四階時間分數波方程的快速緊致差分方法

王 婉，張海湘，楊雪花

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

分數微分方程現已被應用于越來越多的領域，如黏彈性材料[1-2]、控制理論[3]、金融市場中的期權定價模型[4-5]等。到目前為止，科研工作者們提出了很多解決具有弱奇異性分數階微分方程的方法，比如有限差分法[6-7]、有限元方法[8-9]、光譜方法[10]，傅里葉變換法[11-12]等。對于分數階微分方程中的Caputo導數項，學者們采用不同方法近似處理。例如，Xu D.等[13]用L1離散Caputo導數項，用二階卷積求積公式近似Riemann-Liouville積分項，構造了緊差分格式，不僅給出了收斂性和穩定性的證明，且以數值算例驗證了理論分析結果。Guo J.等[14]用L1-2公式離散Caputo導數項，用二階有限差分法離散積分項，得知其空間收斂階和時間收斂階都達到二階，并證明了格式的穩定性與收斂性。Shen J.Y.等[15]提出H2N2數值微分公式（二次Hermite和Newton插值多項式的應用）來近似Caputo導數項，并建立了有限差分格式。為了增加計算效率，其利用指數和近似核t1-γ，并推導出一種快速差分格式。對于初始時間的弱奇異性也在等級網格中進行了討論。Jiang S.D.等[16]提出了分數擴散方程的快速L1差分格式，(0, 1)階的Caputo導數項被快速L1遞歸公式離散。Xu W.Y.等[17]考慮一種具有二階空間和時間精度的快速差分格式。用FL2-1σ公式近似時間卡普托導數，該公式使用了核指數和近似Caputo微分中出現的函數；通過離散能量方法證明了其無條件收斂性，最后通過數值例子驗證了該方案的數值精度和效率。

本文討論如下四階分數波方程的初邊值問題：

其初始條件和邊界條件分別如下：

式（1）～（3）中：Ω=(0,L)×(0,T]；f(x,t)、u0(x)、ψ(x)為光滑函數；

本文中，C為一個正常數，在不同情況下可能具有不同的值。

2 預備知識

對區間[0,L]作M等分，區間[0,T]作N等分，記h=L/M,τ=T/N,xj=jh, 0≤j≤M,tn=nτ, 0≤n≤N，其中h為空間步長，τ為時間步長。

引理1[16]對于給定的α∈(0, 1)、截止時間限制δ、誤差ε和最后時間T，有一個正整數Nexp，正點和相應的正權重，可得，其中

接下來介紹一種運用H2N2方法計算Caputo分數導數的快速算法。

令δ=τ/2，可得

其中，

引理2[15]設，γ∈(1, 2)，則有，。

其中

引理3[17]若函數，則有

3 數值離散格式

定解問題（1）～（3）可寫成如下形式：

定義網格函數

將離散緊算子A分別作用于式（6）和（7），由泰勒展開式、引理1及2，可得

式（8）（9）中：

注意：初邊值條件為

引理4由帶積分余項的泰勒展開式及不等式（10），可得

4 緊差分格式分析

為了證明格式的收斂性，給出以下引理。

引理5[18]設u,v∈Vh，則

引理6[19]設u,v∈Vh，則有

引理7[20]設u∈Vh，可得

引理8[21]對于任意正整數p和函數G={G1,G2,…}，有

其中，{aj}定義見式（4）。

引理9[19]對任意網格函數，有

引理10[22]設F(k)、g(k)為非負函數，且滿足

定理1設是問題（1）～（3）的解，是差分格式的解。為精確解，為數值解。則有

證明：令將式（8）（9）和（12）與（13）相減，得到如下誤差方程：

將算子A作用在式（13）中第二個式子，可得

利用引理2和引理3，則有

用式（16）減去式（15），可得

由引理6可知

將式（18）和（19）相加，可得

對于式（21）右端的第一項，利用引理9和young不等式，且考慮η0=0，可得

式（21）右端第二項，利用young不等式，得到

將式（22）～（25）代入式（21），有

令

因而式（26）可寫成

考慮式（10）和引理4可得

當m為任意值時，有

由式（14）和（17）知

引用引理7，有

定理1證畢。

5 數值算例

應用快速緊差分格式計算下列定解問題：

其中精確解為

右端項為

不同步長時的最大誤差為

空間收斂階為

時間收斂階為

固定時間步長N=2 048，參數ε=10-12，γ取不同值時，差分格式的最大誤差以及相應的空間收斂階與CPU時間見表1。由表1中數據可知，上述問題的空間收斂階為4。

表1 N=2 048時最大誤差及相應的空間階、CPU時間Table 1 Maximum error, spatial order and CPU time with N=2 048

固定空間步數M=512，參數ε=10-12，表2中列出了不同γ取值和時間步長N下，計算得到的最大誤差，及其相應的時間收斂階與CPU時間。分析表2中的數據可以得知，時間收斂階為(3-γ)階，且所需CPU時間較少。

表2 M=512時最大誤差及時間階與CPU時間Table 2 Maximum error, time order and CPU time with M=512

固定γ值，圖1給出了在空間方向上的收斂階，圖2給出了在時間方向上的收斂階。由圖1和2可看出，實例的空間收斂階與時間收斂階與理論分析得到的結論是一致的。

圖1 當γ固定時的空間收斂階Fig.1 Spatial convergence orders with a fixed value of γ

圖2 當γ固定時的時間收斂階Fig.2 Temporal convergence orders with a fixed value of γ

6 結語

本文研究了四階分數波動方程的快速緊差分格式，Caputo導數項用一種快速的H2N2方法來近似，通過使用降階法和離散能量法得到格式的收斂性。由數值算例可知，本文考慮的緊差分格式的收斂階為O(τ3-γ+ε+h4)，且數值算例驗證了理論分析結果。該格式所需的CPU時間較短。