經典單排管凍結溫度場的瞬態適用性研究

繆茂秋

（南京天京建筑工程監理事務所，江蘇南京 210004）

0 引言

近年來，人工凍結法在地下空間開發利用中得到越來越多的應用。由于人工凍土的溫度場分布理論是凍結法理論的基礎之一，所以對于溫度場的研究非常重要，各國學者也對單排凍結管的溫度場進行了深入的研究，比如蘇聯的特魯巴克公式[1]、巴霍爾金公式[2]，美國的Sanger &Sayles 公式[3]，日本建設機械化協會總結的公式[4]，以及中國的“成冰公式”等[5]。研究和實際工程應用表明，巴霍爾金溫度場計算理論是上述各種溫度場理論中計算結果最為精確的[6]。

然而，目前的研究主要針對溫度場的靜態分析，而并沒有進行瞬態分析。本文研究了通過巴霍爾金公式計算得到的瞬態溫度場，并與通過數值計算得到的實際溫度場進行比較，來探討影響巴霍爾金公式準確性的因素，以期為巴霍爾金公式在實際工程建設中的應用提供理論指導。

1 巴霍爾金凍結溫度場

巴霍爾金凍結溫度場模型是以凍結管成直線布置為基礎的，以經典的單排管凍結為例，其凍結模型示意圖如圖1 所示。在地層結冰溫度為0 ℃的假設條件下，凍土內部溫度分布的計算公式可以表示為：

圖1 巴霍爾金經典單排管凍結示意圖

式（1）中，t(x, y)表示凍結區域內任一點的溫度，℃；tCT表示凍結管內鹽水溫度，℃；r0表示凍結管半徑，m；ξ 表示凍土厚度，m；l表示凍結管間距，m。

為了便于描述，在圖1 凍結壁上選取3 個特征面：軸面（Ⅰ-Ⅰ），即y=0 的面；主面（Ⅱ-Ⅱ），即x=0 的面；界面（Ⅲ-Ⅲ），即x=l/2 的面。

2 單排管凍土溫度場數值模擬

為了對單排管巴霍爾金公式進行瞬態分析，須知道某一時刻凍土帷幕的厚度。由凍土帷幕的厚度，可推算得到凍結管的溫度場。因此，首先采用數值模擬得到不同時刻凍土帷幕的厚度。由于Abaqus 軟件在熱力學計算中可以清晰反映凍結壁的瞬態溫度場，并與實際的分析結果較為吻合，故采用Abaqus 作為數值模擬的軟件。模型以及參數介紹如下：

1）模型為寬20 m 的矩形平板，在中間豎直線上以1 m 為間距建立3 根凍結管模型，凍結管直徑采用工程中常用的0.108 m，模型如圖2 所示；2）初始土層溫度為18 ℃，凍結管表面施加隨時間變化的荷載，10 天降到-26 ℃，14 天降到-30 ℃，上下邊緣設為絕熱邊界，左右邊緣為固定溫度18 ℃；3）土體材料相關參數如表1 所示；4）單元采用4 節點熱分析單元DC2D4；5）計算時間為60 天。

圖2 數值模型示意圖

表1 土體材料參數

3 巴霍爾金公式與數值模擬對比分析

3.1 凍結壁厚度

通過數值計算，可得到凍土帷幕厚度隨時間的發展如圖3所示。根據計算結果，代入公式（1）就可以得到對應時間的巴霍爾金公式的溫度場。

圖3 凍結壁厚度發展曲線

對于界面區凍土厚度的發展，數值計算結果與巴霍爾金公式的計算結果比較見圖4。

圖4 界面區凍土厚度發展曲線對比

可以看出，在凍結早期巴氏公式的計算結果要大于數值模擬結果。隨著時間的增加，二者之間的差值逐漸變小。其原因是，對于巴氏公式來說，凍土帷幕是一條平行于凍結管軸線的直線，主要參考主面的凍土厚度。而實際凍結過程中，主面凍結厚度在凍結初期要比界面發展得快，所以對于界面的凍土厚度來說，巴氏公式的計算結果要大于數值模擬的結果。

3.2 主面溫度分析

在單排凍結管的主面上選取等距的三個計算點，距離凍結管中心的距離分別為0.5 m，1.0 m 和1.5 m，分別比較在數值模擬和巴氏公式計算條件下溫度隨時間的變化關系，計算結果如圖5—圖7 所示。

圖5 主面上距離凍結管0.5 m 處溫度發展曲線

圖6 主面上距離凍結管1.0 m 處溫度發展曲線

圖7 主面上距離凍結管1.5 m 處溫度發展曲線

由圖5—圖7 可以看出，當觀測點處于正溫區時，數值模擬結果同巴氏公式計算結果偏差較大。初始偏差最大，隨著時間的增加，偏差減小直至接近于一個穩定值。初始階段誤差較大的原因主要是，巴氏溫度場的推導是假設計算點的溫度處于負溫區。故當計算點位于正溫區時，誤差很大。當計算點位于負溫區后，隨著時間的延長，數值模擬與巴氏公式計算結果之間的差值基本趨于一個穩定值。通過比較以上3 圖可以發現，計算點距離凍結管越遠，穩定偏差就越小。

3.3 界面溫度分析

在單排管界面上選取3 個計算點，距離凍結管軸線的距離分別為0.0 m，0.864 m 和1.404 m。選取這三點的原因可參照圖1，當凍結圓柱半徑分別為0.5 m，1.0 m 和1.5 m 時，界面區凍土厚度分別為0.0 m，0.864 m 和1.404 m。分別比較在數值模擬和巴氏公式計算條件下溫度隨時間的變化關系，計算結果如圖8—圖10 所示。

圖8 界面上距離凍結管軸線0.0 m 處溫度發展曲線

圖9 界面上距離凍結管軸線 0.864 m 處溫度發展曲線

圖10 界面上距離凍結管軸線1.404 m 處溫度發展曲線

觀察以上三圖可以得到與主面類似的結論，即當計算點處于正溫區時，數值模擬結果同巴氏公式的計算結果偏差較大。當計算點位于負溫區后，數值模擬與巴氏公式計算結果之間的差值基本趨于一個穩定值。并且計算點距離凍結管軸線越遠，數值結果同巴氏結果之間的差值就越小。

4 誤差分析

通過以上計算可以發現，無論計算點處于何位置，數值結果與巴氏公式計算結果之間的誤差最終都會趨向于一個穩定值。接下來主要探討影響這個穩定值大小的因素。考慮凍結溫度場的熱傳導控制方程：

根據熱傳導公式可以看出土體的導熱過程與熱傳導系數、密度和比熱有較大關系。同時，凍結管之間的間距也會對凍土溫度場的分布產生較大的影響，故接下來將探討以上幾個方面對公式的影響。

4.1 熱傳導系數

取主面上距離凍結管中心為1.0 m 處的計算點，凍結管的間距取為1.0 m，土體的密度及比熱采用表1 所給的值。考慮以下三種情況：正常土體導熱系數λ，較小的導熱系數0.1λ，以及較大的導熱系數10λ（λ 為表1 中的導熱系數）。分別比較以上三種情況下數值模擬與巴氏公式的計算結果，如圖11—圖13 所示。

圖11 熱傳導系數為0.1λ 溫度發展曲線

圖12 熱傳導系數為λ 溫度發展曲線

圖13 熱傳導系數為10λ 溫度發展曲線

可以清楚地看出，隨著時間延長，數值模擬與巴氏公式之間的差值逐漸變小。其中熱傳導系數越大，二者之間的差值就越小。在60 d，導熱系數為10λ 時，穩定偏差值為0.5 ℃；導熱系數為0.1λ 時，穩定偏差值為6.8 ℃。故熱傳導系數是影響巴氏公式產生偏差的原因之一。

4.2 凍結管間距

選取主面上距離凍結管中心為1.0 m 處的計算點，分別考慮凍結管間距為0.5 m，1.0 m 和1.5 m 三種情況，其余參數參照表1。分別比較以上三種情況下數值模擬與巴氏公式的計算結果，如圖14—圖16 所示。

圖14 凍結管間距為0.5 m 溫度發展曲線

圖15 凍結管間距為1.0 m 溫度發展曲線

圖16 凍結管間距為1.5 m 溫度發展曲線

可以看出，隨著時間的增加，數值模擬與巴氏公式之間的差值在逐漸變小。其中，凍結管之間的間距越小，二者之間的差值就越小。在60 d，凍結管間距為0.5 m 時，穩定偏差值為0.8 ℃；導熱系數為1.5 m 時，穩定偏差值為2.0 ℃。故凍結管間距也是影響巴氏公式產生偏差的原因之一。

4.3 土體密度

由熱傳導公式（3）可以看出，土體密度和土體比熱對熱傳導的影響是類似的。故在本文中僅考慮土體密度的影響。選取主面上距離凍結管中心為1.0 m處的計算點，考慮以下三種情況：正常土體密度ρ，較小的導熱系數0.1ρ，以及較大的導熱系數10ρ。其他參數的選取參照表1，分別比較以上三種情況下數值模擬與巴氏公式的計算結果，如圖17—圖19 所示。

圖17 密度為0.1ρ 溫度發展曲線

圖18 密度為ρ 溫度發展曲線

圖19 密度為10ρ 溫度發展曲線

從以上三圖可以看出隨著時間的增加，數值模擬與巴氏公式之間的差值在逐漸變小。其中，土體密度越小，二者之間的差值就越小。在60 d，土體密度為0.1ρ 時，穩定偏差值為0.5 ℃；導熱系數為10ρ 時，穩定偏差值為6.9 ℃。故土體密度也是影響巴氏公式產生偏差的原因之一。

5 結語

總體來說，對于負溫區巴霍爾金單排管公式具有較好的精度，能夠滿足工程上的需求。并且當測點遠離凍結管時，誤差較小。影響誤差的主要因素有土體的熱傳導系數、凍結管之間的間距、土體的密度及比熱。當土體的熱傳導系數變大時，數值模擬與巴氏公式間的誤差變小；當凍結管之間的間距變小時，數值模擬與巴氏公式間的誤差變小；當土體的密度、比熱容變小時，數值模擬與巴氏公式間的誤差變小。