對安培力與洛倫茲力的關系的探討

摘" "要：安培力和洛倫茲力是不同的物理概念，它們既有聯系又有區別。通過對二者數學關系的推導，在做功問題上的矛盾的討論，利用霍爾效應對其機理的分析，進一步論證了安培力與洛倫茲力在宏觀和微觀上的聯系，以加深對這兩個基本概念的理解。

關鍵詞：安培力；洛倫茲力；霍爾效應

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）2-0062-3

安培力和洛倫茲力是高中物理電磁學部分的重要概念，二者與諸多電磁學問題相聯系，對它們的理解、掌握和應用情況關系到教學目標是否能實現，也是教學中的重點與難點。然而，由于受高中物理課程標準和教材內容編寫要求所限，對這兩種力只能進行基本的講解，無法讓學生明白其更深刻的物理機理，從而導致在教學中出現一些學生難以理解的問題，如安培力與洛倫茲力的關系等。

安培力是電流產生的嗎？如果是，兩束平行運動的電荷受到彼此的磁場力的作用也是安培力嗎？此外，眾所周知，洛倫茲力不做功，而安培力可以做功，但又有“安培力是洛倫茲力的宏觀表現”的說法，這豈不矛盾了嗎？下面將對這些問題進行探討。

1" " 概念辨析

在人教版《普通高中教科書 物理 選擇性必修第二冊》（2020年5月第1版）（以下簡稱“高中物理教材”）中，是這樣定義安培力和洛倫茲力的：

安培力 把通電導線在磁場中受到的力稱為安培力。

洛倫茲力 把運動電荷在磁場中受到的力稱為洛倫茲力。

在趙凱華主編的《新概念物理教程 電磁學》（第二版）（以下簡稱“大學電磁學教材”）中，是這樣定義安培力和洛倫茲力的：

安培力 由定義磁感應強度的表達式d=Id×，電流元Id在外磁場中受到的磁場力d稱為安培力。其中，d為某個閉合回路中的一部分。

洛倫茲力 帶電量為q、以速度在磁感應強度為的磁場中運動的帶電粒子所受的力=q×稱為洛倫茲力。

從以上教材的定義可以看出：無論是高中物理教材中的“通電導線”，還是大學電磁學教材中的“電流元”，安培力均是對通有電流的“導線”在外磁場中受的磁場力而言的，而不是對“電流”（電流可以不依賴于導線而存在，如分子電流）；洛倫茲力則均表述為在磁場中運動的帶電粒子所受的磁場力。顯然，這兩種力的受力者是不一樣的，前者為“通電的導線”，后者為“運動的帶電粒子”。盡管通電導線中通有電流，且電流本身就是由做定向運動的電荷形成的，但安培力并不是“電流”或“做定向運動的電荷”所受的力。故，這兩種力在概念上是不一樣的。顯然，兩束平行運動的電荷受到彼此的磁場力的作用與以上關于安培力的定義有所差異。

2" " 安培力與洛倫茲力的關系的理論推導

在大學電磁學教材中，對安培力與洛倫茲力的關系進行了如下推導：如圖1所示，設在某段圓柱形導體內通有電流I，方向水平向左。從微觀角度看，此電流是導體中的自由電子向右以速率v做定向運動而形成的。設自由電子數密度為n，每個電子所帶電荷量為-e，導體的橫截面積為S，dt時間內電子在導體中前進的距離為dl，則該時間內通過導體橫截面的電荷量等于導體內以底面積為S、高為dl的圓柱體內的自由電子的總電荷量，即dq=neSdl。由電流強度的定義，有

在此導體中，取長為l的一段，它所受的安培力大小為F=BIl。將（1）式代入，得

F=BneSvl（2）

在長為l的這一段中，總的自由電子數為N=nsl，故（2）式可寫成

F=NevB（3）

而每個自由電子在磁場中所受的洛倫茲力大小為

f=evB（4）

故由（3）（4）式可得

F=Nf（5）

從（5）式可以看出，在此段導體中通有電流I時，它所受的安培力的大小是其中N個自由電子受到的洛倫茲力大小之和。基于此，在大學電磁學教材中也出現了“導線受的安培力就是作用在各自由電子上洛倫茲力的宏觀表現”的表述。

3" " 關于做功問題

我們熟知，洛倫茲力不做功，而安培力可以做功。下面從一個常見的通電導體在磁場中運動的問題對此進行討論。

如圖2所示，在水平放置的U形平行金屬導軌上有一長為L、電阻為R的粗細均勻的直導體桿，導體桿與導軌垂直并始終保持良好接觸，桿在水平力F作用下沿與導軌平行的方向以速率v1向右做勻速直線運動，電源電動勢為E（忽略內阻和導軌的電阻）?，F在來討論桿從AB位置運動到CD位置的過程中，安培力對桿所做的功和桿中自由電子所受洛倫茲力做功的情況。

設回路中的電流為I，則由已知條件有I=，因而桿所受的安培力大小為F=BIL=。設桿在此過程中的位移大小為Δx，則安培力做功為

WF =F·Δx=（6）

現在考慮洛倫茲力做功的情況。桿中的自由電子參與了兩個分運動，即速率為v1的與桿一起向右的勻速運動和速率為v2的與桿垂直且方向指向A的、在導體中形成電流的定向運動，其合運動的速率為v，與兩個分運動相應的自由電子受到的洛倫茲力分別為f1和f2。

顯然，桿中所有自由電子所受的洛倫茲力的分力f2在宏觀上即表現為桿所受的安培力，其對桿做正功，大小由（6）式給出。在桿從AB位置運動到CD位置的過程中，經歷的時間為Δt=。f1與桿運動方向垂直因而對桿不做功，但會在桿中產生與電源電動勢相反的動生電動勢Ei=-BLv1。此電動勢在時間Δt內所做的功為

Wf = EiIΔt=-BLv1··=-（7）

由（6）（7）式可知，f2做正功，f1做負功，且總和為零，即桿中自由電子所受洛倫茲力總體上是不做功的，這與我們熟知的結論一致。同時，因為f1和f2這兩個洛倫茲力是同時且成對出現的，因此無法僅就其中一個洛倫茲力可做功的情況便否定洛倫茲力不做功的結論。所以，也不可以認為安培力一定是洛倫茲力的合力或宏觀表現［1］。

由此也可以看出，在此問題情境中，安培力確實是洛倫茲力的宏觀表現，而安培力做的功也只是洛倫茲力貢獻的一個分力所做的。

4" " 從霍爾效應看安培力

如圖3所示，一橫截面為矩形的導體置于垂直于紙面向里的勻強磁場中，其中所通的電流為I，方向與磁場垂直且水平向左。由于導體中的電流與磁場垂直，導體中的自由電子會受到豎直向下的洛倫茲力fm而向下偏轉，從而使導體上表面帶正電，下表面帶負電，在兩表面之間產生電勢差，這即是霍爾效應。上下兩表面開始積累凈電荷后就建立起了霍爾電場，因此自由電子受到豎直向下的洛倫茲力的同時還受到了豎直向上的霍爾電場力fe的作用。隨著積累的電荷量的增加，fe逐漸增大，最終會與洛倫茲力fm平衡，霍爾電場達到恒定狀態。由此可見，在導體中做定向運動的自由電子所受的洛倫茲力已與霍爾電場力平衡。那么，導體受到的安培力從何而來呢？

實際上，在導體中通有恒定電流時，盡管有霍爾效應的產生，但導體內宏觀上看無限小、微觀上看非常大的區域還是電中性的。因此，前面討論了運動的自由電子受力達到平衡，還應當考慮與自由電子電荷量相當的相應正電荷受到的霍爾電場力，這些正電荷受到的霍爾電場力在宏觀上的表現便可認為是導體受到的安培力［2］。

大學電磁學教材中認為，“雖然這個力（洛倫茲力）作用在金屬內的自由電子上，但是自由電子不會越出金屬導線，它所獲得的沖量最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看起來是金屬導線本身受到這個力”［3］?？墒?，根據霍爾效應的觀點，任何置于磁場中的導體，只要其中的電流不平行于磁場，都會產生霍爾效應，因而可認為自由電子受到的洛倫茲力與霍爾電場力達到平衡，從表面上看安培力產生的機理與洛倫茲力沒有直接的關系。但是，盡管達到了動態平衡，自由電子整體運動方向不再有垂直于電流方向的偏轉，但洛倫茲力本身仍然存在，且會有沿這一方向的宏觀沖量。

當然，也可以從另一個角度來考慮。一方面，因導體中的正、負電荷量是相等的，它們受到的霍爾電場力也必然大小相等、方向相反，所以對整個導體來說是平衡的。另一方面，自由電子在其中做定向運動時受到了洛倫茲力，而這一洛倫茲力的方向正好與安培力方向一致，因而也可認為是自由電子受到的洛倫茲力通過與金屬晶格的作用而整體上表現為導體受到的安培力。

5" " 小" "結

建立模型是解決物理問題和發展物理理論的重要手段，因此模型建構能力也是中學物理教學中要培養的學生的重要能力之一。通過建立的物理模型解釋客觀的物理現象時，只要是合理且嚴謹的，就可以應用。如果對某個物理現象用幾種模型都可以解釋，那么不僅能說明建立的物理模型本身的合理性，也說明此物理現象背后可能還隱藏著我們未知的秘密，正如牛頓用萬有引力解釋天體運行規律而愛因斯坦用的卻是相對論理論一樣。安培力和洛倫茲力有著緊密的聯系，二者在不同的情境中又體現出不同的關系和特點。這兩種力都是人為賦予的概念，它們在本質上都是電磁相互作用，人們只是根據其具體的情況和特點命名而已，并非要從根本上進行區分。在教學中，也無須刻意從物理根源上把二者割裂開來或等同起來。

參考文獻：

［1］管金來.安培力是洛倫茲力的合力嗎［J］.中學物理， 2014，32（23）：43-44.

［2］陳璐暢，鄧有鴻.關于洛倫茲力與安培力關系的思想碰撞［J］.物理通報， 2017（6）：102-105.

［3］趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程 電磁學（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

（欄目編輯" " 蔣小平）

收稿日期：2023-10-13

作者簡介：雷賢明（1967-），男，中學正高級教師，主要從事中學物理教學工作和實驗研究。