示，空中沙子排列的幾何圖形是一條斜向右上方的直線。

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圖6" 幾何畫板模擬演示空間軌跡圖形

1.6" " 試題啟示

由以上分析可知，漏出的每粒沙子運(yùn)動(dòng)軌跡與參考系的選擇有關(guān)，相對(duì)于地面都做平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡的形狀為拋物線（曲線）。而漏出的所有沙子在空中排列的形狀卻是直線，而且與參考系的選擇無(wú)關(guān)，這是為什么呢？

仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，漏出的所有沙子在同一參考系中的運(yùn)動(dòng)形式是由完全相同的力學(xué)方式?jīng)Q定的，它們之間構(gòu)成了空間關(guān)系，由于動(dòng)力學(xué)原理是相同的，所以這個(gè)空間關(guān)系在另一個(gè)參考系中也是有效的。換句話說(shuō)，如果一粒沙子在不同參考系中有不同的運(yùn)動(dòng)軌跡，而所有沙子都遵循相同的軌跡變換，可以想象所有沙子在同一時(shí)刻做同一變換，那么所有沙子的構(gòu)型的每一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)在同一時(shí)刻做了整體變換，它們的相對(duì)位置在整體的關(guān)系上并沒(méi)有改變。

2" " 試題拓展

變式1：一架飛機(jī)在高空中由西向東沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，飛機(jī)每隔相同時(shí)間自由釋放一個(gè)物體，共連續(xù)釋放了6個(gè)物體（不計(jì)空氣阻力）。圖7是從地面某時(shí)刻觀察到的6個(gè)空投物體的圖像，其中正確的是（" " "）

■" " " "■

A" " " " " nbsp; " " " " " " " " B

■" " " "■

C" " " " " " " " " " " " " " "D

圖7" 空投物體空間分布圖

參考答案：D

解析 飛機(jī)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，每隔相同時(shí)間自由釋放一個(gè)物體，物體在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向與飛機(jī)有相同的速度，則釋放后的物體落地前總在飛機(jī)的正下方；物體在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，相等時(shí)間內(nèi)的位移逐漸增大。所以，從地面觀察到的6個(gè)物體的圖像應(yīng)在同一條豎直線上，且從上至下物體的間隔逐漸增大。本題定性分析即可，無(wú)須進(jìn)行定量分析。

變式2：一架飛機(jī)在高空中由西向東沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，飛機(jī)每隔相同時(shí)間自由釋放一個(gè)物體，共連續(xù)釋放了6個(gè)物體（不計(jì)空氣阻力）。圖8是從地面某時(shí)刻觀察到的6個(gè)空投物體的圖像，其中正確的是（" " " "）

■" " " "■

A" " " " " " " " " " " " " " " " " "B

■" " " " ■

C" " " " " " " " " " " " " " " " " " D

圖8" 空投物體空間分布圖

參考答案：A

解析 飛機(jī)每隔相同時(shí)間自由釋放一個(gè)物體，物體在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，從上至下物體之間的豎直距離逐漸增大；飛機(jī)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，物體釋放時(shí)的速度逐漸增大，釋放后在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從上至下物體之間的水平距離也逐漸增大。所以，從地面觀察到的6個(gè)物體的圖像應(yīng)在同一條斜向右上方的直線上，且從上至下物體的間隔逐漸增大。本題與前文所述高考題如出一轍，同樣可以采用三種方法嚴(yán)格地定量分析，此處不再贅述。

3" " 結(jié)束語(yǔ)

達(dá)·芬奇不僅是一位藝術(shù)家，還是一位科學(xué)巨匠。他開(kāi)創(chuàng)使用觀察、實(shí)驗(yàn)和推理的方式認(rèn)識(shí)自然界，拋棄了宗教的偏見(jiàn)和迷信。由于他的重要思想大多數(shù)在生前都沒(méi)有公之于眾，導(dǎo)致人們只能根據(jù)他留下來(lái)的部分手稿，追蹤這位舉世罕見(jiàn)的“全能天才”［２］。江蘇卷的這道高考題取材于達(dá)·芬奇的手稿，雖然只是對(duì)沙子漏出罐子后運(yùn)動(dòng)的描述和記錄，但表明了他對(duì)探求事物真相的執(zhí)著和敏銳的洞察力。他所崇尚的觀察和實(shí)驗(yàn)的精神有助于科學(xué)的發(fā)展，成為伽利略創(chuàng)立近代科學(xué)的思想基礎(chǔ)［３］。試題的背景素材、問(wèn)題的價(jià)值取向，在落實(shí)物理核心素養(yǎng)方面具有積極的導(dǎo)向作用，有利于保持和培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和求知欲，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度與責(zé)任。

參考文獻(xiàn)：

［１］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修１［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１０：１０．

［２］謝恩東．達(dá)·芬奇的物理生涯［Ｊ］．中學(xué)物理教學(xué)參考，２０１０，３９（４）：３９－４０．

［３］吳國(guó)盛．科學(xué)的歷程（第二版）［Ｍ］．北京：北京大學(xué)出版社，２００２：１７３－１７５．

（欄目編輯" " 陳" 潔）