虛擬仿真實(shí)驗與真實(shí)實(shí)驗學(xué)習(xí)效果的眼動研究

基金項目：教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項目“物理虛擬仿真實(shí)驗在教育筑夢結(jié)對計劃培訓(xùn)中的應(yīng)用”（220506071041042）。

*通信作者：陳廷芳（1987-），女， 博士研究生，工程師，主要從事物理實(shí)驗教學(xué)研究。

【專家介紹】

劉金梅，華東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院副教授，物理師范教育教學(xué)中心副主任。碩士畢業(yè)于華東師范大學(xué)物理課程與教學(xué)論專業(yè)，博士畢業(yè)于上海交通大學(xué)，美國加州大學(xué)歐文分校訪問學(xué)者。主要研究方向為物理課程與教學(xué)論、科學(xué)教育等。高等物理教育研究會理事、中國青少年科技教育工作者協(xié)會物理教育與普及專業(yè)委員會委員、中國高等教育學(xué)會學(xué)習(xí)科學(xué)研究分會理事會會員。

在IEEE Transactions on Education、IEEE Photonics Technology Letter、Physical Review Letters、《物理教學(xué)》《物理教學(xué)探討》《物理與工程》等國內(nèi)外學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文40余篇，著有《物理教育研究方法》，編著《lt;義務(wù)教育物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）gt;解析與課例》，參譯《學(xué)習(xí)與教學(xué)——理論研究與實(shí)踐意蘊(yùn)》，參編《中學(xué)物理課程與教學(xué)》等。主講“大學(xué)物理”“中學(xué)物理課程標(biāo)準(zhǔn)與教材分析”“學(xué)習(xí)科學(xué)與物理學(xué)習(xí)”等課程。

摘" "要：采用眼動追蹤技術(shù)，結(jié)合測試、問卷以及訪談的方式，通過真實(shí)實(shí)驗以及虛擬仿真實(shí)驗兩種不同實(shí)驗形式的對比，探究兩種實(shí)驗形式下的學(xué)習(xí)效果是否存在差異。再依據(jù)眼心假說解釋其背后存在的內(nèi)部認(rèn)知規(guī)律。結(jié)果顯示，真實(shí)實(shí)驗與虛擬仿真實(shí)驗間存在注重點(diǎn)不同的差異，真實(shí)實(shí)驗下學(xué)習(xí)者更加注意實(shí)驗過程，而虛擬仿真實(shí)驗下學(xué)習(xí)者更加注意實(shí)驗原理與實(shí)驗結(jié)果，該現(xiàn)象源于實(shí)驗形式本身的差別，或是實(shí)驗教學(xué)的側(cè)重不同。該研究表明，在實(shí)驗教學(xué)中，應(yīng)綜合實(shí)際情況選擇合適的實(shí)驗形式。

關(guān)鍵詞：眼動；虛擬仿真；眼心假說

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）3-0001-5

物理實(shí)驗是一種通過觀察、測量數(shù)據(jù)和分析物理現(xiàn)象以驗證理論模型的方法。在物理學(xué)領(lǐng)域中，物理實(shí)驗在培養(yǎng)實(shí)驗技能和科學(xué)思維方面發(fā)揮著極其重要的作用［１］。

真實(shí)實(shí)驗和虛擬仿真實(shí)驗是兩種常見的實(shí)驗方法，在科學(xué)研究、工程設(shè)計和教育培訓(xùn)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。真實(shí)實(shí)驗是在實(shí)際的物理環(huán)境中進(jìn)行的實(shí)驗，它是通過操縱和測量真實(shí)世界中的實(shí)驗系統(tǒng)、觀察實(shí)驗現(xiàn)象來獲得數(shù)據(jù)和觀察結(jié)果的。真實(shí)實(shí)驗通常需要創(chuàng)建一個實(shí)驗室或場地，收集必要的設(shè)備和材料，并按照特定的實(shí)驗步驟進(jìn)行操作。真實(shí)實(shí)驗的優(yōu)點(diǎn)在于能夠直接地觀察和測量現(xiàn)象，親身體會實(shí)驗過程。虛擬仿真實(shí)驗則是在計算機(jī)模擬環(huán)境中進(jìn)行的實(shí)驗。它使用計算機(jī)建模和仿真技術(shù)來模擬真實(shí)世界中的物理過程和現(xiàn)象。虛擬仿真實(shí)驗可以在計算機(jī)上重現(xiàn)各種場景，并通過調(diào)整參數(shù)和條件來觀察和分析結(jié)果。虛擬仿真實(shí)驗的優(yōu)點(diǎn)在于可以減少實(shí)驗成本，并且可以模擬一些在真實(shí)實(shí)驗中難以觀察的現(xiàn)象或操作［２］。在教育界，隨著相關(guān)技術(shù)的完備，虛擬仿真實(shí)驗以其便捷性和準(zhǔn)確性受到廣大教師青睞［2-3］。但同樣，也有教師認(rèn)為虛擬仿真實(shí)驗在實(shí)際教學(xué)中不可取。一場關(guān)于虛擬仿真實(shí)驗與真實(shí)實(shí)驗孰優(yōu)孰劣的討論就此展開。基于此，本研究以眼動追蹤技術(shù)為核心和主要研究方法，以密立根油滴實(shí)驗為例，結(jié)合問卷以及訪談研究虛擬仿真實(shí)驗與真實(shí)實(shí)驗在學(xué)習(xí)效果上的關(guān)聯(lián)性。

密立根油滴實(shí)驗（Ｍｉｌｌｉｋａｎ ｏｉｌ ｄｒｏｐ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ）在近代物理學(xué)發(fā)展史上是一個十分重要的實(shí)驗，是物理學(xué)家羅伯特·Ａ·密立根（Ｒｏｂｅｒｔ Ａ．Ｍｉｌｌｉｋａｎ）在２０世紀(jì)初進(jìn)行的一項重要實(shí)驗，用于精確測量電子的電荷量。實(shí)驗過程中，密立根利用油滴可以懸浮在氣體中的特性，通過觀察和測量油滴在電場中的運(yùn)動來研究電荷的性質(zhì)。它證明了任何帶電體所帶的電荷都是元電荷的整倍數(shù)，并精確測定了元電荷的數(shù)值，證明了電荷的不連續(xù)性。

眼心假說（ｔｈｅ ｅｙｅ ｍｉｎｄ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ）［4］認(rèn)為，人眼視覺的目光變化可以體現(xiàn)人的內(nèi)部認(rèn)知規(guī)律，目光注視到的事物表明大腦正在處理，而目光的轉(zhuǎn)移表明注意力的轉(zhuǎn)移［5］。眼心假說在閱讀、數(shù)學(xué)幾何等領(lǐng)域的研究均有一定的可靠性［6］。本研究利用眼心假說，通過眼動追蹤技術(shù)對學(xué)生在密立根油滴實(shí)驗學(xué)習(xí)中的眼動軌跡情況進(jìn)行研究，并進(jìn)一步探討虛擬仿真實(shí)驗與真實(shí)實(shí)驗對學(xué)生認(rèn)知的影響，探討學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)制，并對實(shí)驗教學(xué)提出建設(shè)性意見。

１" " 實(shí)" "驗

實(shí)驗研究的整體流程包括被試選擇、實(shí)驗操作、數(shù)據(jù)測量三部分。

１．１" " 被試對象

本研究選擇了３２名在校大學(xué)生（均為物理專業(yè)，且在實(shí)驗前未進(jìn)行過密立根油滴實(shí)驗）參加實(shí)驗。他們擁有物理學(xué)實(shí)驗基礎(chǔ)知識與能力，視力或矯正視力正常。

１．２" " 實(shí)驗儀器

本研究使用Tｏｂｉｉ公司Ｔｏｂｉｉ Ｅｙｅ Ｔｒａｃｋｅｒ ４Ｃ眼動儀來記錄眼動數(shù)據(jù)，采樣率為９０ Ｈｚ，分辨率為１９８０×１０８０，顯示器與被試者眼睛之間距離約為６０ ｃｍ。

１．３" " 研究方法與設(shè)計

對被試者進(jìn)行統(tǒng)一的密立根油滴實(shí)驗課程講解（包括實(shí)驗原理、實(shí)驗操作、實(shí)驗結(jié)果處理等），其間可以自由提問，保證每位被試者獲得足以進(jìn)行密立根油滴實(shí)驗的能力。將被試分為兩組，每組１６人。一組被試者進(jìn)行虛擬仿真密立根油滴實(shí)驗（以下簡稱“虛擬組”），另一組被試者進(jìn)行真實(shí)密立根油滴實(shí)驗（以下簡稱“實(shí)物組”），整個實(shí)驗過程保證兩組有且僅有實(shí)驗方式上的不同。

為了探究在兩種不同實(shí)驗形式下學(xué)習(xí)效果的差異，實(shí)驗結(jié)束后，每位被試者以眼動測試為基礎(chǔ)，同時進(jìn)行實(shí)驗過程性評價問卷和學(xué)習(xí)效果的訪談，用以驗證眼動數(shù)據(jù)分析出的結(jié)論。

１．４" " 實(shí)驗數(shù)據(jù)分析方法

實(shí)驗后，將測量出的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并保留為能較好處理的形式。

１．４．１" " 眼動數(shù)據(jù)采集

真實(shí)實(shí)驗與虛擬仿真實(shí)驗眼動實(shí)驗興趣區(qū)劃分以及坐標(biāo)如圖１所示。利用Pｙｔｈｏｎ編寫程序，并用Eｘｃｅｌ軟件將眼動儀得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為以下４個方面內(nèi)容：（１）眼動坐標(biāo)信息，將測試題目左上角Ｏ點(diǎn)設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為ｘ軸，總長度為１，向下為ｙ軸，總長度為１，得到被試者注視的位置坐標(biāo)。（２）不同興趣區(qū)注視時長，即被試者注視每個興趣區(qū)的總時間。（３）跳轉(zhuǎn)次數(shù)，被試者目光從其他興趣區(qū)跳轉(zhuǎn)到當(dāng)前興趣區(qū)的次數(shù)。（４）眼動熱點(diǎn)圖，即被試者眼動軌跡的直觀體現(xiàn)。

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圖１" 眼動興趣區(qū)劃分以及坐標(biāo)

１．４．２" " 問卷數(shù)據(jù)

眼動實(shí)驗后，被試者進(jìn)行實(shí)驗過程性評價的問卷調(diào)查。十個問題均參考李克特五級量表（Ｌｉｋｅｒｔ ｓｃａｌｅ），設(shè)置非常滿意、比較滿意、一般、較為不滿意、非常不滿意五個回答，分別記為５，４，

３，２，１分。得分越高，體現(xiàn)出學(xué)習(xí)態(tài)度越好或者是對實(shí)驗越滿意。后續(xù)處理數(shù)據(jù)時采用ＳＰＳＳ分析軟件進(jìn)行Ｍａｎｎ－Ｗｈｉｔｎｅｙ Ｕ檢驗，若P＜０．０５則表明差異具有統(tǒng)計學(xué)意義，即兩組數(shù)據(jù)之間因為變量而具有顯著差異。問卷分析的結(jié)果可以進(jìn)一步驗證眼動實(shí)驗結(jié)果的可靠性。

１．４．３" " 訪談數(shù)據(jù)

對實(shí)物組與虛擬組分別進(jìn)行關(guān)于實(shí)驗內(nèi)容的訪談，用于對學(xué)習(xí)效果的探究以及證實(shí)眼動數(shù)據(jù)分析的可靠性。

２" " 實(shí)驗結(jié)果與分析

剔除眼動數(shù)據(jù)未被識別以及眼動數(shù)據(jù)僅在一個興趣區(qū)的錯誤試次。共剔除虛擬組２５％數(shù)據(jù)（即４名被試），實(shí)物組０％數(shù)據(jù)。下面為剔除后的實(shí)驗結(jié)果與分析。

２．１" " 眼動數(shù)據(jù)分析

通過眼動數(shù)據(jù)以及編程程序得到坐標(biāo)信息，并將坐標(biāo)信息導(dǎo)入Eｘｃｅｌ進(jìn)行處理，可以得到眼動軌跡圖（圖２、圖３）。從圖中可以看到，實(shí)物組與虛擬組被試者的眼動軌跡存在著一定的差異。實(shí)物組被試者在測試時對實(shí)驗儀器的注視時長多于虛擬組被試者，表明實(shí)物組被試者相比虛擬組更關(guān)注實(shí)驗儀器。

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圖２" 實(shí)物組被試者眼動軌跡圖例

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圖３" 虛擬組被試者眼動軌跡圖例

（１）總的注視時長如表１所示，結(jié)果表明實(shí)物組被試者總的注視時長高于虛擬組。

表１" 不同實(shí)驗形式下被試者總注視時長均值

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（２）不同興趣區(qū)注視時長如圖４所示。興趣區(qū)劃分如圖５所示。不難看出，實(shí)物組被試者在興趣區(qū)1，3中的注視時間高于虛擬組，在興趣區(qū)2中的注視時間低于虛擬組，在興趣區(qū)4，5中兩組被試者注視時間相差不大。

（３）跳轉(zhuǎn)次數(shù)如圖６所示。結(jié)果表明興趣區(qū)１，２，３中實(shí)物組被試者的跳轉(zhuǎn)次數(shù)均顯著高于虛擬組；興趣區(qū)４，５差別較小。表明相較于虛擬組，實(shí)物組更多地關(guān)注興趣區(qū)１，２，３。

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圖４" 不同實(shí)驗形式下被試者興趣區(qū)注視時長均值

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圖５" 眼動興趣區(qū)劃分

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圖６" 不同實(shí)驗形式下被試者眼跳轉(zhuǎn)次數(shù)均值

綜合上述結(jié)果可以得出結(jié)論：實(shí)物組被試者注意實(shí)驗操作區(qū)的比例更高，在實(shí)驗中更加關(guān)注實(shí)驗的操作過程。而虛擬組被試者在實(shí)驗過程中更加注意實(shí)驗的結(jié)果。

２．２" " 問卷結(jié)果

問卷分析結(jié)果如表２和表３所示，進(jìn)行Ｍａｎｎ－Ｗｈｉｔｎｅｙ Ｕ檢驗，發(fā)現(xiàn)第七問“對實(shí)驗效率是否滿意”Ｚ＝－３．０９５，漸進(jìn)顯著性與精確顯著性均小于０．００５，即P＜０．００５，表明兩組實(shí)驗數(shù)據(jù)在統(tǒng)計學(xué)上存在顯著差異，實(shí)物組與虛擬組在對實(shí)驗效率是否滿意上存在顯著差異。虛擬組秩平均值和秩的總和得分均值顯著高于實(shí)物組，這表明虛擬組被試者對實(shí)驗效率的滿意度顯著高于實(shí)物組被試者。

表２" “對實(shí)驗效率是否滿意”曼-惠特尼Ｕ檢驗

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ａ．分組變量：實(shí)驗形式

ｂ．未針對綁定值進(jìn)行修正

表３" “對實(shí)驗效率是否滿意”均分

■ ２．３" " 訪談結(jié)果

如圖７所示，在訪談第四題“請你談一下密立根油滴實(shí)驗靜態(tài)法的原理”中，實(shí)物組１６名被試者中僅有４名被試者基本清楚實(shí)驗原理，而虛擬組１２名被試者中有６名。在第五題“請你談一下密立根油滴實(shí)驗動態(tài)法測量了哪些數(shù)據(jù)”中，實(shí)物組１６名被試者均可清晰回答，而虛擬組１２名被試者中有７名。在第六題“請你談一種本實(shí)驗的數(shù)據(jù)處理方法”中，實(shí)物組１６名被試者中６名被試者可以回答，虛擬組１２名被試者中９名被試者可以順利回答。

表明在進(jìn)行同一個實(shí)驗時，實(shí)物組被試者對實(shí)驗操作更加重視，而對實(shí)驗原理不夠重視；虛擬組被試者則相反。

在第七題“請問實(shí)驗中哪些地方可能造成實(shí)驗誤差”中，實(shí)物組的回答包含“計時的人為誤差，油滴的選擇，電壓的平衡，水平儀的調(diào)節(jié)，空氣阻力，顯微鏡對焦的調(diào)節(jié)”；虛擬組的回答包含“計時的人為誤差，油滴的選擇，水平儀的調(diào)節(jié)”。本題中，實(shí)物組的回答相較于虛擬組更加廣泛，表明實(shí)物組對實(shí)驗誤差的理解優(yōu)于虛擬組。

綜合上述結(jié)果：實(shí)物組被試者對實(shí)驗操作更加重視，在實(shí)驗學(xué)習(xí)中更加關(guān)注實(shí)驗的操作過程。而虛擬組被試者注意實(shí)驗結(jié)果以及原理，在實(shí)驗過程中更加注意實(shí)驗的數(shù)據(jù)處理以及結(jié)果。

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圖７" 訪談問題正確率

３" " 總結(jié)與解釋

該研究通過真實(shí)實(shí)驗與虛擬仿真實(shí)驗兩種不同的實(shí)驗形式進(jìn)行學(xué)習(xí)，在控制自變量的條件下，研究了被試者在不同實(shí)驗形式下的學(xué)習(xí)效果差異，揭示了學(xué)習(xí)效果背后的認(rèn)知差異，提出相關(guān)的建議。研究發(fā)現(xiàn)，在不同實(shí)驗形式下，被試者的眼動軌跡、分區(qū)注視時長、跳轉(zhuǎn)次數(shù)均存在差異，測試題目、問卷以及訪談內(nèi)容也能進(jìn)行佐證。

與以往常用的實(shí)驗加問卷類研究模式相比，該研究新添加眼動技術(shù)，眼動提供的信息更加直接、準(zhǔn)確地反映出被試者在兩種不同實(shí)驗形式下的注意力分配方式和差別。依據(jù)眼心假說，這些信息也可以幫助研究者找到內(nèi)部存在的認(rèn)知規(guī)律。分析過程如圖８所示。

第一，從眼動數(shù)據(jù)得出的結(jié)果是實(shí)物組被試者對于興趣區(qū)１，２，３的關(guān)注度更高，虛擬組被試者對興趣區(qū)５的關(guān)注度更高，而興趣區(qū)１，２，３所在區(qū)域恰好是實(shí)驗的操作裝置，對應(yīng)著實(shí)驗的操作過程，實(shí)物組被試者對其更加關(guān)注，表明其測試中更加在意實(shí)驗的操作過程。而興趣區(qū)４，５對應(yīng)油滴的畫面，體現(xiàn)的是油滴的狀態(tài)，對應(yīng)的是實(shí)驗的結(jié)果。從眼動軌跡圖上也可以看出，相比較來說，實(shí)物組被試者對左側(cè)的關(guān)注占比更大，而虛擬組被試者則是右側(cè)更大。

而從訪談數(shù)據(jù)上看，第五題“請你談一下密立根油滴實(shí)驗動態(tài)法測量了哪些數(shù)據(jù)”和第七題“請問實(shí)驗中哪些地方可能造成實(shí)驗誤差”兩題中實(shí)物組被試者的正確率以及完成程度顯著高于虛擬組被試者；有關(guān)實(shí)驗原理以及結(jié)果的第四題“請你談一下密立根油滴實(shí)驗靜態(tài)法的原理”與第六題“請你談一種本實(shí)驗的數(shù)據(jù)處理方法”，虛擬組回答正確率均高于實(shí)物組。所以，實(shí)驗者在真實(shí)實(shí)驗中對實(shí)驗過程的重視程度更高，在虛擬實(shí)驗中更加重視實(shí)驗的結(jié)果而非過程。這主要因為真實(shí)實(shí)驗中可以直接接觸實(shí)驗儀器，獨(dú)立自主地進(jìn)行實(shí)驗操作，親身體會每一步實(shí)驗過程，因此對實(shí)驗步驟更加了解，對誤差分析更加準(zhǔn)確、全面；而虛擬實(shí)驗無法直接觸碰，僅通過視覺和聽覺進(jìn)行互動，而且交互的虛擬物品也有限，進(jìn)一步弱化了過程，所以對實(shí)驗過程的理解弱于實(shí)物組。

第二，眼動數(shù)據(jù)中實(shí)物組被試者總體注視時長長于虛擬組被試者，同時問卷數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)實(shí)物組被試者對實(shí)驗的滿意程度低于虛擬組被試者，因此真實(shí)實(shí)驗的實(shí)驗效率低于虛擬實(shí)驗。其原因是真實(shí)實(shí)驗中實(shí)驗者需要對具體的儀器進(jìn)行操作、連接、調(diào)平等，正式實(shí)驗時的讀數(shù)、測量也往往比較復(fù)雜；但虛擬仿真實(shí)驗中簡化了過程，往往是點(diǎn)擊鼠標(biāo)或者鍵盤就完成了，省略了中間步驟所需要的時間，自然效率高于真實(shí)實(shí)驗。

４" " 對實(shí)驗教學(xué)的幾點(diǎn)建議

第一，在時間以及實(shí)驗設(shè)備允許的情況下進(jìn)行真實(shí)實(shí)驗教學(xué)，同時，要求教師在實(shí)驗前進(jìn)行實(shí)驗原理以及數(shù)據(jù)處理方法講授，讓學(xué)生了解原理后自主探索合理的實(shí)驗步驟。第二，在時間較為緊張、實(shí)驗設(shè)備不允許或需要短時快速了解實(shí)驗時，可進(jìn)行虛擬仿真實(shí)驗教學(xué)。在虛擬實(shí)驗中，學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗的速度較快，卻可能僅僅得出結(jié)果，而對實(shí)驗操作沒有深刻理解，教師需加強(qiáng)實(shí)驗教學(xué)中實(shí)驗步驟的講解。第三，在學(xué)生已經(jīng)能正確進(jìn)行實(shí)驗操作，卻由于實(shí)驗儀器或是實(shí)驗本身的局限無法得出合理的實(shí)驗結(jié)果時，可以將真實(shí)實(shí)驗與虛擬仿真實(shí)驗結(jié)合進(jìn)行教學(xué)。虛擬仿真實(shí)驗對比真實(shí)實(shí)驗步驟簡單化，更易得出實(shí)驗結(jié)果。

本研究利用眼動實(shí)驗揭示出實(shí)驗者在真實(shí)實(shí)驗與虛擬仿真實(shí)驗中分別重視實(shí)驗過程與實(shí)驗結(jié)果，并且兩種實(shí)驗形式進(jìn)行同一實(shí)驗的效率也有所不同。真實(shí)實(shí)驗與虛擬仿真實(shí)驗在實(shí)驗教學(xué)中各有優(yōu)勢與劣勢，因此將兩種實(shí)驗形式有機(jī)結(jié)合起來的實(shí)驗教學(xué)方法在物理教學(xué)中有著極其重要的意義。

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［４］ＣHAO Ｊ Ｗ．Ｒｅｆｉｎｅｄ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｙｅ－ｍｉｎｄ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｆｏｒ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ａｒｇｕｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０２２，５０（４）：５５１－５６９．

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［６］Ｓｃｈｉｎｄｌｅｒ Ｍ，Lilienthal A J．Ｄｏｍａｉｎ－ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｙｅ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｄａｔａ： ｔｏｗａｒｄｓ ａ ｒｅｆｉｎｅｄ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｙｅ－ｍｉｎｄ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｙ［Ｊ］．Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１９，１０１（１）：１２３－１３９．

（欄目編輯" " 廖伯琴）