冗余驅動并聯機械手運動精度校準方法研究

張 凱，孫德全，劉石林

（1.鄭州旅游職業學院機電工程學院，河南 鄭州 451464；2.河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽 471000）

1 引言

數控混合五軸加工是解決復雜幾何曲面零件的重要途徑[1]。并聯機器人作為主軸頭高質量加工的重要部件，是實現復雜幾何零件加工精度的重要保障。與非冗余驅動形式相比，冗余驅動并聯機器人（RAPM）通常具有更好的靈巧性、更高的剛度和更好的動態性能等相對優勢[2]。采用三自由度RAPM作為主軸頭進行高質量加工時，必須保證其運動精度。

近年來，冗余驅動并聯機器人引起了學術界和工業界的高度關注。機器人運動精度的校準是實現機器人高運動精度的重要手段。文獻[3]根據并聯機構逆運動學誤差建模理論，提出了一種基于Matlab的數值仿真方法，并采用最小二乘法識別六自由度并聯機構的結構參數，通過仿真驗證了該標定算法的魯棒性和有效性。文獻[4]采用迭代法對混合運動機床和3-P（Pa）S并聯主軸頭進行了誤差識別，采用非線性最小二乘算法對機構幾何參數進行了估計。文獻[5]針對六關節機器人的標定方法，提出了五點優選TCP標定優化改進模型，通過該仿真和實驗驗證了該改進算法在標定精度的有效性。文獻[6]在串聯機器人單孔標定方法的基礎上，通過MDH誤差建模提出了多孔標定優化方法，該方法通過實驗表明具有較高的定位精度。文獻[7]采用粒子群算法對六自由度機械臂關節參數進行了標定，該方法具有較好的收斂性，同樣通過實驗表明該方法在標定精度提升方法具有一定的優勢。文獻[8]采用PSO算法對工業機器人的定位精度進行了優化改進，通過建立D-H參數誤差模型標定位姿平臺兩點之間的絕對距離，有效提升了標定精度。文獻[9]針對3-R2U2S并聯機器人的參數標定，分析了影響機構參數變化的各種誤差源，在此基礎上建立了機器人運動學誤差模型，提出了自動協作原理的參數標定方法，該方法通過實驗得到了有效驗證。

本研究在前人研究的基礎上，提出了基于最小誤差模型的運動精度標準方法。首先通過消除冗余幾何源誤差，建立包含最少幾何源誤差的最小誤差模型，采用蒙特卡羅模擬進行幾何源誤差靈敏度分析，研究各幾何源誤差對終端精度的相對影響。在此基礎上提出了粗校準和精校準相結合的分層辨識策略，以實現冗余驅動并聯機械手的精度校準。最后通過校準實驗來驗證了所提出校準方法的有效性。

2 冗余驅動并聯機械手最小誤差模型

2.1 并聯機械手運動學模型

本研究的冗余驅動并聯機械手模型，如圖1所示。其后面的拓撲結構為2UPR&2RPS的RAPM。其中，'U'、'R'、'S'、'P'分別代表萬向節、轉動關節、球形關節和驅動移動關節。它由一個固定底座、一個移動平臺、兩個相同的UPR肢腿和兩個相同的RPS肢腿組成，主軸頭具有三自由度。肢腿1 和肢腿3 為對稱分布的UPR肢腿，肢腿2和肢腿4是兩個對稱分布的RPS肢腿。各肢腿分別與固定基座和移動平臺在Ai點和Bi點相連。

圖1 三自由度主軸頭模型示意圖Fig.1 Diagram of Three Degree of Freedom Main Shaft Head Model

定義全局坐標系O-xyz的原點固定在基座平面A1A2A3A4的中心，z軸垂直于該平面，x軸與的向量方向一致，y軸方向是由右手定則決定的。機架坐標系O'-uvw的原點O'固定在移動平臺正方形B1B2B3B4的中心，其中w軸垂直于該平面，u軸與--------B2B4的向量方向一致，v軸方向由右手法則決定。參考坐標系O'-x'y'z'位于點O'，其軸線平行于坐標系O-xyz。根據主軸頭的結構，可以將'U'或'S'關節分解為多個串行的單自由度關節。根據螺旋理論，在O'點處的扭轉可以表示為：

式中：$；ta，j，i—第i肢腿的第j個單自由度關節的單位扭轉，其方向與關節軸方向一致；，j，i—'R'關節軸的角速度。

對于UPR肢腿，關節扭矩可表示為：

其中，sj，i—第i肢腿第j個單自由度關節軸的單位向量；、—點Ai和Bi相對于O'-x'y'z'的位置向量。通過找到所有扭力的零內積，可以獲得UPR支腿的約束扭轉力：

由此可得約束扭矩和驅動扭矩為：

2.2 冗余誤差的消除

為了便于誤差建模，UPR和RPS肢腿中的所有機身固定關節坐標系，如圖2所示。

圖2 UPR和RPS肢腿的關節坐標系Fig.2 Joint Coordinate System of UPR and RPS Limbs

Oj，i-xj，iyj，izj，i定義為第i肢腿第j個單自由度關節的機身固定坐標系，其中zj，i軸與關節軸重合，xj，i軸與zj，i軸和zj+1，i軸的公法線重合，Oj，i是zj，i軸和xj，i軸的交點，yj，i軸由右手定則確定。對于每個肢腿，全局坐標系O-xyz被視為第0個關節坐標系，機身固定坐標系O'-uvw被視為最后一個關節坐標系，點Ai與O1，i重合，Bi與點O4，i（i=1，3）重合。

利用上述定義，得到了相鄰關節與固定坐標系之間的幾何關系，Oj，i-xj，iyj，izj，i相對于Oj-1，i-xj-1，iyj-1，izj-1，i的幾何誤差可表示為：

其中，［Δxj，iΔyj，iΔzj，i］T和［Δαj，iΔβj，iΔγj，i］T分別表示位置誤差和方向誤差。如果一個幾何源誤差依賴于另一個幾何源誤差，則可以定義為冗余幾何源誤差。為了簡化誤差模型，消除幾何源誤差，本研究提出了消除冗余幾何源誤差的一般原則［10］：

（1）若第j個單自由度關節為移動關節，則Δzj+1，i為冗余，可合并為零偏移；

（2）如果j-1≠0，則第（j-1）個關節不是移動關節，由于Δyj，i和Δβj，i沒有包含在變換中，其為冗余的，Δγj，i可合并為關節運動誤差；

（3）如果zj，i軸平行于zj-1，i軸，則Δxj，i，Δαj，i，Δzj+1，i和Δγj+1，i是冗余的，它們可以合并為Δxj-1，i，Δαj-1，i，Δzj，i和Δγj，i。

根據上述原理消除冗余幾何源誤差后，可得UPR肢腿的幾何源誤差為：

同樣，RPS肢腿的幾何源誤差表示為

由于O4，i-x4，iy4，iz4，i（i=1，3），O5，i-x5，iy5，iz5，i（i=2，4）相對于O'-uvw的變換矩陣為常數，則較易求解O'-uvw中的Δ5，i（i=1，3），Δ6，i（i=2，4）。

2.3 機械手的誤差模型

取式（1）中的一階攝動，點O'處的誤差扭轉可以表述為：

其中，$；G，i表示點O'處幾何源誤差產生的誤差扭曲；Δωa，j，i表示關節運動誤差，與幾何誤差無關，表示關節坐標系Oj-1，ixj-1，iyj-1，izj-1，i相對于O'-x'y'z'的變換矩陣。

則式（15）～式（22）以組合矩陣的形式得到：

最后，得到主軸頭的最小誤差模型為：

式中：Δr、Δθ—2UPR&2RPS 并聯主軸頭的終端位置誤差和方向誤差；（的第i列（i=1-4）。

3 幾何源誤差敏感性分析

本節通過靈敏度分析，篩選出對移動平臺精度影響較大的幾何源誤差，采用誤差系數矩陣來表示靈敏度指標。對于矩陣ε的第n行幾何源誤差δn，終端位置方向精度的靈敏度系數表述為［11-12］：

其中，（Jεa）i，n—誤差系數矩陣Jεa的第i行第n列元素，任意給定的幾何源誤差δn引起的體積位置和方向誤差可表述為：

對于主軸頭零件的批量生產，幾何源誤差的值是一個正態分布的隨機變量，其均值為0，標準差σ為公差的1∕6?？紤]到幾何源誤差在公差區內的分布，可以采用蒙特卡羅模擬進行靈敏度分析，通過大量的模擬次數分析每個幾何源誤差的靈敏度。對于單次模擬，δn是由N（0，σ2）隨機生成，由此獲得整個工作空間V中δrn和δθn的最大值為：

經過N次模擬，獲取ηrn和ηθn的最大值，并定義為誤差指標為：

根據前述研究，所有幾何源誤差的公差情況，如表1、表2所示。幾何源誤差的標準偏差是公差的1∕6。主軸頭的工作空間由三個運動變量來表示，分別是繞u軸的旋進角ψ、繞y軸的旋轉角θ和沿方向的位移z。主軸頭的尺寸參數，如表3所示。la和lb分別為固定底座和移動平臺的外徑，qmin和qmax表示肢腿的最小允許長度和最大允許長度，θU1和θU2分別為圍繞固定底座上U型關節的第一旋轉軸和第二旋轉軸的允許旋轉角，θS1，θS2和θS3分別為連接在移動平臺上S關節第一、第二、第三旋轉軸的允許轉角，θ1R和θ2R分別為與固定基座和移動平臺上的R關節的允許旋轉角。

表1 UPR肢腿中幾何源誤差的公差Tab.1 Tolerance of Geometric Source Error in UPR Legs

表2 RPS肢腿中幾何源誤差的公差Tab.2 Tolerance of Geometric Source Error in RPS Legs

表3 主軸頭的尺寸參數Tab.3 Dimensional Parameters of Main Shaft Head

根據給定的尺寸參數，計算2UPR&2RPS并聯主軸頭的工作空間，如圖3所示。

圖3 并聯主軸頭的工作空間Fig.3 Working Space of Parallel Main Shaft Head

計算的工作空間對稱于軸ψ=0°和θ=0°，與2UPR&2RPS 平行主軸頭的對稱結構一致。同時，計算工作空間的最大截面出現在軸ψ=0°和θ=0°，如圖4所示，可以看出當ψ=0°和θ=0°時，z的最大量程可以達到（140～310）mm，當z=210mm，ψ=0°時，θ的最大量程范圍為（-26～26）°；當z=240mm，θ=0°時，ψ的最大量程范圍為（-34～34）°，計算工作區的體積為79.96mm·rad2。

圖4 工作空間橫截面的計算Fig.4 Calculation of Workspace Cross Section

由于對稱分布，兩個相同的UPR（RPS）肢腿的幾何源誤差對終端精度的影響是相同的。由于幾何源誤差數目較大，為了簡便起見，僅選取肢腿1和肢腿2中的幾何源誤差來描述靈敏度指標。設N=500，通過對[ε1；ε2]中的非零項進行排序，如圖5所示。

圖5 幾何源誤差靈敏度指標Fig.5 Sensitivity Indices of Geometric Source Errors

描述了38 個源誤差和相應的靈敏度指標?？梢钥闯鯱PR肢腿中Δα1，i，Δβ1，i，Δγ1，i，Δα2，i，Δα3，i，Δβ4，i，Δγ4，i，Δα5，i，Δβ5，i，Δγ5，i和RPS 肢腿中Δγ1，i，Δβ3，i，Δγ3，i，Δα4，i，Δα5，i，Δγ6，i對終端位置精度和方向精度都有一定的影響，而其他參數的敏感性指數幾乎是零值，表明這些參數對終端位置精度和方向精度的影響不大。

4 并聯機械手的校準方法

在本研究中，采用AT960激光跟蹤儀距離測量裝置，如圖6所示。

圖6 激光反射器安裝位置圖Fig.6 Installation Position of Laser Reflector

激光跟蹤器測量激光反射點Om的位置誤差[13]，而不是移動平臺的中心點O'，測量的激光反射點Om位于移動平臺機身固定坐標系O'-uvw的w軸上。測點位置誤差模型Om可以表述為：

式中：em—點Om的位置誤差；lm—測點相對于O'-uvw的位置向量，誤差系數矩陣Kε與幾何源誤差相關，誤差系數矩陣Kω與零偏移量有關。

4.1 零偏移量的粗識別

利用線性最小二乘法來識別零偏移量，根據測量的終端位置誤差，零點偏移量可表述為：

式中：emk—第k次測量的位置誤差；Kωk—第k次測量點位置誤差模型中與零偏移相關的誤差系數矩陣。為了達到更準確的估計，在式（44）的基礎上采用迭代算法：

其中，ξ是一個給定的閾值。

4.2 幾何源誤差的精識別

在對零偏移量進行粗識別后，對幾何源誤差進行精識別。為了能夠便于識別，剔除終端精度影響相對較弱的幾何源誤差，只保留38個需要識別的幾何源誤差［14］。采用最小二乘法得到的辨識方程為：

其中，eck—粗校后的第k次測量位置誤差；Kεk—第k次測量的點位置誤差模型與幾何源誤差相關的誤差系數矩陣。為了使ε可識別，先決條件秩（Hε）≥38必須滿足，這可能導致多重共線性問題。為了解決這一問題，引入了正則化方法，即在辨識矩陣中插入正則化參數：

其中，λ是廣義交叉驗證（GCV）方法定義的正則化參數，ελ為正則化法得到的解，且。

利用上述分層辨識策略，首先可以通過根據辨識出的零偏移調整執行器輸出來執行粗識別。然后，根據識別出的幾何源誤差，對數控系統中的幾何參數進行修正，以實現精識別，識別程序的流程圖，如圖7所示。

圖7 兩步識別方法的步驟Fig.7 Steps of Two-Step Calibration Method

5 實驗驗證

粗識別和精識別的實驗裝置，如圖8所示。三自由度主軸頭由四個伺服電機驅動，由數控系統控制。通過將運動數據導入數控系統，可將移動平臺調整到目標姿態。在此基礎上，利用AT960激光跟蹤儀進行校準實驗，跟蹤激光反射點的位置。在測量規劃過程中，測量裝置應遍歷主軸頭的所有自由度，且測量的構型應包括易發生最大位置誤差的工作空間邊界。

圖8 校準實驗裝置Fig.8 The Experimental Calibration Setup

測量的結構被規劃為在三個等距平面上等間距的點，在z=200mm平面上，ψ的范圍為（-25～25）°，θ的范圍為（-15～15）°；在z=220mm平面上，ψ的范圍為（-25～25）°，θ的范圍為（-20～20）°；在z=240mm平面上，ψ的范圍為（-25～25）°，θ的范圍為（-20～20）°。旋轉角度的增量步長設為5°。

按照平面z=200mm、z=220mm、z=240mm的先后順序進行測量。以平面z=200mm為例，測量的順序，如圖9所示?？梢钥闯龈髯鴺溯S的位置誤差，當θ從-15°增大到15°時，ψ從-25°增大到25°。

圖9 粗校準位置誤差的測量Fig.9 Measurement of Coarse Calibration Position Error

由此得到粗校準前后三個坐標軸的位置誤差，如圖10所示。其中emx，emy和emz分別表示em沿x，y和z軸的誤差分量。從圖中可以看出，在每個測量平面上，沿各坐標軸的終端位置誤差相對于軸θ=0°是對稱的。同時，在每個測量平面上，各坐標軸上的位置誤差相對于軸ψ=0°是對稱。這與2UPR&2RPS平行主軸頭的對稱結構類似。

圖10 粗校準前后的位置誤差Fig.10 Position Errors Before and After Coarse Calibration

在粗定標前，位置誤差的絕對值是沿每個軸的相鄰測量平面之間的步進增量。對于沿x軸位置誤差emx，在三個測量平面的誤差范圍分別為（-100～100）μm、（0～200）μm、（100～300）μm。對于沿y軸位置誤差emy，在三個測量平面的誤差范圍分別為（-25～25）μm、（50～100）μm、（100～150）μm；對于沿z軸位置誤差emz，在三個測量平面的誤差范圍分別為（-50～50）μm、（-100～0）μm、（-150～-50）μm。三個測量平面上各軸上的位置誤差分布是相似的，這表明z值的增加導致位置誤差幅值的增加，但不影響θ和ψ軸向角構成的平面上的位置誤差分布，這表明存在初始位置誤差，即主軸頭中的零偏移。

粗校準后，沿各軸消除了步進增量，即消除零偏移。沿x軸上的ecx在三個測量平面上的測量范圍為（-100～100）μm，沿y軸上的ecy在三個測量平面上的測量范圍為（-25～25）μm，沿著z軸上的ecz在三個測量平面上的測量范圍為（-50～50）μm。這也表明該方法是有效的。精校準前后各測量平面的誤差分布，如圖11所示?？梢钥闯錾鲜龆x的誤差指標既與位置有關，又與方向有關。在每個測量平面上，誤差指標始終同時與軸θ=0°和ψ=0°對稱，與主軸頭的對稱結構一致。在精校準前，θ的變化對誤差分布的影響比ψ的影響更大。經過精校準后，誤差指數和誤差波動均得到降低。精定標在θ邊界處效果最佳，誤差指數大幅度減小。精校準后，ψ的變化對誤差分布有較大的影響。

圖11 精密校準前后的誤差指標Fig.11 Error Indices Before and After Fine Calibration

校準前后各測量平面誤差指標最大值和平均值，如表4 所示?？梢钥闯鲈诟鳒y量平面，經過兩步校準，誤差指數最大值和平均值都得到了大幅降低，這也證明了所提出的兩步校準方法的有效性。

表4 校正前后誤差指標的最大值和平均值Tab.4 Maximum and Average Values of Error Indicators Before and After Correction

6 結論

提出了一種基于最小誤差模型的并聯機械手（RAPM）運動學校準方法。首先基于并聯機械手肢腿結構特性和各關節相應的坐標系，提出了一套消除RAPM 中冗余幾何源誤差的一般原則，推導了解析誤差映射公式，將零偏移量與物理意義直觀的幾何源誤差分離。在此基礎上提出了一種由零偏移量粗識別和幾何源誤差精識別組成的分層識別策略，從而實現冗余驅動并聯機械手的精度校準。最后通過校準實驗測試表明，所提出的校準方法能夠大幅降低冗余驅動并聯機械手的終端誤差，驗證了所提校準方法的有效性。該校準方法也適用于其他類型的并聯機械手的精度校準，具有一定的普適性。