隨機兩體耗散誘導的非厄米多體局域化*

劉敬鵠 徐志浩2)?

1) (山西大學理論物理研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2) (山西大學極端光學協同創新中心,太原 030006)

本文數值研究了在一維非厄米的硬核玻色模型中由隨機兩體耗散誘導的非厄米多體局域化現象.隨著無序強度的增強,系統的能譜統計分布從AI? 對稱類向二維泊松系綜過渡,多體本征態的歸一化參與率展示了從有限值到接近零的轉變,半鏈糾纏熵服從體積律到面積律的轉變,動力學半鏈糾纏熵表現為從線性增長到對數增長的轉變.數值結果表明,在該模型中由隨機兩體耗散誘導的非厄米多體局域化現象的魯棒性.該研究結果為非厄米系統中多體局域化的研究提供了新的視角.

1 引言

多體局域化揭示了多體無序系統中存在穩定的局域態,徹底改變了人們對量子系統的理解[1-11].作為安德森局域化[12,13]的重要延伸,多體局域化提供了量子多體系統保持非熱平衡態的例子[14-18],它可以由許多序參量來表征.例如,呈泊松分布的能級統計分布[19,20]、隨時間對數增長的糾纏熵[21,22]、本征態糾纏熵的面積定律[23,24]、有限的非平衡占據數[25,26]、可積性的出現[27,28]等.因為其在量子存儲和可控動力學等領域存在潛在的應用前景,在實驗和理論方面引起了廣泛的關注[25,29-33].目前,已經在很多平臺上實現了多體局域相關的實驗,包括超冷原子[29,30]、離子阱[32]和超導電路[25,33]等.

傳統的量子力學是基于厄米性的假設,即厄米算符代表物理可觀測量.這個假設保證了這些算符的本征值是實數,相應的本征矢滿足正交歸一性[34,35].然而,近年來,理論和實驗的研究已從厄米系統推廣到非厄米系統,并涌現出一系列新奇的非厄米現象及其應用,如非厄米趨膚效應[36,37]、邊界依賴的能譜[38]、體-邊對應關系的失效[39,40]和非布洛赫能帶理論[41-43].最近在非厄米系統中引入無序,為局域化現象的研究開辟了新的視角.最早由Hatano和Nelson[44-46]把在位無序勢和非互易躍遷引入到單粒子格點模型中,揭示了非互易會誘導出安德森局域化轉變,同時伴隨著單粒子譜的實-復轉變和拓撲相轉變的獨特現象.Hamazaki 等[47]將這一問題擴展到了多體系統中,在具有時間反演對稱性的非互易晶格模型中存在非厄米多體局域化,并且發現了局域化轉變和譜的實-復轉變一致.另外在時間反演對稱性破缺的非厄米無序和準周期系統中也發現存在多體局域化現象[48-50].非厄米效應可以在許多實驗平臺實現,特別是最近通過可控的兩體非彈性散射,在玻色哈伯德模型中實現了復相互作用[51,52].Wang 等[53]討論了利用光學Feshbach 共振實現復散射長度的可行方案.本文考慮一個具有隨機兩體耗散的一維非厄米的硬核玻色模型,發現在強無序區域系統存在非厄米多體局域化現象.該研究對理解非厄米多體局域化有重要意義.

2 理論模型

本文考慮一個具有隨機兩體耗散的硬核玻色子模型,其哈密頓量為

本文考慮半填充的情況,即總粒子數N=L/2,相應的希爾伯特空間維度為D=.選取J為能量單位,即J=1,且U=0.25 為例進行討論.本文中,對于序參量的平均需要考慮兩重平均,標記為,其中上橫線表示無序的平均,選取無序的樣本數為Nsample=1000(L=6,8,10),Nsample=500(L=12)和Nsample=100(L=14),〈···〉表示對能級的統計平均,這里僅考慮能譜中心處 1/5 范圍內的能級.

3 數值結果

能譜統計行為作為研究多體局域化的主要手段之一被廣泛應用.厄米情況下,隨機矩陣理論[3,54-57]指出,當系統處于混沌或遍歷相時,能譜統計呈現高斯分布.根據系統的對稱性,分為高斯酉系綜(Gaussian unitary ensemble,GUE)、高斯正交系綜(Gaussian orthogonal ensemble,GOE)和高斯辛系綜(Gaussian symplectic ensemble,GSE),分別對應于A 對稱類、AI 對稱類和AII 對稱類的系統.然而,當系統處于可積或多體局域相時,能譜的統計分布遵循泊松統計.在非厄米情況下,混沌或遍歷相也存在3 種普適類: A 對稱類、AI?對稱類和AII?對稱類[58-60],而可積或多體局域相的泊松統計推廣為二維泊松統計.

為了研究非厄米系統復能譜的統計行為,復平面上的最近鄰能級間距定義為d1,i=minj|Ei-Ej|,其中Ei是系統的本征能量[58].由于不同系統具體性質不同,導致局域平均密度存在差異,使得直接對d1,i的統計并不具備普適性.為了消除這種由局域平均密度差異帶來的影響,對d1,i進行重整化處理,即si=,其中是局部平均密度,要求足夠大且遠小于D,這里選取≈30,并且dn,i表示Ei和其第n級近鄰能級的距離.然后對能級間距si進行歸一化,其滿足=1.通過將分布函數p(s) 與相應對稱類的非厄米隨機矩陣進行對比,可以直觀地反映出非厄米多體局域化轉變的發生.根據非厄米系統的對稱性分類,哈密頓量(1)滿足H=HT,屬于AI?對稱類,系統的統計行為可由相應的非厄米隨機矩陣來刻畫[58-62].對于最簡單的A 對稱類系統,最近鄰能級間距的統計分布遵循Ginibre 酉系綜(Ginibre unitary ensemble) 分布:

如圖1 中黑色虛線所示.相比之下,AI?(AII?)對稱類的分布與A 類不同,即峰值低于(高于)PA(s).雖然目前對于任意尺寸的AI?和AII?對稱類分布沒有解析表達式,而小尺寸情況下AI?對稱類具有確定的表達式[58]:

圖1 當L=14 時,哈密頓量(1)式平均的最近鄰能級間距s 的統計分布 (a) W=2;(b) W=20.黑色虛線、紅色實線和綠色點線分別表示A,AI ? 類和二維泊松分布Fig.1.Mean unfolded nearest-level-spacing distributions of the Hamiltonian Eq.(1) with L=14: (a) W=2;(b) W=20.Black dash,red solid,and green dotted lines represent A,AI ? classes,and two dimensional (2D)-Poisson distributions,respectively.

圖2 當L=14 時,平均的徑向強度分布 和相應的幅角分布 (a),(b) W=2; (c),(d) W=20 .紅色實線是通過統計對應的隨機矩陣 (1000×1000)的結果,其無序次數選取為1000.(e),(f)徑向強度的平均值 和相應的幅角的平均值隨無序強度變化曲線.上(下)虛線對應于AI ? 對稱類(2D-Poisson)統計極限值,≈0.722,≈0.193 (=2/3,=0)Fig.2.(a),(b) Mean marginal distributions and with W=2 for the complex energy spectrum for L=14 ;(c),(d)the marginal distributions and with W=20 for the complex energy spectrum.The red solid lines are obtained by calculating and of the 1000×1000 random matrices with the corresponding random matrix ensembles averaged 1000 realizations.(e),(f) The averages and as a function of the disorder strength W.The upper (lower) dash line corresponds to the AI? symmetry class (2D-Poisson) expectation,≈0.722, ≈0.193 (=2/3,=0).

其中Kν(x)=是修正的貝塞爾函數,C2==1.16187··· 是一個常數,如圖1 中紅實線所示,Γ 表示伽瑪函數.當無序強度W=2 時,平均的最近鄰能級間距s的分布滿足AI?對稱類(圖1(a)).當無序強度W=20時,其與二維泊松分布(綠色點線)一致(圖1(b)).二維泊松分布數學形式如下:

本文對能譜的統計考慮能譜中心1/5 的范圍內的能級.圖1 的結果表明,在強隨機兩體耗散時,系統進入非厄米多體局域相.

為了進一步驗證非厄米多體局域化的轉變,可計算復能級差比率(complex spacing ratio,CSR),其定義為[59,60,63,64]

歸一化的參與率(normalized participation ratio,NPR) 也可以用來衡量多體局域化的發生,其定義為[66]

其中 |ψi〉是本征值Ei對應的本征態,|n1,n2···,nL〉表示在粒子數表象中的Fock 基矢.在熱力學極限下,如果本征態是遍歷態,η為有限值.如果本征態是多體局域態,則η趨近于0.為了便于討論,這里考慮一次無序構型下,系統所有本征態的η,并且把系統的本征能量進行重整化處理:

圖3 當 L=14 時,在復平面上,系統所有本征態的 η 隨重整后能譜 εi 的分布情況(紅點表示能譜的中心) (a) W=2;(c) W=20 .歸一化的參與率 η 統計直方圖 (b) W=2 ;(d)W=20Fig.3.Distribution of η for all eigenstates versus the rescaled spectrum εi with L=14 (Red dots represent the center of the energy spectrum): (a) W=2;(c) W=20.Histogram of the normalized participation ratio η:(b) W=2;(d) W=20.

此外,還計算了多體本征態的半鏈糾纏熵(half-chain entanglement entropy),定義為S=-Tr[ρL/2lnρL/2]=,其中,λm是約化密度矩陣ρL/2的第m個本征值.ρL/2可以通過對系統半鏈的自由度求跡獲得,即ρL/2=TrL/2[|ψi〉〈ψi|].圖4(a)展示了不同的系統尺寸 (L=10,12,14)下平均的半鏈糾纏熵隨無序強度的變化.在弱無序時,系統尺寸越大,越大.隨無序強度增強,不同尺寸的均減小,最終趨于重合.該結果表明,在弱無序時,正比于系統尺寸,而強無序情況下,其對系統的尺寸變化不敏感.平均的半鏈糾纏熵展現了從體積律到面積律的轉變行為.

圖4 (a)不同尺寸下,平均半鏈糾纏熵隨無序強度的變化;(b)當 L=14 時,不同無序強度W 對應的隨時間的演化.初態為 |ψ0〉=|1010···〉.插圖展示了平均穩態熵 隨無序強度的變化Fig.4.(a) Mean half-chain entanglement entropy as a function of the disorder strength W for different L;(b) the dynamics of the mean half-chain entanglement entropy for different W with L=14.The initial state is taken as |ψ0〉=|1010···〉.The inset displays the mean steady-state entanglement entropy as a function of W.

平均的半鏈糾纏熵的動力學演化也可以表征系統多體局域化的發生,其定義為

其中ρL/2(t)=TrL/2[|ψ(t)〉〈ψ(t)|] 是t時刻半鏈的約化密度矩陣.這里的 |ψ(t)〉是任意時刻的波函數,其表示為

4 總結

本文研究了隨機兩體耗散誘導非厄米多體局域化現象.在弱無序時,系統處在遍歷相,能譜統計滿足AI?對稱類分布,與系統所滿足的對稱類一致,而在強無序情況下,系統處在多體局域相,其能譜統計滿足二維泊松分布.通過計算歸一化的參與率,發現在遍歷相中,大部分本征態的歸一化的參與率是有限值,而在多體局域相中,大部分歸一化的參與率接近于零,并且系統平均的半鏈糾纏熵隨無序的增強從體積律到面積律轉變.短時內動力學半鏈糾纏熵的線性和對數增長的演化行為,進一步驗證了系統遍歷相和非厄米多體局域相的存在.長時極限下,動力學半鏈糾纏熵趨向于系統穩態的半鏈糾纏熵.本文的研究為非厄米系統多體局域化現象的研究提供了參考.