自感“千人震”實驗的理論分析與數(shù)值模擬

摘" "要：對中學(xué)物理“自感現(xiàn)象”教學(xué)中經(jīng)常被教師引入課堂的“千人震”自感小實驗進行理論分析和數(shù)值模擬。詳細分析了實驗中開關(guān)閉合和開關(guān)斷開過程中的電流和電壓變化，并且結(jié)合相關(guān)實驗參數(shù)對閉合開關(guān)瞬間和斷開開關(guān)瞬間電流和電流變化率隨時間演化的數(shù)值模擬，深入解釋實驗產(chǎn)生“千人震”現(xiàn)象的原因。

關(guān)鍵詞：“千人震”實驗；自感；數(shù)值模擬

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）2-0047-4

在中學(xué)物理電磁感應(yīng)部分的“自感現(xiàn)象”教學(xué)中，很多教師將“千人震”自感小實驗引入課堂，讓學(xué)生現(xiàn)實體驗自感現(xiàn)象的有趣和神秘［1-2］。該實驗原理如圖1所示，實驗器材也非常簡單，選用生活中常用的電動勢為1.5 V的干電池作為直流電源，一個用于日光燈上的鎮(zhèn)流器（電感），以及開關(guān)和導(dǎo)線。實驗邀請幾個學(xué)生手拉手站成一排，兩邊的學(xué)生分別抓住導(dǎo)線的兩端與鎮(zhèn)流器并聯(lián)（圖1），這時開關(guān)處于斷開狀態(tài)；然后閉合開關(guān)；經(jīng)過一段時間后再斷開開關(guān)。該實驗的結(jié)果是：在開關(guān)由斷開到閉合瞬間的過程，參與實驗的學(xué)生沒有觸電的感覺；開關(guān)持續(xù)接通的過程中，參與實驗的學(xué)生仍然沒有觸電的感覺；然而，在斷開開關(guān)的瞬間，參與實驗的學(xué)生有明顯的觸電感覺。此實驗有驚無險，學(xué)生對一節(jié)干電池的“威力”疑惑不解時，教師也順利引入“自感現(xiàn)象”的教學(xué)。之所以參與實驗的學(xué)生會有觸電的感覺，是由于鎮(zhèn)流器產(chǎn)生的自感高壓［3-4］。本文就實驗的幾個過程從理論上詳細分析電流、電壓的變化。

1" " 實驗理論分析

如圖1所示，設(shè)電源電動勢為E（忽略電源內(nèi)阻），鎮(zhèn)流器自感系數(shù)為L，電阻為R（簡單起見，這里將鎮(zhèn)流器的電阻從鎮(zhèn)流器中分離出來，與外電阻合并成電阻R），參與實驗學(xué)生的電阻為Rm。實驗開始，參與實驗的學(xué)生按照圖1握住導(dǎo)線兩端。閉合開關(guān)S前，整個電路沒有任何電流。閉合開關(guān)S，電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路和參與實驗學(xué)生（Rm）支路并聯(lián)與電源E接通，如圖2所示。其中，通過電源的總電流為I；參與實驗學(xué)生（Rm）支路，在閉合開關(guān)S瞬間與電源直接相連，電流不隨時間變化，記為Im；電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路，由于鎮(zhèn)流器的自感作用電流逐漸增加，故記為i。

1.1" " 開關(guān)從斷開到閉合過程

這里，我們從參與實驗學(xué)生（Rm）支路和電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路兩個支路來分析開關(guān)從斷開到閉合的過程（圖2）。

1.1.1" " 參與實驗學(xué)生（Rm）支路

閉合開關(guān)瞬間，參與實驗學(xué)生（Rm）支路與電源接通，支路兩端電壓（即圖2中d，e兩點之間的電壓）Ude為電源電壓。

該支路的電流不隨時間變化。電壓、電流關(guān)系可直接由歐姆定律給出

E=ImRm

電流為

Im=

這里也可以看到閉合開關(guān)瞬間，接在參與實驗學(xué)生身上的電壓僅僅是電源電壓，即干電池的1.5 V的電壓，電壓特別低，所以學(xué)生并沒有觸電的感覺。

電路圖以及電流流向表示

1.1.2" " 電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路

開關(guān)閉合瞬間，電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路兩端電壓（即圖2中a，c兩點之間的電壓）Uac為電源電壓E。電阻R兩端電壓Uab=iR，而鎮(zhèn)流器兩端電壓Ubc滿足

Ubc=L

雖然電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路電流i隨時間變化，但是在開關(guān)閉合瞬間仍然滿足

E=Uab+Ubc

即

E=iR+L

電流變化率

=-i

分離變量可得

=-dt

對上式進行積分

=-dt'

即

ln[]

=-t

閉合開關(guān)S瞬間的初始時刻（t=0），電流i（0）=0，所以

ln[]=-t

兩邊同時取指數(shù)并化簡可得

i=[1-e-（R/L）t]

這時我們可以給出通過鎮(zhèn)流器的電流變化率隨著時間的函數(shù)關(guān)系

=e-（R/L）t

當(dāng)t=0時，電流i=0，電流變化率=。

當(dāng)t→∞，電流i→，電流變化率=→0，如圖3、圖4所示。

[][t][i][O]

1.2" " 閉合開關(guān)后一段時間的狀態(tài)

如圖4所示，當(dāng)閉合開關(guān)后電流變化率隨著時間推移越來越小。如果時間足夠長，電流變化率幾乎為零，電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路電流穩(wěn)定在E/R。這個時間非常短，后面可以用實例來說明。對于參與實驗學(xué)生（Rm）支路來說，從閉合開關(guān)到整個電路穩(wěn)定的過程中，電壓和電流均不變化，分別為E和E/Rm。

1.3" " 開關(guān)從閉合到斷開過程

閉合開關(guān)后，很短的時間電路就達到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定電流I=E/R。這個時候斷開開關(guān)S，鎮(zhèn)流器將會在自感作用下產(chǎn)生感應(yīng)電動勢阻礙電流的減小，即t=0時刻，流過鎮(zhèn)流器的電流為E/R。圖5給出了斷開開關(guān)瞬間的電流流向示意圖，可以看到鎮(zhèn)流器、參與實驗學(xué)生、電阻構(gòu)成回路，其中鎮(zhèn)流器作為電源。

開關(guān)瞬間的電路圖以及電流流向表示

假設(shè)斷開開關(guān)時鎮(zhèn)流器的感應(yīng)電動勢為ε=-L（di/dt），回路中的電流為i。該回路滿足Kirchhoff定律［5］，可以給出如下方程

ε=iR+iRm

即-L=iR+iRm

電流變化率可寫為

=-i

分離變量可得

=-dt

對上式進行積分

=-dt'

lni

=-

t

兩邊取e指數(shù)，得

e=e

斷開開關(guān)瞬間，t=0時刻，電流大小為開關(guān)閉合時穩(wěn)定的電流i0=E/R，所以回路中的電流隨時間的變化函數(shù)為

i=e

電流變化率

=-e

鎮(zhèn)流器的感應(yīng)電動勢為

ε=-L=e

圖6、圖7給出了斷開開關(guān)瞬間，電流i和電流變化率隨時間的演化。可以看出，隨著時間的推移，電流和電流變化率均趨近于零。這里電流變化率為負值是說明電流是關(guān)于時間的減函數(shù)。

2" " 實驗參數(shù)計算

以上給出了“千人震”實驗的理論分析和無量綱化的結(jié)果。在實驗過程中，究竟多長時間電流達到穩(wěn)定狀態(tài)，參與實驗的學(xué)生能夠感受多大的電壓，我們給出一些實驗參數(shù)進行計算。對于人體的平均電阻大約為Rm=2 000 Ω，干電池電壓E=1.5 V，鎮(zhèn)流器電感L=0.05 H，外電阻（包含鎮(zhèn)流器內(nèi)阻） R=100 Ω。將這些實驗參數(shù)分別代入前面得到的電流和電流變化率的表達式，即可得到電流和電流變化結(jié)果。不過為了直觀起見，圖8—圖11分別給出了閉合開關(guān)瞬間和斷開開關(guān)瞬間電流和電流變化率隨時間演化的數(shù)值模擬結(jié)果。

從圖8、圖9中可以看到，閉合開關(guān)瞬間，電流從0迅速增加到0.015 A，而電流變化率也從30 A/s迅速下降為0。這個過程非常短暫，近乎3×10-3 s內(nèi)完成。對于斷開開關(guān)過程，從圖10、圖11中可以看到，電流從0.015 A迅速減小為0，同時電流變化率也從-630 A/s迅速減小為0。這個過程比閉合開關(guān)過程還要快，耗費時間近乎10-4 s。

3" " 總" "結(jié)

“千人震”實驗現(xiàn)象很明顯，讓學(xué)生切身體驗物理實驗事實，可以激發(fā)學(xué)生對物理學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。本文從理論上對該實驗進行了深入分析，給出了電流、電流變化率以及自感電動勢在開關(guān)閉合、斷開等過程的表達式。并且進一步代入實驗參數(shù)，對電流和電流變化率進行了數(shù)值計算。電流和電流變化率隨時間變化過程非常短暫：閉合開關(guān)后，電流在3×10-3 s后基本穩(wěn)定；而斷開開關(guān)過程電流變化的時間更短，耗時大約在10-4 s的量級，這里也說明斷開開關(guān)瞬間電流變化率要遠遠大于閉合開關(guān)時的電流變化率。閉合和斷開開關(guān)的過程中最大電流均為E/R=0.015 A，是安全電流。能夠產(chǎn)生觸電的感覺，是因為斷開開關(guān)自感線圈中電流變化率非常大而產(chǎn)生的高壓。按照前面的數(shù)據(jù)可以估算出感應(yīng)電動勢的最大值為31.5 V。由于人體的電阻遠大于外電阻R（包含鎮(zhèn)流器的電阻，Rm/R=20），所以大部分自感電動勢加在了人體上，故而有觸電的感覺。從能量的角度來看，閉合開關(guān)過程，干電池的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電磁能儲存在自感線圈中。斷開開關(guān)，自感線圈中的能量釋放，由于電路中人體電阻大，大部分能量在瞬間釋放給了人體，所以參與實驗學(xué)生有觸電的感覺。

參考文獻：

［1］謝敏.一堂由游戲引出的復(fù)習(xí)課［J］.物理教學(xué)，2008，30（5）：58-59.

［2］張月紅，殷少來.《互感和自感》的教學(xué)設(shè)計——“三動”課堂研究案例［J］.物理教學(xué)探討，2011，29（4）：25-26，80.

［3］鄧宗茂.談“千人震”自感現(xiàn)象實驗［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2013，42（6）：30-31.

［4］游峰.自感現(xiàn)象的創(chuàng)新實驗設(shè)計［J］.中學(xué)物理，2016， 34（11）：61-62.

［5］鄧鐵如，徐元英，孟大敏.西爾斯當(dāng)代大學(xué)物理（下冊）［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2009.

（欄目編輯" " 劉" "榮）

收稿日期：2023-09-25

作者簡介：譚紅芳（1984-），女，中學(xué)一級教師，主要從事統(tǒng)計物理與復(fù)雜系統(tǒng)和中學(xué)物理教學(xué)等方面的研究工作。