一種穩健恒定束寬寬波束形成算法

摘要：傳統寬帶波束形成算法在導向矢量失配時輸出性能下降，為解決該問題，文章提出一種穩健恒定束寬波束形成算法。該算法首先構造與快拍數相關的對角加載函數；其次，基于空域積分思想，結合入射信號的方向誤差范圍估計期望信號的實際入射方向，并結合構造的對角加載系數生成優化波束加權系數；最后，聯合優化后的波束權值與FIR濾波器系數完成寬帶波束響應的全局優化設計。經仿真實驗驗證，相比于傳統分布設計法的時域寬帶波束形成，文中方法可以得到較理想的恒定寬帶主瓣響應和較低的旁瓣電平，同時在期望信號導向矢量失配情況下，仍有較好的輸出信干噪比。

關鍵詞：恒定束寬波束形成；廣義線性組合；全局優化設計；FIR濾波器設計

A Robust Constant Beamwidth Wide-Beamforming Algorithm

ZHANG Yuanchi， HU Jin

（The 724th Research Institute of China Shipbuilding Group Corporation， Nanjing 210000， China）

Abstract： The proposed algorithm addresses limitations in conventional wideband beamforming techniques caused by mismatched guiding vectors. It begins by creating a diagonal loading function related to the snapshot count. Then， it estimates the actual incident direction of the desired signal through the directional error range of the incident signal. The optimized beam weighting coefficients are generated by combining the constructed diagonal loading coefficients. Finally， these optimized beam weighting values， along with the FIR filter coefficients， solve for the global optimal design of the broadband beam response. Simulation results confirm that compared to traditional time-domain wideband beamforming， this approach achieves a more consistent broadband main lobe response and reduced side lobe levels. Moreover， it maintains a higher output signal-to-noise ratio even in scenarios with mismatched desired signal-oriented vectors.

Key words： constant beamwidth beamforming; generalized linear combination; global optimization design; FIR filter design

0" "引言

寬帶數字波束形成技術是陣列信號處理中的關鍵技術之一，其在聲吶、目標識別、導航等諸多領域之中都有著非常廣泛的應用[1]。目前，寬帶信號的波束形成方式主要有兩種，分別是頻域波束形成以及時域波束形成[2]。

頻域波束形成首先對接收數據進行離散傅里葉變換（Discrete Fourier T ransform， DFT），將信號變換至頻域上，再分成多個窄帶信號進行子帶波束形成后進行寬帶綜合。由于分段DFT僅選擇有限頻帶做子帶窄帶波束形成，因此分段DFT波束形成輸出的時間序列會出現不連續的情況，因此會出現波形失真的情況。

近年來，為保證在波束主瓣寬度內不失真地接收信號，研究學者提出恒定束寬波束形成技術[3]，即通過設計權系數值，保證主瓣寬度隨頻率的變化保持恒定，以保證主瓣區間內入射的不同頻率下的信號經過波束形成之后不發生頻譜失真[4]。

在雷達波速掃描的過程中，為了可以獲得恒定的主瓣寬度并且確保盡可能低的旁瓣電平，文中提出了一種無約束的方向不變恒定束寬波束形成算法。經仿真結果驗證，這種算法可以滿足優化后的不同頻率的波束主瓣逼近生成的參考波束主瓣，同時盡量保持波束的低旁瓣特性。

1" "信號模型與廣義線性組合算法理論

1.1 寬帶基陣信號模型

本文研究了由M個陣元組成的間距為d的均勻線性陣列（Uniform Liner Array， ULA），每一個陣元后接階數是L的FIR濾波器。

假設現在有D+1個遠場寬帶點源信號從D+1個方向入射到M元基陣中，那么這個基陣的第m號陣元接收時間序列為：

（1）

式中，代表的是期望信號，其余個信號則為干擾信號；代表的是第個信號傳播至第號陣元相對于參考點的相對時延。那么各個陣元的預掃描延遲就是，這個預延遲確保期望方向信號到達各陣元時都擁有相同相位。常規Frost波束形成先進行模擬預延遲，然后采樣得到數字信號，FIR寬帶波束響應先進行模數轉換，再做整數節拍延遲，對應第號陣元第階濾波器系數[5]。

最終波束輸出時間序列為：

（2）

1.2 時域寬帶優化波束設計

遠場條件下，寬帶波束響應可表示為加權系數與陣列導向矢量的函數，加權系數可以表示為FIR濾波器對應的各陣元頻率響應，另對M×L維FIR濾波器系數矩陣向量化處理，，得到最終的寬帶波束響應：

（3）

式中，是兩個向量的Hadamard積；是對應于濾波器系數向量的陣列流形向量，記作。

恒定束寬波束形成的核心就是控制波束頻域旁瓣，使工作頻帶內波束主瓣響應逼近于期望響應，因此需求解滿足波束指向、主瓣設計精度、旁瓣級、零陷深度以及權值范數等要求的最優陣列權值[6]，以得到期望的波束響應。式（3）建立了各頻率波束響應與FIR濾波器系數之間的關系，因此可通過對波束響應的約束直接進行FIR濾波器系數優化設計，具體表達式如下：

（4）

式中，分別表示主瓣、旁瓣以及零陷區域內的均方誤差約束值；表示濾波器系數的范數約束值；表示參考頻率處、期望方向處的波束響應；表示設計在頻率、方向處的波束響應值。

通過式（4）將波束優化問題轉化為二階錐問題進行求解，且利用濾波器系數表示波束形成響應，相當于將波束圖設計與濾波器設計進行聯合求解[7]，從而嚴格控制因設計造成的誤差，提高設計精度。

由于利用期望波束響應值求解FIR濾波器系數，因此參考頻率處的波束響應性能會影響恒定束寬波束形成的輸出性能，因此需要對參考頻率的波束形成進行穩健性設計。

2" "基于改進的恒定束寬波束形成算法的設計

2.1 廣義線性組合波束形成算法

廣義線性組合（General Linear Combination，GLC）算法在最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）準則下估計陣列理論協方差矩陣[8]，并能夠依據采樣協方差矩陣（Sample Covariance Matrix，SCM）自動確定對角加載量（Diagonal Loading Level，DLL），從而提升有限快拍條件下陣列波束形成的穩健性[9]。

GLC算法中，協方差矩陣由其估計矩陣和單位矩陣的線性組合表示：

（5）

式中，為樣本協方差矩陣，由陣列接收快拍數為K的樣本數據生成，。為理想協方差矩陣的線性估計，參數α和β由最小均方誤差準則估計得到。具體表達式如下：

（6）

令" " " " " " " " " " " " " " " " " " "（7）

（8）

（9）

得到最終GLC算法對應的對角加載系數表示為：

（10）

2.2 基于半正定規劃的導向矢量估計

當波束指向與實際期望信號入射方向不匹配時，輸出信干噪比幅度以及期望波束主瓣會發生改變。為解決波束指向誤差影響，引入基于半正定規劃的導向矢量估計方法[10]。

導向矢量估計算法唯一使用的先驗信息是期望信號到達角和陣列幾何的不確定范圍。通過引入半正定矩陣，，基于扇區先驗知識估計期望信號導向矢量的問題可通過公式轉化為以下優化問題：

（11）

式中，；是預估到達角范圍的補集；是預設方向的導向矢量，由預設導向矢量，求出不確定集內的補集與導向矢量的乘積的最大值。

通過凸優化工具箱求解得到最優矩陣，進而求得估計的導向矢量。

綜上，改進GLC算法的加權系數表示為：

（12）

對應在頻率和方向處的波束響應表示為：

（13）

對應波束形成器的輸出信干噪比為

（14）

3" "仿真驗證

3.1 參數設置

仿真基于16陣元的均勻線性陣列，速度設為

1 500，信號頻率范圍為[50 MHz，100 MHz]，歸一化頻率為[0.16，0.32]。陣元間距為入射信號最高頻率對應波長的一半。期望信號的DOA為，功率為0 dB，兩個干擾信號的DOA分別為，，功率分別為30 dB和40 dB，高斯白噪聲功率為0 dB。當存在期望信號到達角度誤差時，設置其隨機分布在，代表期望信號到達角的不確定范圍。仿真中，輸入信噪比取-20～40 dB，快拍數量取500。歸一化工作頻帶設置為，并均勻劃分為17個子帶，采樣頻率為最高頻率的3.125倍。波束主瓣區間定義為，旁瓣區間定義為，且主瓣和旁瓣區域均以2°為間隔離散化視區。

3.2 穩健波束形成仿真與性能分析

選擇工作帶寬內的最低頻率作為參考頻率，將所提出的線性組合改進算法與下列波束形成方法進行仿真比較，包括樣本協方差矩陣求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）算法，對角加載SMI（Loading SMI，LSMI）算法，最差情況性能最優（Worst Case Probability Optimize，WCPO），廣義線性組合波束形成等，同時理想條件下最佳輸出信干噪比也展示在仿真結果中。

（1）仿真實驗一：信號入射角度誤差對輸出SINR影響。

基于上述條件，在導向矢量失配和導向矢量匹配兩種條件下仿真，并通過波束響應圖和輸入信噪比與輸出信干噪比關系對各方法穩健性進行分析。仿真中，將WCPO波束形成的不確定集合的二階范數設為3，并利用CVX工具箱求解優化問題。對角加載波束形成的加載量設為10 dB，將期望信號入射角度的不確定范圍設為，且進行角度估計時的積分運算采用40個均勻離散點求和代替積分值。信噪比從-20 dB到20 dB均勻變化。快拍數為500，且仿真實驗中用樣本協方差矩陣代替理想協方差矩陣，即訓練數據中包含期望信號。

在導向矢量不失配時，隨輸入信噪比提升，各波束形成算法的輸出信干噪比都在增加。

當期望信號的入射方向與預先估計的信號接收方向不一致，即導向矢量失配時，SMI、LSMI和GLC算法的性能在高信噪比環境下嚴重降低，隨著輸入信噪比的提升，SMI算法的輸出信干噪比急劇下降。WCPO算法在仿真中保持較好的輸出信干噪比，是由于其針對多種失配情況進行聯合建模求解，所以該算法不針對特定誤差，對導向矢量失配情況具有較好的容忍度。本文提出的改進GLC算法，導向矢量估計算法可以通過矢量入射方向的不確定范圍，估計實際入射的方向，從而具有較好的抗角度誤差性能。

由此可看出，本文改進的GLC算法相對于其余對角加載算法，在高信噪比條件下，仍能維持輸出信干噪比的增加，說明在導向矢量失配情況下，改進的算法仍具有較好的穩健性。

（2）仿真實驗二：快拍數對輸出SINR的影響。

本次仿真實驗，固定信噪比為10 dB，快拍數由20～400次均勻增加，觀察算法的輸出信干噪比與快拍數的關系。

當導向矢量匹配時，隨著快拍數的增加，各算法的輸出信干噪比都有一定的提升。當導向矢量失配時，其余對角加載算法會出現性能降低的情況，本文提出的改進的GLC算法通過構造關于快拍數的函數，保證在快拍數增加時算法的性能穩定。

（3）仿真實驗三：不同誤差角度對歸一化波束圖的影響。

期望信號的到達角為10°，實驗中的到達角與期望角度有2°的誤差，波束掃描范圍為-90°～90°，在信噪比為10 dB條件下進行波束形成。

SMI以及LSMI算法基于樣本協方差矩陣求逆，因此對導向矢量非常敏感，出現“自消”現象，即在實際的期望信號方向產生零陷。WORST算法和GLC算法也產生了一定角度的偏移，只有改進GLC算法具有角度矯正效果，波束指向期望信號。

上述三個實驗驗證了本文中提出的算法可改進GLC的穩健性，當存在導向矢量誤差時，可以保證輸出信干噪比維持在相對高的水平；同時在相同快拍數下的輸出性能也比本文中捉到的其他波束形成算法優秀。

3.3 穩健恒定束寬波束設計

選擇最低工作頻率作為參考頻率，并以該頻率下的改進GLC算法對應的波束響應作為期望響應，工作帶寬為5 000～10 000 Hz。根據兩個干擾信號的來波方向為，設置零陷區域為，設置濾波器階數為32，指定旁瓣級響應低于-30 dB，干擾信號的零陷深度約為-40 dB。

由圖1和圖2仿真結果可知，當濾波器階數為32時，可以使時域FIR濾波器生成滿足條件的旁瓣級和零陷深度，同時需注意，恒定束寬作為一種波束優化設計方法，需要在各個約束條件中進行取舍，如當零陷約束增多時，會對主瓣區域波束響應的均方誤差帶來影響。

4" "結束語

本文提出一種基于改進線性組合算法的恒定束寬波束形成算法。該算法將波束設計中的權矢量與FIR濾波器系數進行聯合求解，可以減小分步設計帶來的誤差，提高時域寬帶波束設計精度。本算法可以得到旁瓣區域低于-30 dB、零陷區域低于-50 dB的恒定時域波束。當期望信號入射方向與波束形成器設置方向存在2°誤差時，經過導向矢量估計的波束圖主瓣最高點可以對準期望信號入射方向，保證算法的穩健性。

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作者簡介：張遠馳（1998-），男，漢族，湖北宜昌人，碩士研究生，研究方向為陣列信號處理。