一種超靜定波形腹板梁的撓度計算方法研究

【摘 要】波形腹板梁的手風(fēng)琴效應(yīng)令其在相同荷載下產(chǎn)生的撓度相對一般組合梁更大，而工程設(shè)計中對超靜定梁的撓度計算一直是較為繁瑣的步驟之一。本文從對靜定波形腹板梁撓度計算方法的簡化出發(fā)，介紹了一種將支座彎矩看作疊加在簡支梁上額外彎矩的超靜定波形腹板梁撓度計算的方法，并通過與參考文獻試驗結(jié)果和規(guī)范公式的對比驗證了計算方法的正確性，論證了腹板剪切變形在撓度計算中不可忽略的結(jié)論。以參數(shù)分析的方式對比了影響波形腹板組合梁撓度的相關(guān)因素，量化了高跨比和波折角等參數(shù)對剪切變形撓度占總撓度比值的影響，并提出了可通過減小波折角度來對腹板剪切變形引起的撓度進行控制的建議。

【關(guān)鍵詞】超靜定梁； 波形腹板組合梁； 剪切變形； 撓度

【中圖分類號】U448.21【文獻標(biāo)志碼】A

［定稿日期］2023-12-25

［作者簡介］劉應(yīng)該（1989—），男，本科，工程師，從事施工技術(shù)管理工作。

0 引言

波形腹板梁因其優(yōu)良的腹板平面外剛度和抗剪能力［1］使其能夠在不增加截面高度的前提下，提高空間的凈高度，在構(gòu)件運輸與安裝過程中，波形腹板的挺起剛度也能保證構(gòu)件截面形狀不發(fā)生改變［2］，有利于其在土木工程中的推廣。然而其特有的手風(fēng)琴效應(yīng)［3］也明顯降低了腹板的抗剪剛度，令腹板的剪切變形相較于普通鋼梁不可忽略。

為簡化計算，我國CECS291-2011《波紋腹板鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》將兩端固支、連續(xù)梁和框架梁統(tǒng)一看作兩端固定，給出了波形腹板梁的跨中撓度計算公式，但該方法局限性較多，不僅梁必須受到集中荷載或均布荷載的作用，而且還難以表征全梁的撓度變化。我國學(xué)者也對波形腹板梁的撓度問題進行了大量的試驗和研究：賀君等［5］從轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)了對稱荷載下簡支波形鋼腹板組合梁的跨中撓度計算方法及其適用范圍；葉華文等［6］通過擬合提出了基于最小勢能原理的簡支波形鋼腹板組合梁和懸臂波形鋼腹板組合梁跨中撓度的三角級數(shù)解，并給出了考慮剪切變形的高跨比界限；陳夏春等［7］提出了波形鋼腹板梁的“夾層梁理論模型”，推導(dǎo)了以撓度為自變量的控制微分方程。然而，這些研究都集中在靜定結(jié)構(gòu)上。未對超靜定波形腹板梁的撓度求解方法進行討論。

本文在計算機的輔助下，將超靜定波形腹板梁等效為靜定梁與額外彎矩的結(jié)合，以等分直方圖代替積分的方式，在不增加工作量的前提下獲得較為準(zhǔn)確的波形腹板梁撓度計算結(jié)果，并通過參數(shù)分析研究不同條件下的波形鋼腹板型鋼梁的撓度特征。

1 撓度計算方法

1.1 規(guī)范公式

CECS291-2011《波紋腹板鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》從結(jié)構(gòu)受力特點出發(fā)，認(rèn)為截面彎矩全部由頂?shù)装宄袚?dān)，得到只考慮頂?shù)装蹇箯潉偠鹊目缰袕澢鷵隙扔嬎愎揭娛剑?）。

Δ1=PL3192EI；跨中集中荷載下qL4384EI；全梁均布荷載下（1）

式中：P為跨中集中荷載；q為全梁均布荷載；L為梁的計算跨度；E為頂?shù)装宀牧蠌椥阅Ａ浚籌為頂?shù)装鍖θ孛嫘涡牡膽T性矩。

波形腹板沿梁高度方向上剪力均勻分布，在全截面剪力由腹板承擔(dān)的假設(shè)下，得到跨中腹板剪切變形計算公式見式（2）。

Δ2=PL4GeAw；跨中集中荷載下qL28GeAw；全梁均布荷載下（2）

式中：Ge為腹板等效剪切模量，由波形腹板的剪切模量G直板段長度aw、斜板段水平投影長度bw和斜板段長度cw按下式折減：Ge=G（aw+bw）/（aw+cw）；Aw為腹板面積，由波形腹板的高度hw和厚度tw按下式求得：Aw=hwtw。

將式和相加便得到CECS291-2011《波紋腹板鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程［4］中的撓度計算公式見式（3）。

Δ=PL3192EI+PL4GeAw；跨中集中荷載下qL4384EI+qL28GeAw；全梁均布荷載下（3）

1.2 撓度的數(shù)值算法

CECS291-2011《波紋腹板鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》對超靜定波形腹板梁的撓度計算提出了原則性方法，即：彎矩全部由頂?shù)装宄袚?dān)且只考慮其彎曲變形、剪力全部由腹板承擔(dān)且只考慮其剪切變形。

在彎曲變形計算中，假設(shè)當(dāng)截面承受圖1（a）所示任意荷載Q（x）時截面彎矩分布見圖1（b），如對各同號彎矩區(qū)段取最大彎矩處的頂?shù)装鍎偠葹楸緟^(qū)段的抗彎剛度見圖1（c）、圖1（d）。利用結(jié)構(gòu)力學(xué)原理進行頂?shù)装遄冃我鸬膿隙扔嬎銜r，略去軸向變形及剪切變形影響后表述為式（4）。

Δ1=∑∫MpEIdx（4）

其中：Symbol`A@M為虛設(shè)單位荷載作用下梁的彎矩；MP為實際荷載作用下梁的彎矩；x為梁跨度方向。對于承受豎向荷載的超靜定波形腹板梁，可將其簡化為支座處存在附加彎矩的簡支梁。不同區(qū)段的抗彎剛度可記為：0lt;Xlt;X1時，EI=BL；X1lt;Xlt;X2時，EI=BM；X2lt;Xlt;L時，EI=BR。此時式可改寫為式（5）。

Δ1=∑∫x10MpBLdx+∑∫x2x1MpBMdx+∑∫x10MpBRdx（5）

由于外荷載Q（x）的隨意性，式的精確求解非常煩瑣，這對工程計算而言是沒有必要的。在滿足計算精度的條件下，可把Symbol`A@M與MP分為等分的直方圖，第i個區(qū)域內(nèi)的彎矩值可取該區(qū)域左右端彎矩值的算術(shù)平均值。這樣式可進一步簡化為式（6）。

Δ1=∑ni=1iMPiBiΔx（6）

其中：n為等分的份數(shù)；Δx=L/n；Symbol`A@Mi和MPi分別為第i區(qū)段Symbol`A@M和MP彎矩直方圖的值。

在單獨考慮剪力作用時，任意荷載Q（x）造成的截面剪力分布如圖2所示，截面剪力全部由腹板承擔(dān)且沿高度方向均勻分布，腹板剪切變形引起的撓度可由式（7）求得。

Δ2=∑∫V（X）GeAwdx（7）

式中：V（x）為截面x處的剪力值。按與彎曲變形計算同樣的等效方式，可進一步簡化為式（8）。

Δ2=∑ni=1ViGeiAwΔx（8）

式中：Vi為第i區(qū)段承受剪力平均值；Gei為第i區(qū)段的腹板等效剪切模量平均值。

綜上所述，在任意外荷載作用下，將超靜定波形腹板梁看作受到豎向荷載Q（x）及支座處額外彎矩作用的簡支梁，在將梁沿長度等分為n份后按下式進行撓度求解見式（9）。

Δ=Δ1+Δ2=∑ni=1iMPiBi+ViGeiAwΔx（9）

2 波形腹板梁的撓度計算

波形腹板組合梁典型截面如圖3所示，在彎曲變形計算時，E取混凝土彈性模量，I取混凝土頂板和混凝土底板對截面形心軸的換算慣性矩之和；在單獨考慮剪切作用時，腹板面積Aw取腹板數(shù)量、腹板高度hw和腹板厚度tw的乘積，腹板換算剪切模量Ge由腹板剪切模量G、腹板直板段長度aw、腹板直板段投影長度bw和腹板斜板段長度cw由式（10）計算：

Ge=G（aw+bw）/（aw+cw）。

上述方法能夠從理論上解決波形腹板組合梁撓度計算的問題。在實際工作中，超靜定梁等效為簡支梁的端部附加彎矩可通過查閱各種結(jié)構(gòu)分析程序的內(nèi)力文件得到。在計算機的輔助下，計算的流程可按流程（圖4）進行。

3 結(jié)果驗證

以文獻［8］的試驗結(jié)果對本文計算方法進行驗證，文獻試驗梁采用一端固定鉸支一端活動鉸支的約束方式來模擬簡支梁的支承條件，計算跨徑2 400 mm，加載方式為跨中單點加載，截面抗彎慣性矩I=55474.29 cm4，腹板面積Aw=460 mm2，頂?shù)装寤炷翉椥阅Ａ縀=2.7×104 MPa，腹板換算剪切模量Ge=8.4×104 MPa。由計算結(jié)果（表1）可知，理論結(jié)果與文獻［8］吻合良好，出現(xiàn)偏差的原因在于計算中采用了“如剪應(yīng)力均勻分布，剪力全部由波形鋼腹板承擔(dān)等”較為理想的假設(shè)條件，且腹板剪切變形對跨中撓度的貢獻不可忽略。

將文獻［8］的端部約束條件更改為兩端固定，規(guī)范公式與本文公式跨中撓度計算結(jié)果的對比繪制于圖5，可見在兩端固定的端部約束下，本文公式跨中撓度結(jié)果的散點圖與規(guī)范公式的荷載撓度曲線結(jié)果基本一致。與簡支波形腹板梁相比，固支帶來的約束能力增強對跨中由彎曲變形產(chǎn)生的撓度起到一定的控制作用，但對由波形腹板剪切變形帶來的附加撓度影響不大。

4 結(jié)果分析與對比

假定波形腹板梁的截面幾何形式同文獻［8］，以及將腹板替換為平直腹板采用換算截面法得到的彎曲撓度；計算跨徑L不變，以改變截面高度的方式令高跨比取0.05～0.3；在aw=cw=30 mm的前提下，令波折角θ取15～60°來分析高跨比、波折角和平直腹板對跨中10 kN集中荷載下兩端固支波形鋼板組合梁撓度的影響程度。

由平直腹板撓度與波形腹板梁的撓度對比（圖6）可知：波形腹板組合梁的彎曲變形撓度與平直腹板組合梁基本一致，說明腹板對截面抵抗彎曲變形能力的貢獻不大，但由于波形腹板梁手風(fēng)琴效應(yīng)的影響，在頂?shù)装鍙澢透拱寮羟凶冃蔚墓餐饔孟虏ㄐ胃拱褰M合梁的總撓度遠大于平直腹板組合梁。故在波形腹板組合梁撓度計算中應(yīng)計入腹板剪切變形的影響。

由不同高跨比下彎曲變形產(chǎn)生的撓度（簡稱彎曲撓度）和剪切變形產(chǎn)生的撓度（簡稱剪切撓度）占總撓度的比值（圖7）可知：波形腹板組合梁的彎曲撓度占總撓度比值隨高跨比的增加而減小，在高跨比為0.05時取得最大值69%，在高跨比為0.3時取得最小值33%；剪切撓度占總撓度比值隨截面高跨比的增加而增加，在高跨比為0.05時取得最小值31%，在高跨比為0.3時取得最大值67%；在高跨比略小于0.15時，彎曲撓度和剪切撓度占總撓度的比值均趨于50%；當(dāng)高跨比在0.05～0.15時，彎曲撓度占總撓度比值和剪切撓度占總撓度比值隨高跨比變化曲線的斜率絕對值均穩(wěn)定在2，當(dāng)高跨比大于0.15時，彎曲撓度占總撓度比值和剪切撓度占總撓度比值隨高跨比變化曲線的斜率絕對值逐漸減小，在高跨比為0.3時達到最小值0.8。即隨截面高度增加，波形腹板剪切變形產(chǎn)生的附加撓度逐漸增加，但附加撓度的變化率整體上呈減小趨勢。

由不同波折角下的剪切撓度和剪切模量占比（圖8）可知：在直板段長度不變的前提下，波形腹板組合梁的波折角對剪切撓度和剪切模量占比均有顯著影響。隨波折角的增大，腹板換算剪切模量呈下降趨勢，在波折角為75°時腹板換算剪切模量占初始剪切模量的比值達到最小值63%；剪切撓度占總撓度比值隨波折角的增大呈增大趨勢，且波折角越大其影響程度越大，在波折角為75°時取得最大值83%。因此可采用減小波折角的方式對波形腹板剪切變形的附加撓度進行控制。

5 結(jié)束語

為能夠掌握超靜定波形腹板組合梁撓度的計算方法，并增加其在結(jié)構(gòu)設(shè)計時的可操作性，本文在與CECS291-2011《波紋腹板鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》對比的前提下，與積分原理相結(jié)合，本文提出了采用分段計算后相加的方法對簡支波形腹板組合梁撓度，并將固支端產(chǎn)生的支座彎矩以額外彎矩的形式進行考慮，依靠疊加到簡支梁上后的結(jié)構(gòu)內(nèi)力對超靜定波形腹板組合梁的撓度進行計算。利用以上方法，工程師可不再拘泥于幾何參數(shù)的習(xí)慣取法而得到綜合各種因素的“最佳值”，創(chuàng)造最佳的綜合經(jīng)濟效益，提高設(shè)計水平。并通過對結(jié)構(gòu)進行參數(shù)分析后，得到以下主要結(jié)論：

（1）在波形腹板組合梁計算中，腹板剪切變形產(chǎn)生的撓度不可忽略，且其對撓度的影響隨截面高度的增加而增加，故腹板剪切變形宜作為截面高度設(shè)計的考慮因素之一。

（2）隨腹板的波折角度的增加，剪切撓度占總撓度比值亦呈增大趨勢，且波折角越大其影響程度越大，當(dāng)波折角為75°其占比達到80%以上，故當(dāng)波形腹板剪切變形的附加撓度超過限值時，可考慮降低波折角度進行控制。

參考文獻

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