基于時滯測量的復雜網絡分布式狀態估計研究

滕 達 徐 雍 鮑 鴻 王 卓 魯仁全

復雜網絡由大量的動態節點互聯組成,具有規模大、鏈接方式靈活多變、隨機性高等特征,各節點之間可以通過相互交換信息協同完成復雜工作[1-2].復雜網絡能夠反映真實大系統的內在耦合特性,人們通過研究復雜網絡從而量化和預測世界.基于以上優點,復雜網絡在人類生產生活的各個領域中得到廣泛的應用,如社交網絡、生物神經網絡、電力網絡等[3-4].文獻[5]對小世界模型、無標度模型等具有廣義隨機復雜特性的動態網絡模型進行研究.文獻[6]對耦合振蕩器網絡模型進行總結.復雜網絡在受到內部耦合關系影響的同時還受到外部環境干擾.在過去的大半個世紀,高斯噪聲是一種重要的噪聲模型,得到很多學者關注,并產生了卡爾曼濾波等一系列具有重要影響的工作.文獻[7-8]分別針對具有高斯白噪聲的無標度復雜網絡和移動傳感器復雜網絡開展研究.然而,受到噪聲干擾的復雜網絡還需要學者進一步的研究.

近年來,隨著計算機和通信技術的高速發展,通過多節點進行信息交換的復雜網絡大量應用于具有空間分布式特征的網絡化控制系統[9–12].網絡化控制系統通過共享通信網絡來傳輸和交換傳感器、控制器和執行器等節點間的信息.與傳統的控制系統相比,網絡化控制系統具有信息共享、靈活易擴展等優勢,在自動控制等領域發揮了重要作用[13].文獻[14] 構建一種針對城市環境的多飛行器協同控制的網絡化控制系統.文獻[15] 通過建立前饋和反饋的混合機制,研究具有通信時滯的非線性網絡化控制系統的跟蹤控制問題.在傳統的點對點專用獨立連接系統中,節點間的信息傳輸不受限,其測量值不存在時滯.而與之相比,網絡化控制系統傳輸信息的共享通信信道帶寬受限,且實際工程系統中不可避免地存在網絡擁塞、傳感器飽和等因素,這將導致測量中信號的時滯以不確定的方式出現.這也會引起系統的不穩定,影響估計器的性能.文獻[16] 針對存在不確定時滯的一般復雜網絡,通過自適應反饋控制給出一種用于同時辨識拓撲結構和未知參數的結構辨識方法.文獻[17] 針對存在一步隨機時滯和測量亂序的線性系統,通過求解一組遞推離散時間黎卡提方程,提出一種新的針對無序測量的最優估計器.文獻[18] 針對具有通信時延和隨機缺失量測的復雜系統,通過設計分散輸出反饋控制達成最優控制.由此可知,考慮系統測量值隨機時滯是很有必要的.

在現實生活中,各類系統中的傳感器往往不能夠完全測量出系統的內部狀態值,因此對系統狀態估計問題的研究是具有重要現實意義的.并且隨著當今社會信息化、智能化程度越來越高,如何對各類復雜網絡狀態進行較為準確的估計已經成為眾多學者所探索的難題[19–22].在過去網絡節點數和信息通信量較小時,網絡的狀態估計問題常常使用集中式方法解決.在集中式狀態估計中,由于網絡中的每一個節點都能夠獲得除自身外其他所有節點的觀測信息來進行最優估計,這就保證系統網絡中每一個節點都能更為精確地對系統狀態進行估計.由于擁有估計精準度高的優點,如今集中式狀態估計的方法仍廣泛應用于各類網絡化系統中,如在電力系統中利用間歇終端數據并采用聯合擴展卡爾曼濾波器對發電裝置進行集中式動態估計,得到較好的仿真效果[23].盡管集中式狀態估計在最優性上有著不可比擬的優勢,但隨著各類系統網絡復雜度越來越高,信息通信量也呈指數級增長,集中式狀態估計方法效率低下等弊端日益凸顯.因此針對各類復雜網絡,如何設計魯棒性更強、效率更高的分布式狀態估計方法成為目前的研究熱點.針對網絡拓撲結構會發生切換的復雜系統,文獻[24-25] 給出估計誤差均方有界的估計策略.分布式狀態估計方法還在應對節點發生故障或系統模型發生參數攝動等常見的問題時有著較強的適應性[26],即使對帶有不確定性的非線性系統,分布式估計也能達到較好的估計效果[27].針對存在測量時滯的各類復雜網絡[28],如何為其設計精準的分布式狀態估計器也是亟需研究的重要問題之一.

結合上述討論分析,本文主要研究存在隨機測量時滯的復雜網絡分布式狀態估計問題.本文的創新性總結如下:

1) 基于復雜網絡模型設計狀態預測器,并得到狀態預測誤差協方差.通過楊氏不等式解決節點之間狀態的耦合問題,基于矩陣跡范數和配方法給出楊氏不等式引進參數的最優值.與現有文獻[25] 沒有優化楊氏不等式引進參數的情況相比,有效地降低了狀態預測誤差協方差.

2) 基于存在一步隨機時滯的測量值,設計復雜網絡的分布式狀態估計器.采用配方法設計使估計器性能最優的增益,得到相應的狀態估計誤差協方差.與文獻[24]不同,通過與優化后的狀態預測誤差協方差相結合,給出了狀態估計誤差協方差的迭代公式.

3) 針對所獲得的狀態估計誤差協方差迭代公式,基于估計誤差協方差向量化的方法,給出了估計誤差協方差穩定的一個充分條件.

本文將按照以下結構對問題進行敘述.第1 節對復雜網絡和時滯測量模型進行描述,并設計狀態預測器與分布式估計器.在第2 節中,給出預測誤差協方差和估計誤差協方差,并得到估計誤差協方差的迭代不等式.第3 節分析估計誤差協方差的穩定性.第4 節通過數值實例分析驗證所得算法的有效性.第5 節給出本文的結論.

注 1.本文中,Rn表示n維實數列向量集合,diag{·} 表示對角矩陣,t r(·),ρ(·) 和 v ec(·) 分別表示矩陣的跡、譜半徑和矩陣向量化,正定矩陣(半正定矩陣)M,記為M ?0(0).P{·} 表示隨機變量的概率,E {·} 表示隨機變量的數學期望,上標“-1”表示矩陣的逆.A ?B表示矩陣A和矩陣B的克羅內克積.In代表維度為n的單位矩陣.||x||表示向量x的歐幾里得范數.

1 問題描述

1.1 復雜網絡描述

本文考慮如下由N個節點組成的離散復雜網絡

其中,xi,k ∈Rn,zi,k ∈Rm分別表示復雜網絡第i個節點在k時刻的狀態向量和測量向量;ωi,k ∈Rn和υi,k ∈Rm為第i個節點均值為0 的高斯過程噪聲和高斯測量噪聲.Ai,Bi是具有適當維度的已知矩陣.復雜網絡各節點之間的連接關系由有向圖(V,E,Ψ) 描述,其中V表示節點的集合,E表示邊的集合,Ψ=[Ψij]N×N為復雜網絡的外耦合矩陣,Ψij >0(i≠j)表示節點Vi的信息可以傳到節點Vj,同時滿足 Ψii=-.Γ=diag{r1,···,rn}為復雜網絡的內耦合矩陣.針對復雜網絡 (1),給出如下假設[29-30]:

假設 1.節點i的過程噪聲ωi,k和測量噪聲υi,k相互獨立,它們的均值為 0,且方差分別為Qi=

假設 2.系統參數組 (Ai,Bi) 能檢測.

假設 3.節點i的初始值xi,0獨立于過程噪聲ωi,k和測量噪聲υi,k,它的均值和方差分別為

1.2 時滯測量描述

由于傳感器測量存在不確定干擾,另外測量值有時需要通過無線網絡傳輸,因此,測量時滯成為不可避免的問題.本文考慮每個時刻接收的測量值存在最多一個步長的隨機延滯,其測量模型描述為

其中,yi,k ∈Rm表示在k時刻收到復雜網絡第i個節點的測量值,θk是取值為0 或者1 的伯努利隨機變量,具有如下隨機特性

0

由式(3)可知,隨機變量θk的取值反映了當前時刻測量值是否發生一步時滯.即當θk=1 時,表示當前時刻的測量值發生一步時滯;當θk=0 時,則表示當前時刻的測量值沒有發生時滯.

1.3 狀態預測器與狀態估計器

接下來將基于節點i的模型(1)和隨機時滯的測量值(2),通過設計狀態預測器和分布式狀態估計器估計節點i的狀態.該估計器k+1 時刻的狀態預測值和狀態估計值分別記為.

針對復雜網絡模型(1),設計如下狀態預測方程

基于隨機時滯測量值 (2),復雜網絡 (1)節點i的分布式狀態估計器設計為

其中,Ki,k+1∈Rn×m為節點i待設計的估計器增益矩陣,

注 2.本文所設計的估計器充分利用估計器鄰居的信息,這也要求各個節點能夠進行信息通信,獲得相鄰節點的狀態估計值以及狀態協方差等信息.

將復雜網絡節點i的狀態預測誤差ei,k+1|k和狀態估計誤差ei,k+1|k+1以及它們的協方差分別定義為

由復雜網絡(1)、狀態預測方程(5)和狀態預測誤差定義(7),可以得到復雜網絡節點i的狀態預測誤差ei,k+1|k為

同理,基于復雜網絡(1)、狀態估計方程(6)和狀態估計誤差定義(7),可以得到復雜網絡節點i的狀態估計誤差為

本文的主要目標是針對存在隨機時滯的測量值,設計估計器增益Kk優化估計誤差協方差.下文將會用到楊氏不等式引理.

引理 1.對于任意兩個矩陣X ∈Rn×n,Y ∈Rn×n和一個正標量γ,則以下不等式成立[31]

2 主要結果

本節將對所設計狀態估計器的估計誤差協方差進行分析,并求出使得狀態估計誤差協方差最小的濾波器增益矩陣Ki,k+1,進而得出狀態估計誤差協方差的迭代式.

根據狀態預測誤差協方差的定義(7)和預測誤差方程(8),可得復雜網絡的狀態預測誤差協方差為

同理,結合狀態估計誤差協方差定義 (7)和狀態估計誤差方程 (9),狀態估計誤差協方差為

基于狀態預測誤差協方差(11)和狀態估計誤差協方差(12),可得狀態估計誤差協方差的迭代式及對應的最優估計器增益如定理1 所示.

定理 1.復雜網絡(1)中節點i的分布式狀態估計器增益設計為

則復雜網絡(1) 中節點i的狀態估計誤差協方差Pi,k+1|k+1滿足

證明.針對狀態預測誤差協方差(11)中的耦合項,運用引理 1 的楊氏不等式可得

同理,可得

將消去耦合項的不等式(16)和(17)代入狀態預測誤差協方差(11),可得

由式(18)可知,不等式右邊與變量γ1,i,k有關.為優化變量γ1,i,k,基于矩陣跡和式(18),定義如下函數

接下來,將基于式(12)分析狀態估計誤差協方差Pi,k+1|k+1的迭代公式及估計器的設計.首先,根據引理 1 中的楊氏不等式對估計誤差協方差(12)中的耦合項進行解耦,可得

將式(21)代入式(12),可得以下關于狀態估計誤差協方差Pi,k+1|k+1的不等式

由式(22)可知,狀態估計誤差協方差Pi,k+1|k+1可以通過設計估計器增益Ki,k+1進行優化,通過配方可以將式(22)轉化為

結合估計器增益(13),不等式(23)右邊可以取到最小值,即

基于狀態預測協方差(20)和狀態估計協方差(24),可得式(14)所示的狀態估計協方差迭代公式.

3 穩定性分析

本節將分析第 2 節所得的估計誤差協方差的穩定性.記預測誤差協方差(18)與估計誤差協方差(22)的上界分別為 ?i,k+1|k和 ?i,k+1|k+1.采用向量化[32]方法,定義vec(?k+1|k+1)=[vec(?1,k+1|k+1)T,···,vec(?N,k+1|k+1)T]T,則根據式(20) 和式(22)可得如下線性系統:

其中

基于以上線性系統,估計誤差協方差穩定的充分條件總結如下.

定理2.基于預測器(5)和估計器(6)得到的狀態估計誤差協方差Pi,k+1|k+1有界的充分條件為存在常增益矩陣集合K={K1,···,KN},參數集合γ1={γ1,1,···,γ1,N}和γ2={γ2,1,···,γ2,N},使得如下不等式成立:

其中,Ξ(K,γ1,γ2))=ΞKk+1.

證明.如果存在K={K1,···,KN},γ1={γ1,1,···,γ1,N}和γ2={γ2,1,···,γ2,N},使得式(26)成立,則由式(19)可知

進一步,由式(13)最優估計器增益的設計可得

基于譜半徑(28),可知向量 vec(?k+1|k+1) 是漸進穩定的.根據式(20)和式(23)可得

根據不等式(29),可知Pi,k+1|k+1是有界穩定的.

4 仿真驗證

4.1 小車耦合系統描述

基于文獻[33]中的單目標追蹤模型,本節考慮由 4 個小車組成的編隊系統.定義小車i的狀態為分別代表該小車在X,Y軸上的位移(m)和速度(m/s).圖1 顯示了小車信息的耦合關系,小車間的箭頭表示信息的流向.小車之間的位置與速度信息可以通過專網進行交換,或者通過測量相對信息換算獲得.由小車構成的耦合系統協同完成任務時,一般相距較近同時采用專網通訊,因此本文不考慮耦合信息的時滯問題[34-35].綜上,可得系統(1)的參數為

圖1 小車耦合系統的拓撲Fig.1 The topology of coupled systems consisted of vehicles

另外,考慮系統的采樣時間為Ts=0.1 s,參數q=0.01 m2/s3.小車之間的外部和內部耦合矩陣為

針對以上給出的小車耦合系統,每個小車的初始值為

圖2 給出了小車的實際運動軌跡.

圖2 小車的實際運動軌跡Fig.2 The actual motion trajectories of vehicles

4.2 狀態估計

令模型(1)中各個節點的量測矩陣為

即測量信息為小車在X,Y軸的坐標,其對應的量測噪聲方差分別為

由以上參數可知,對于每個節點i,(Ai,Bi)(i=1,2, 3, 4)是可觀測的.最后,設傳感器網絡發生一步時滯的概率為P(θk=1)=0.03.估計器的狀態初始值為

以及初始協方差為

下面將從兩個方面進行對比仿真驗證:

1) 沒有對楊氏不等式產生的變量進行優化[25],即楊氏不等式產生的變量為常數,假設γ1,i,k=1,γ2,i=0.7.

為比較兩種方法的差別,對系統的每個節點進行l=100 次蒙特卡洛仿真,同時,每次仿真的時間總和為100 s,得到平均均方誤差(Mean squared error,MSE),其定義為

表1 基于優化和未優化的 γ1,i,k 的上界tr(Pi,k|k)Table 1 The upper bound t r(Pi,k|k) based on γ1,i,k with and without optimization

表2 基于優化和未優化的 γ1,i,k 的MSE i,k|kTable 2 The MSE i,k|k based on γ1,i,k with and without optimization

圖3 優化和未優化的γ1,i,kFig.3 γ1,i,k with and without optimization

圖4 基于優化和未優化 γ1,1,k 的第1 個節點的估計誤差協方差上界的跡和MSEFig.4 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 1 based on γ1,1,k with and without optimization

圖5 基于優化和未優化 γ1,2,k 的第2 個節點的估計誤差協方差上界的跡和MSEFig.5 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 2 based on γ1,2,k with and without optimization

圖6 基于優化和未優化 γ1,3,k 的第3 個節點的估計誤差協方差上界的跡和MSEFig.6 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 3 based on γ1,3,k with and without optimization

圖7 基于優化和未優化 γ1,4,k 的第4 個節點的估計誤差協方差上界的跡和MSEFig.7 The trace of upper bound of the estimation error covariance and the MSE of the node 4 based on γ1,4,k with and without optimization

5 結束語

本文研究了一類存在一步時滯的復雜網絡分布式狀態估計問題,并采用伯努利隨機變量刻畫隨機變化的時滯情況.本文分別設計了復雜網絡的狀態預測器和分布式狀態估計器.基于楊氏不等式消除了耦合項,基于跡范數結合配方法優化了狀態預測誤差協方差.通過采用楊氏不等式和設計估計器增益,獲得了狀態估計誤差協方差,同時基于預測誤差協方差,獲得了狀態估計誤差協方差的迭代公式.本文給出了估計誤差協方差穩定的一個充分條件,通過一個由小車組成的復雜網絡系統,驗證了所設計估計器的有效性.