全值域有定義的對數(shù)紊流流速分布公式研究

魏為，陳希熾，胡焰鵬

摘要：目前，聲學(xué)多普勒流速剖面儀垂線流速盲區(qū)插補只能采用指數(shù)流速分布、常數(shù)流速分布兩種模式，而對數(shù)紊流流速分布公式是基于動量傳遞理論推導(dǎo)出的垂線流速分布公式，該公式因在邊界處（y=0）沒有定義而應(yīng)用不便?；诖?，從天然河道的河床是由泥沙組成的非固定邊界的實際出發(fā)，提出在邊界面上液體質(zhì)點仍然存在混摻運動的假設(shè)，借助動量傳遞理論推導(dǎo)出全值域有定義的對數(shù)紊流流速分布公式。并且采用宜昌水文站4條實測垂線流速對公式進行擬合驗證。結(jié)果表明：該公式擬合得到的誤差有正有負，最大誤差為-3.66%，精度符合水文資料整編規(guī)范要求。推導(dǎo)出的公式在垂線水深的所有值域內(nèi)有定義，該公式可為聲學(xué)多普勒流速剖面儀垂線流速盲區(qū)插補提供一種思路。

關(guān)鍵詞：對數(shù)紊流流速分布； 動量傳遞理論； 垂線流速； 宜昌水文站

中圖法分類號：P332? ? ? ? ? ? ? ??文獻標志碼：A? ? ? ? ? ? ? ?DOI：10.15974/j.cnki.slsdkb.2024.03.012

文章編號：1006-0081（2024）03-0073-04

0引言

分析流速分布規(guī)律對于研究河道紊流運動十分重要。紊流的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、能量傳遞及阻力特性等各種動力要素均與流速分布相關(guān)。許多學(xué)者因此開展了廣泛深入的研究。20世紀20年代普朗特依據(jù)紊流運動的動量傳遞理論和摻長假說導(dǎo)出對數(shù)紊流流速分布公式，但該公式存在在邊界點處（y=0）沒有定義的問題。張紅武［1］引入“渦團模式”，導(dǎo)出一個挾沙水流流速分布的統(tǒng)一公式。盧金友［2］在分析影響河道水流流速分布的主要因素后，從簡化的雷諾方程出發(fā)，導(dǎo)出了適合長江上游寬谷河段及中下游河段的二維恒定均勻明渠紊流流速分布公式。梁越等［3］從N-S方程入手推導(dǎo)出內(nèi)區(qū)外區(qū)的流速導(dǎo)數(shù)公式。萇志超等［4］直接采用Lane和Kelinske的紊動動量交換系數(shù)表達式進行推導(dǎo)，得到一種新型的垂線流速分布公式。潘凌等［5］采用多普勒超聲波流量計測量了城市河渠流速。李新等［6］基于假設(shè)的冪函數(shù)流速分布公式，根據(jù)試驗資料確定了指數(shù)與來流佛汝德數(shù)的關(guān)系式。姚仕明等［7］采用多普勒剖面流速儀在黃陵廟水文斷面中實測的不同垂線瞬時流速資料，計算了時均流速的垂線分布。

本文從多數(shù)天然河道的河床是由泥沙組成的非固定邊界這一實際出發(fā)，提出在邊界面上液體質(zhì)點仍然存在混摻運動的假設(shè)，借助普朗特的動量傳遞理論推導(dǎo)出全值域有定義的對數(shù)紊流流速分布公式，以期解決對數(shù)紊流流速分布公式在邊界處（y=0）沒有定義的問題，進一步提高對數(shù)紊流流速分布公式的實用性。

1對數(shù)紊流流速分布公式

普朗特的動量傳遞理論與實際吻合較好，是目前應(yīng)用最廣的紊流半經(jīng)驗理論。

在紊流（天然河道多數(shù)為紊流）中，除了由液體黏滯性引起的黏滯切應(yīng)力τ1=μdμdn（μ為點流速，dμdn為流速變化率）外，還有由質(zhì)點間相互混摻碰撞而引起的附加切應(yīng)力τ2，因此，紊流中的總切應(yīng)力為τ=τ1+τ2。

根據(jù)普朗特的動量傳遞理論導(dǎo)出的紊流附加切應(yīng)力τ2的關(guān)系式為

τ2=ρl2（dudn）2（1）

普朗特引用氣體分子運動自由程的概念，把液體質(zhì)點比擬氣體質(zhì)點，假定液體質(zhì)點以脈動流速μ′y做橫向運動，經(jīng)過距離l1到達新的位置后，其本身所具有的運動特性（如速度、動量等）在該處交換完畢，但在運動過程中卻與周圍的液體質(zhì)點沒有任何交換，該距離稱為混合長度l。普朗特假定混合長度與橫向坐標y成正比：

l=ky（2）

即假定液體質(zhì)點的邊界上無混摻運動，混合長度為零；離邊界愈遠，混摻愈劇烈。式（2）中的k為比例系數(shù)（卡門常數(shù)）。

將式（2）代入式（1）可得

du=1kτ2ρdyy（3）

為了對式（3）積分，普朗特假定τ2沿斷面均勻分布，為常量，并等于邊壁切應(yīng)力τ0，代入式（3）得

du=1kτ2ρdyy=u*kdyy（4）

式中：u*為阻力流速。對式（4）積分可得

u=u*klny+c（5）

式中：c為常數(shù)。

式（5）即為用普朗特的動量傳遞理論導(dǎo)出的對數(shù)紊流流速分布公式。注意到當(dāng)y=0時，式（5）沒有定義。

2對數(shù)紊流流速分布公式的改進

考慮到天然河道的河床多由泥沙組成，不是固定邊界，水流的紊動能掀起河床泥沙，并使泥沙隨水流而運動，紊動愈激烈，水流中的泥沙含量愈多。因此本文假定在天然河道中，液體質(zhì)點在邊界上仍然存在混摻運動。

若假定其混合長度為l0，則式（2）可改寫為

l=ky+l0（6）

將式（6）代入式（1）可得

du=1kτ2ρdyy+c0（7）

式中：c0=l0/k。

記c1=1kτ2ρ，對式（7）積分得

u=c1ln（y+c0）+c（8）

注意到在邊界面上（y=0），流速u=0，代入式（8）得

c=-c1lnc0（9）

將式（9）代入式（8）得

u=c1ln（c2y+1）（10）

式中：c2=1c0。

式（10）即為改進的對數(shù)紊流流速分布公式。注意到混摻長度和卡門常數(shù)均為正值，所以c0和c2也為正數(shù)。同時考慮到又有y≥0，因此式（10）在y的所有值域內(nèi)有定義。

3實例驗證

為驗證改進的對數(shù)紊流流速分布公式與實測垂線流速的適用性，本文以宜昌水文站為例，采用該站實測垂線流速數(shù)據(jù)進行擬合驗證。

宜昌水文站位于長江中游干流，是三峽工程、葛洲壩工程的設(shè)計代表站，同時也是長江三峽水利樞紐工程的總出庫控制站。宜昌水文站所處區(qū)域具有四季分明、水熱同季、寒旱同季的氣候特征，多年平均降水量1 215.6 mm，平均氣溫16.9 ℃，極端最高溫度41.4 ℃（7月），極端最低溫度-9.8 ℃（1月）。全年大部分徑流量主要集中在汛期，年內(nèi)水量分配不均勻。宜昌水文站測驗方式為駐測，主要觀測項目有水位、降水量、水溫、流量、懸移質(zhì)輸沙率與推移質(zhì)（沙質(zhì)、卵石）輸沙率、泥沙（懸沙、推沙、床沙）顆粒級配分析、水化學(xué)（水質(zhì)）。

宜昌水文站建有吊船纜道，比測基礎(chǔ)條件好，已開展了大量水文泥沙比測試驗工作，積累了豐富的比測資料。本文選用2012年宜昌水文站高水位、中水位各2條垂線的實測垂線點流速（水底邊界處由于不能直接實測，流速值按理論值0處理）進行擬合。其中，高水位選擇2012年7月3日實測的19號、22號垂線流速數(shù)據(jù)，中水位選擇2012年8月23日實測的16號和24號垂線流速數(shù)據(jù)。擬合結(jié)果及誤差情況見圖1、表1。

從圖1可以看出，改進的對數(shù)流速公式與實測垂線流速有很好的匹配性。從擬合率定的兩個系數(shù)看，宜昌水文站4條垂線的c2均在1 188附近，因此取相同的值，而c1的大小與流速大小成正相關(guān)關(guān)系。從表1可以看出，擬合誤差有正有負，最大相對誤差為-3.66%，精度符合水文整編定線要求。

4結(jié)論

（1） 本文從天然河道的河床多數(shù)為由泥沙組成的動態(tài)邊界的實際出發(fā)，提出在邊界面上液體質(zhì)點仍然存在混摻運動的假設(shè)，并借助普朗特的動量傳遞理論導(dǎo)出全值域有定義的對數(shù)紊流流速分布公式。該公式在相對水深y≥0的所有值域有定義，從而解決了原有對數(shù)紊流流速分布公式在邊界處（y=0）沒有定義的問題。

（2） 采用宜昌水文站的4條實測垂線流速對該公式進行擬合，擬合相對誤差最大為-3.66%，滿足水文整編定線要求，具有較好的適用性。

（3） 在實例驗證的擬合率定過程中發(fā)現(xiàn)，宜昌水文站4條垂線的c2值均在1 188附近，而c1的大小與流速大小成正相關(guān)關(guān)系。

（4） 目前，聲學(xué)多普勒流速剖面儀垂線流速盲區(qū)插補只能采用指數(shù)流速分布、常數(shù)流速分布兩種模式。推導(dǎo)出的公式可為水沙三維數(shù)學(xué)模型研究提供一種新的垂線流速分布公式選擇。

參考文獻：

［1］張紅武.挾沙水流流速的垂線分布公式［J］.泥沙研究，1995，6（2）：1-9.

［2］盧金友.長江河道水流流速分布研究［J］.長江科學(xué)院院報，1990（1）：41-49，55.

［3］梁越，曹叔尤，楊奉廣，等.光滑寬淺明渠流動垂線流速分布公式研究［J］.水力發(fā)電學(xué)報，2013，32（5）：147-152.

［4］萇志超，張耀哲，張毅.一種新型的垂線流速分布公式［J］.人民黃河，2010，32（3）：100-101.

［5］潘凌，武治國，張春萍，等.基于多普勒超聲波流量計的城市河渠流速測量研究［J］.水利水電快報，2019，40（8）：17-20，28.

［6］李新，燕海波.關(guān)于矩形明渠流速分布新公式的探討［J］.人民長江，2008，39（18）：79-81.

［7］姚仕明，盧金友，徐海濤.黃陵廟水文斷面垂線流速分布特性研究［J］.長江科學(xué)院院報，2005（8）：8-11.

（編輯：江文）

Study on defined logarithmic turbulent velocity distribution formula in full value domain

WEI Wei1，CHEN Xichi2，HU Yanpeng3

（1.Safety Center for River and Lake Protection，Construction and Operation，Changjiang Water Resources Commission，Wuhan 430010，China；2.Spatial Information Technology Application Department，Changjiang River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；3.Changjiang Sanxia Investigation Bureau of Hydrology and Water Resources，Changjiang Water Resources Commission，Yichang 443000，China）

Abstract：?For the exponential and constant flow velocity distribution of the current acoustic Doppler flow velocity profile，the formula for logarithmic velocity distribution based on Momentum Transportation Theory can not be used，because the formula has no definition when it is on the boundary （y=0）.Based on the fact that the boundary of the natural river channel is not fixed and is consists of sediment，it assumed that liquid particles mixed on the boundary surface and then educed a formula of logarithmic turbulent velocity distribution defined full-value domains based on Momentum Transportation Theory.In addition，four measured vertical velocity of Yichang Hydrological Station were used to verify the formula.The results showed that the errors obtained by fitting the formula were positive and negative，with the maximum error of -3.66%，and the accuracy met the requirements of code for hydrological data processing.The formula defined all values of vertical water depth，and solved the problem of not defining a formula for the logarithmic turbulent velocity distribution at the boundary （y=0）.The formula can provide a new thought other than the exponential and constant flow velocity distribution of the current acoustic Doppler flow velocity profile.

Key words：?logarithmic turbulent flow velocity distribution formula； momentum transfer theory； vertical velocity； Yichang Hydrological Station