雙端腔Ⅱ類倍頻產(chǎn)生四組份糾纏光場(chǎng)*

郝景晨 杜培林2) 孫恒信2)3) 劉奎2)3) 張靜2) 楊榮國(guó)2)? 郜江瑞2)3)

1) (山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,太原 030006)

2) (山西大學(xué),量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

3) (山西大學(xué)光電研究所,太原 030006)

量子糾纏是執(zhí)行量子計(jì)算和構(gòu)建量子通信網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵資源,制備與操控糾纏態(tài)光場(chǎng)是實(shí)現(xiàn)量子信息處理的基礎(chǔ)要素.本文提出了利用雙端光學(xué)腔倍頻產(chǎn)生四組份糾纏態(tài)的理論模型,從耦合波方程出發(fā)得到Ⅱ類倍頻過程的傳輸矩陣,通過腔內(nèi)自再現(xiàn)方程和輸入輸出傳輸矩陣?yán)碚撗芯苛溯敵龅膬墒额l光的噪聲特性;對(duì)于兩束倍頻光和兩束基頻泵浦場(chǎng),利用多組份糾纏光場(chǎng)的充分必要判據(jù)PPT 方法(positivity under partial transposition criterion)分析了最小辛本征值與泵浦功率及分析頻率之間的關(guān)系,研究結(jié)果表明基頻泵浦光與倍頻光之間存在四組份糾纏.

1 引言

量子信息是量子力學(xué)與信息科學(xué)相結(jié)合的交叉學(xué)科,它以量子系統(tǒng)為基本單元完成信息的處理與傳送.量子糾纏是執(zhí)行量子計(jì)算和構(gòu)建量子通信網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵資源,制備與操控糾纏態(tài)光場(chǎng)是實(shí)現(xiàn)量子信息處理的基礎(chǔ)要素,它既可以用于檢驗(yàn)量子力學(xué)的基本原理,也可以為實(shí)現(xiàn)量子測(cè)量以及量子通信[1-4]提供重要的物理基礎(chǔ).隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,多組份糾纏已被廣泛應(yīng)用于量子通訊和量子離物傳態(tài)網(wǎng)絡(luò)[5,6]、遠(yuǎn)程克隆[7-9]、可控密集編碼[10,11]和量子計(jì)算[12-14]等方面.具有不同頻率的多色多組份糾纏由于其在量子信息存儲(chǔ)和量子信息通訊方面不可替代的作用變得更加重要.目前,產(chǎn)生多組份糾纏態(tài)的方法和裝置各式各樣[15,16],參量下轉(zhuǎn)換作為一種典型的非線性過程,產(chǎn)生的孿生光子對(duì)(信號(hào)光與閑置光)具有較強(qiáng)的糾纏,在散粒噪聲譜和量子非破壞性測(cè)量等方面有重要應(yīng)用[17-20].除參量下轉(zhuǎn)換外,光波的倍頻產(chǎn)生,又叫二次諧波產(chǎn)生(second-order harmonic generation,SHG)也可用于產(chǎn)生多色多組份糾纏,且方便地制備下轉(zhuǎn)換不易到達(dá)的光譜區(qū)域.倍頻過程中的基頻光和倍頻光的壓縮特性以及關(guān)聯(lián)特性已有較多的研究報(bào)道[21-25].

本文提出了利用雙端光學(xué)腔Ⅱ類倍頻產(chǎn)生四組份糾纏態(tài)的理論模型,從倍頻耦合波方程出發(fā)得到Ⅱ類倍頻過程的傳輸矩陣,通過腔內(nèi)自再現(xiàn)方程和輸入輸出傳輸矩陣?yán)碚撗芯苛溯敵龅膬墒额l光的噪聲特性.利用PPT 判據(jù)(positivity under partial transposition criterion)研究了兩束基頻泵浦光與兩束倍頻光之間的量子相關(guān)性,表明在一定的泵浦功率和分析頻率范圍內(nèi)存在四組份糾纏態(tài).該方案的核心裝置是一個(gè)內(nèi)置非線性晶體的雙端倍頻腔,其器件簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)緊湊、實(shí)驗(yàn)可行性強(qiáng),使用一個(gè)光學(xué)腔就可以產(chǎn)生多色多組份糾纏態(tài)光場(chǎng),而且可以通過不同端口、不同波長(zhǎng)、不同偏振實(shí)現(xiàn)糾纏光束空間上的分離.

2 理論模型及Ⅱ類倍頻過程傳輸矩陣

圖1 為利用雙端倍頻腔產(chǎn)生四組份糾纏態(tài)的理論模型.其物理過程為: 頻率為ω1湮滅算符的基頻光通過偏振分束器1 (PBS1)的一個(gè)端口進(jìn)入并與另一個(gè)端口湮滅算符的真空模耦合.為了實(shí)現(xiàn)Ⅱ類相位匹配,使用半波片1 (HWP1)將基頻光偏振旋轉(zhuǎn)45°,在HWP1 的輸出處得到兩束具有湮滅算符頻率相同偏振垂直的基頻泵浦光.我們稱這兩個(gè)基頻泵浦光為S 偏振方向的基頻泵浦光1 與P 偏振方向的基頻泵浦光2.基頻泵浦光1 與基頻泵浦光2 經(jīng)輸入腔鏡M1 入射到腔內(nèi),從左向右穿過非線性晶體,產(chǎn)生頻率為ω2的倍頻光1,并從腔鏡M2 完全透射從腔輸出,將這個(gè)輸出的倍頻光稱為輸出光場(chǎng)1.從腔鏡M2 反射回來(lái)的基頻光從右向左穿過晶體再次發(fā)生倍頻過程,產(chǎn)生的倍頻光2 以及部分基頻光從腔鏡M1 輸出,稱為輸出光場(chǎng)2.此過程只有基頻光在腔內(nèi)共振,產(chǎn)生的倍頻光直接從雙端腔兩端腔鏡輸出.

圖1 雙端倍頻腔產(chǎn)生四組份糾纏態(tài)的理論模型Fig.1.Theoretical model diagram of quadripartite entanglement generated by a dual-ported singly resonant cavity.

Ⅱ類倍頻過程的耦合波方程:

對(duì)于Ⅱ類相位匹配,使用基頻場(chǎng)各模之間的分束器轉(zhuǎn)換關(guān)系,可以將耦合波方程組(1)轉(zhuǎn)化為

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程,根據(jù)Asmstrong 等[26]的工作,Li 和Kumar[27]定義了新的無(wú)量綱變量并將由(2)式得到的平均場(chǎng)方程以及量子漲落方程分別變形為以下公式:

定義新的無(wú)量綱變量為

相位為

為了求解(4)式與(5)式,定義正交算符:

其中,l=0,1,2 分別表示真空模,基頻泵浦場(chǎng)以及倍頻場(chǎng).從(4)式和(5)式中得到正交算符的方程:

由于在倍頻實(shí)驗(yàn)中完美相位匹配的條件下可以實(shí)現(xiàn)諧波轉(zhuǎn)化效率最大化,故要求θ=0 .此時(shí)將方程組(3)中u1,u2的解代入方程組(7),求得方程組(7)的解為

傳輸矩陣N(ζi) 中的元素如下:

3 倍頻場(chǎng)量子噪聲計(jì)算

在雙端倍頻腔理論模型中,我們認(rèn)為內(nèi)腔基頻場(chǎng)與倍頻場(chǎng)在穩(wěn)態(tài)條件是自再現(xiàn)的,將參考位置設(shè)置在腔鏡M1 右邊C處位置,該位置處內(nèi)腔場(chǎng)湮滅算符為,即

這里i=1,2 分別代表基頻場(chǎng)和二次諧波場(chǎng),是頻率為i在鏡子j處引入的真空噪聲.j=1,2代表腔鏡M1,M2.τ是光在腔內(nèi)傳播一周所用的時(shí)間.

本文忽略了由于晶體吸收和晶體表面反射導(dǎo)致的內(nèi)腔損耗,對(duì)于腔鏡M1,M2 的透射和反射用非零對(duì)角元6×6 矩陣表示:

式中,Tij為頻率為i在腔鏡j處的功率透射率.N(ζi)是單次穿過晶體過程的傳輸矩陣,它表示為晶體內(nèi)部任意非線性作用長(zhǎng)度時(shí)的光場(chǎng)量子噪聲的輸入輸出關(guān)系,其中,穿過晶體的歸一化傳輸長(zhǎng)度為

這里引入了非線性轉(zhuǎn)化效率ε1=P21/Pin,ε2=P22/Pin,P21和P22為往返穿過晶體的倍頻光功率,Pin代表注入光學(xué)腔的泵浦功率.ENL1和ENL2為往返晶體的單次轉(zhuǎn)化效率:

其中,La是晶體的長(zhǎng)度,c是真空中的光速,zR1=πn1ω1w2/(2πc)是基頻光的瑞利長(zhǎng)度.

將時(shí)域內(nèi)的自再現(xiàn)方程(11)變?yōu)轭l域內(nèi)的傅里葉自再現(xiàn)形式:

通過使用光場(chǎng)的正交振幅與正交位相定義:

我們可以得到基頻場(chǎng)與倍頻場(chǎng)的正交振幅與正交位相的向量表示:

其中,內(nèi)腔基頻和倍頻場(chǎng)的量子起伏列向量表示為

這里,x和y表示正交振幅和正交位相分量,右下標(biāo)1 和2 分別表示基頻和倍頻,C是自再現(xiàn)方程的位置.Vj代表由腔鏡M1,M2 引入的真空噪聲,真空噪聲列向量表示為

這里u1j和v1j是頻域內(nèi)基頻光的正交振幅和正交位相噪聲,u2j和v2j是倍頻光正交噪聲.ω為分析頻率.矩陣,為內(nèi)腔場(chǎng)環(huán)形一周引起的相移,vci=c/(2Lc+2niLa)是腔的自由光譜區(qū),Lc為空腔中空氣的長(zhǎng)度.

輸出光場(chǎng)1 與輸出光場(chǎng)2 的正交振幅和位相的列向量表示為X1與X2,

X1與X2可以由腔內(nèi)自再現(xiàn)項(xiàng)表示為

由于基頻場(chǎng)在腔內(nèi)共振,產(chǎn)生的倍頻場(chǎng)在兩個(gè)腔鏡中全部透射,所以和T21=T22=1.接著,通過上述腔內(nèi)自再現(xiàn)方程得到X1與X2列向量中對(duì)應(yīng)的元素,X2j,Y2j.

下面討論兩個(gè)二次諧波的歸一化噪聲譜,Ω=,為歸一化到腔帶寬的頻率:

根據(jù)上述方程,可以得到兩束倍頻光隨泵浦功率Pin的噪聲譜,如圖2 所示.兩束倍頻光都是正交振幅噪聲壓縮,正交位相是反壓縮的,并且可以發(fā)現(xiàn),兩束光的正交噪聲大小略有差異.這是由于腔內(nèi)基頻場(chǎng)從左向右第一次穿過晶體時(shí)有一小部分轉(zhuǎn)化為倍頻光,導(dǎo)致基頻場(chǎng)從右向左穿過晶體時(shí)的功率略小于第一次穿過晶體時(shí)的基頻場(chǎng)功率.

圖2 雙端腔倍頻產(chǎn)生的兩束倍頻光的噪聲特性 (a) 正交振幅噪聲的壓縮譜;(b) 正交位相噪聲的反壓縮譜Fig.2.Output squeezing spectra of the harmonic fields: (a) Compression spectrum of orthogonal amplitude noise;(b) inverse compression spectrum of orthogonal phase noise.

4 利用PPT 判據(jù)研究四模糾纏特性

通過PPT 判據(jù)求解所有光模的部分轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣的最小辛本征值來(lái)度量多組份糾纏.該判據(jù)為糾纏的充分必要判據(jù),辛本征值越小糾纏度越大[28,29].首先,雙端倍頻腔產(chǎn)生獨(dú)立的可分離的四個(gè)光束,用11,12,21,22 分別表示基頻光1,基頻光2,倍頻光1,倍頻光2,該系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣寫為

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行全等變換,v′=STvS,得到新矩陣v′,其中S為辛變換矩陣,表達(dá)式為

其中I1是一個(gè)4×4 的單位矩陣,對(duì)于模k的部分轉(zhuǎn)置相當(dāng)于改變模k的正交位相的跡,因此模k的部分轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣可以表示為,這里Tk為一個(gè)2N×2N的對(duì)角矩陣,除T2k,2k=-1外,其他所有對(duì)角元素均為1.對(duì)部分轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣進(jìn)行區(qū)域?qū)腔?對(duì)角化矩陣,.隨后,求區(qū)域?qū)腔缶仃嚨淖钚⌒帘菊髦祦?lái)度量糾纏.

這里,選擇長(zhǎng)度為1 cm 的KTP 作為非線性晶體,最佳焦距為21.1 μm,參數(shù)為ENL1=ENL2=0.015,n1=n2=2.1,deff=11 pm/V,Tij=0.04,λ=1560 nm,皆為實(shí)驗(yàn)可行性參數(shù)[21-23,30].

當(dāng)Ω=0 時(shí),四個(gè)光場(chǎng)的部分轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣的最小辛本征值隨泵浦功率的變化如圖3 所示.在一定的泵浦功率范圍內(nèi),部分轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)應(yīng)的最小辛本征值均小于1,說(shuō)明在合適的腔參數(shù)條件下,四組份糾纏存在.隨著泵浦功率的增大,糾纏趨于飽和.由圖3(b)和圖3(c)可以看出,兩條曲線在較大的功率處有略微差異,這是由于腔內(nèi)基頻泵浦場(chǎng)功率不可避免的衰減導(dǎo)致,因?yàn)閺淖笙蛴业幕l場(chǎng)在第一次穿過晶體時(shí)有一小部分轉(zhuǎn)化為了倍頻光使得腔內(nèi)從右向左的基頻場(chǎng)功率略小于從左往右的基頻場(chǎng)功率,但在穩(wěn)態(tài)條件下左端腔鏡處源源不斷有基頻光注入,內(nèi)腔基頻場(chǎng)整體平衡.

圖3 最小辛本征值與泵浦功率 Pin 的關(guān)系圖 (a) i 表示兩束基頻光的糾纏,ii 表示兩束倍頻光的糾纏;(b) iii 表示基頻光1 與倍頻光1 的糾纏,iv 表示基頻光1 與倍頻光2 的糾纏;(c) v 表示基頻光2 與倍頻光1 的糾纏,vi 表示基頻光2 與倍頻光2 的糾纏Fig.3.Lines about symplectic eigenvalues are plotted as functions of Pin when Ω=0 : (a) i represents the entanglement of two fundamental beams,ii represents the entanglement of two frequency-doubling beams;(b) iii represents the entanglement of fundamental beam1 and frequency-doubling beam1,iv represents the entanglement of fundamental beam1 and frequency-doubling beam2;(c) v represents the entanglement of fundamental beam2 and frequency-doubling beam1,vi represents the entanglement of fundamental beam2 and frequency-doubling beam2.

當(dāng)Pin=2 W 時(shí),光場(chǎng)部分轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)應(yīng)的最小辛本征值隨分析頻率的變化如圖4 所示.這里,Ω=,γ=0.01 .從圖4 可以看出,在一定頻率范圍內(nèi),四組份糾纏都存在且在零頻處存在最大的糾纏.隨著分析頻率的增加,四組份糾纏逐漸減弱.圖4(a)可以發(fā)現(xiàn),Ω＜0.05 時(shí),兩束基頻光的糾纏強(qiáng)于兩束倍頻光的糾纏,隨著分析頻率的增加,兩束基頻光的糾纏度下降快于兩束倍頻光的糾纏度導(dǎo)致兩束倍頻光的糾纏逐漸強(qiáng)于兩束基頻光的糾纏.圖4(b)和圖4(c)中的兩條曲線略有差異,是由于腔內(nèi)基頻泵浦場(chǎng)功率不可避免的衰減所造成.

實(shí)驗(yàn)上,可以利用基頻、倍頻光雙波長(zhǎng)輸出的激光器,將基頻泵浦光注入到內(nèi)含KTP 晶體的雙端光學(xué)倍頻腔中,從雙端腔中得到四個(gè)輸出光場(chǎng).分別利用基頻、倍頻雙波長(zhǎng)本地光搭建四套平衡零拍探測(cè)器,通過鎖定相對(duì)相位,測(cè)量各個(gè)光場(chǎng)的正交振幅與正交位相噪聲,由此構(gòu)建一個(gè)8×8 的協(xié)方差矩陣,對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行分析研究,得到輸出光場(chǎng)之間的糾纏特性.此外,也可以采用分析腔掃描的方法來(lái)測(cè)得每一個(gè)光場(chǎng)的量子噪聲[31],再構(gòu)建協(xié)方差矩陣,分析辛本征值所反映的量子糾纏特性.

5 總結(jié)

本文提出了雙端光學(xué)腔Ⅱ類倍頻過程產(chǎn)生四組份糾纏的理論模型,并用PPT 充分必要判據(jù)研究給出了四模糾纏特性.光學(xué)倍頻過程作為一種產(chǎn)生多組份糾纏態(tài)方法,實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,產(chǎn)生的功率大,易于短波長(zhǎng)光場(chǎng)的制備,結(jié)合能對(duì)應(yīng)1560 nm光纖低損耗窗口和780 nm 的Rb 原子吸收線優(yōu)勢(shì),可以為量子通訊網(wǎng)絡(luò)和量子存儲(chǔ)奠定相應(yīng)的量子資源,有助于促進(jìn)量子通訊網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展.