二維旋轉(zhuǎn)諧振子勢中單粒子的跳頻壓縮及演化*

王渝 吳藝豪 李易璞 盧凱翔 伊天成 張?jiān)撇?/p>

(浙江理工大學(xué)物理系,浙江省光場調(diào)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018)

本文主要研究二維旋轉(zhuǎn)諧振子勢中單粒子的動力學(xué)行為,通過跳頻的方式分析該粒子的壓縮演化過程,并分析了相應(yīng)的物理機(jī)制.一方面,研究跳頻過程對回旋半徑模式的壓縮演化,通過選擇適當(dāng)?shù)奶l時刻,分析跳頻過程對壓縮的影響.研究表明,回旋半徑坐標(biāo)的壓縮程度并未在跳頻時刻發(fā)生改變,但可在后續(xù)的演化中出現(xiàn)更強(qiáng)的壓縮現(xiàn)象.另一方面,主要研究跳頻過程中心導(dǎo)向模式的壓縮演化.通過參數(shù)的選擇,分析了兩種壓縮模式,即發(fā)散模式和振蕩模式的壓縮及演化.有趣的是,在中心導(dǎo)向模式壓縮中,外勢存在一個由旋轉(zhuǎn)角速度決定的臨界勢阱縱橫比.壓縮模式在此處發(fā)生突變,且在振蕩模式中,勢阱縱橫比趨于該臨界值時,將出現(xiàn)明顯的壓縮.

1 引言

基于特定的外場實(shí)現(xiàn)微觀粒子行為的調(diào)控一直是物理學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[1-3].外場的引入使得這些微觀粒子自由度相互耦合,從而導(dǎo)致它們的原本運(yùn)動軌跡和行為發(fā)生顯著改變,甚至可能催生出奇妙的量子現(xiàn)象.例如,通過外部電場、磁場或光場來改變粒子的能級結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)粒子量子態(tài)的調(diào)控,使得出現(xiàn)量子態(tài)壓縮等現(xiàn)象[4];通過冷卻技術(shù)（激光冷卻、離子阱等）可以降低粒子的溫度,使它們進(jìn)入更低的能級,從而表現(xiàn)出更明顯的量子行為[5];通過引入拓?fù)浣^緣體可以改變粒子的能帶結(jié)構(gòu),引發(fā)拓?fù)淞孔酉嘧?從而實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的調(diào)控[6].對于這些現(xiàn)象的深入研究不僅能促進(jìn)對量子體系中動力學(xué)行為的理解,還能為在量子信息與計(jì)算、量子精密測量等領(lǐng)域的應(yīng)用提供重要的理論依據(jù).

自1976 年Yuen[7]提出壓縮態(tài)以來,此概念受到了諸多理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的關(guān)注.在此后的幾十年中,壓縮態(tài)在量子光學(xué)、精密測量等各個領(lǐng)域中均取得了諸多重要的進(jìn)展.至今,壓縮態(tài)已經(jīng)可以在各種物理系統(tǒng)中產(chǎn)生,包括電磁場[8]、自旋系統(tǒng)[9]、微機(jī)械振蕩器[10-12]和單個捕獲離子的運(yùn)動模式[13,14]等,同時也得到了廣泛的應(yīng)用.例如,在精密測量領(lǐng)域,通過量子態(tài)的壓縮可以實(shí)現(xiàn)更精確的測量結(jié)果,甚至可以探測到微弱的信號或現(xiàn)象,典型的應(yīng)用如近年來的光學(xué)干涉測量、引力波探測等[15].同時,在原子鐘的研制中,通過對量子態(tài)的壓縮可以降低原子鐘內(nèi)的熱運(yùn)動和噪聲,從而顯著提高原子鐘的精度和穩(wěn)定性[16].此外,量子態(tài)的壓縮還可以用于制備精密的量子傳感器,如量子陀螺儀、量子加速計(jì)等[17].近年來,通過可逆壓縮技術(shù)實(shí)現(xiàn)被測量信號的增強(qiáng),從而實(shí)現(xiàn)弱信號的高精度測量在一些體系中也取得了成功.研究表明,在光學(xué)干涉測量術(shù)[18]和自旋系統(tǒng)[19]中,壓縮相互作用的逆轉(zhuǎn)可以增強(qiáng)較弱的相移信號,從而放寬探測的要求[20];在微波腔中,光子場位移也使用類似的相敏放大方案進(jìn)行了增強(qiáng)[21,22].然而,該技術(shù)在機(jī)械振蕩器系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)仍存在一定困難[1].目前,如何通過壓縮來進(jìn)一步提高測量精度仍然是量子精密測量領(lǐng)域的挑戰(zhàn).特別是,通過設(shè)計(jì)特定的壓縮方案來顯著降低在實(shí)驗(yàn)探測過程中嘈雜的噪聲,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)更高精度測量一直是該領(lǐng)域關(guān)注的焦點(diǎn).

20 世紀(jì)90 年代左右,通過諧振子頻率的變化產(chǎn)生壓縮態(tài)的問題受到了廣泛的討論[23-31],其他與時間相關(guān)的振蕩器也在文獻(xiàn)[32-34]中被研究.相關(guān)研究發(fā)現(xiàn),任何非絕熱的頻率變化均會導(dǎo)致壓縮,且如Agarwal 和Kumar[31]所指出,在頻率突變(跳頻)的情況下,壓縮將尤為明顯.隨后,Janszky 和Adam[35]發(fā)現(xiàn)壓縮與跳頻之間的時間間隔有很強(qiáng)的相關(guān)性,并證明一系列適時的跳頻會導(dǎo)致更強(qiáng)的壓縮.在諧振子中,產(chǎn)生壓縮的速率通常是由量子速度限定的,而諧振子頻率的突變可將基態(tài)投射到壓縮狀態(tài),從而避免時間的約束.由此,Xin 等[36]于2021 年通過聲光調(diào)制器來操控光學(xué)晶格中原子諧波振蕩頻率的跳變,從而創(chuàng)建了原子運(yùn)動的壓縮態(tài),實(shí)現(xiàn)了諧振子跳頻的快速量子壓縮.該研究結(jié)果可以加快量子門的速度,并在嘈雜的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)量子傳感和量子信息處理.另一方面,Fletcher 等[2]通過使二維諧振子勢場存在一定旋轉(zhuǎn)的頻率,在最低朗道能級中動態(tài)產(chǎn)生了占據(jù)單個朗道規(guī)范波函數(shù)的玻色-愛因斯坦凝聚體,并證明了軌道引導(dǎo)中心的幾何壓縮比標(biāo)準(zhǔn)量子極限低7 dB 以上.這一研究結(jié)果為實(shí)現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)流體和玻色子量子霍爾態(tài)提供了一條新的途徑.

目前,對于在旋轉(zhuǎn)諧振子外勢中,研究跳頻導(dǎo)致的量子態(tài)壓縮卻鮮有報(bào)道.因此,本工作將在文獻(xiàn)[2,36]的基礎(chǔ)上,理論分析單粒子系統(tǒng)在旋轉(zhuǎn)二維外勢中的跳頻壓縮.對于具體的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),我們設(shè)想可以首先從磁光阱中將冷原子系綜裝載到二維光學(xué)晶格,并對超精細(xì)態(tài)進(jìn)行可分辨拉曼邊帶冷卻從而制備出處于振動基態(tài)的原子[37].在諧振子勢光阱裝載冷原子的基礎(chǔ)上通過調(diào)節(jié)光束的阱深(光功率、光束直徑),或者改變光束(一般是高斯光束)的瑞利距離對囚禁勢頻率進(jìn)行調(diào)節(jié),對光束的調(diào)節(jié)可以在很快時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)跳頻.

2 單粒子哈密頓量

考慮單個粒子處于勻速旋轉(zhuǎn)的二維各向異性諧振子勢阱的情況,若選取z方向?yàn)樾D(zhuǎn)軸,則在相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)參考系中,系統(tǒng)的哈密頓量為[2]

3 回旋半徑模式的壓縮

回旋半徑坐標(biāo)主要描述該系統(tǒng)中朗道能級的物理量,本節(jié)主要研究將x,y方向頻率互換的跳頻過程對回旋半徑模式壓縮的影響,跳頻時序如下:

根據(jù)海森伯運(yùn)動方程,可得到以下獨(dú)立的微分方程

相應(yīng)的解為

根據(jù)回旋半徑坐標(biāo)的定義,可得其演化為

由于跳頻過程主要使得粒子的哈密頓量在H+和H-轉(zhuǎn)變,因此后續(xù)的兩次跳頻所滿足的運(yùn)動方程及其解的形式仍由(6)式和(7)式表示,選擇β+τ2=π/2 以及β+τ3=3π/2 為第二、三次的跳頻時刻,相應(yīng)解的系數(shù)為

相應(yīng)的漲落為

至此,關(guān)于各階段回旋半徑的壓縮演化的解析形式已經(jīng)得到.從上述公式中,不難發(fā)現(xiàn)跳頻使得回旋半徑的壓縮演化發(fā)生了改變,來回的跳頻也使得回旋半徑壓縮出現(xiàn)了交替演化的現(xiàn)象.接下來,選取特定的跳頻時刻以及壓縮參數(shù)進(jìn)一步分析相應(yīng)的物理現(xiàn)象.

2.1.3 復(fù)合菌劑對玉米根際土壤堿性磷酸酶活性的影響 不同施肥處理下，2個玉米品種根際土壤堿性磷酸酶活性在生育期呈現(xiàn)出：抽雄期>灌漿期>苗期>成熟期；抽雄期與灌漿期均呈現(xiàn)出金穗4號>先玉335，苗期和成熟期不同處理表現(xiàn)各異。抽雄期時，2個玉米品種表現(xiàn)為：B>C>A>D>E，處理B比A，E處理分別提高19.7%、53%(先玉335)和8.5%、31.9%(金穗4號)(圖3)。

圖1 展示了三次跳頻下回旋半徑漲落的演化過程.從圖1 可以發(fā)現(xiàn),在跳頻的時刻回旋半徑的壓縮并未出現(xiàn)突變,但在后續(xù)的演化中出現(xiàn)了不同程度的壓縮.同時,在多次來回跳頻的過程中,漲落的演化也出現(xiàn)了在兩種狀態(tài) {ωx,1,ωy,1,H+} 和 {ωx,2,ωy,2,H-} 中切換的現(xiàn)象.

圖1 三次跳頻下回旋半徑漲落隨 β+t 的演化過程,其中ε=0.125 和 Ω/ω=0.9.實(shí)線和虛線分別表示 演化曲線Fig.1.Variances of cyclotron coordinates evolve with β+t under three frequency jumping,where ε=0.125 and Ω/ω=0.9.The solid and dashed lines respectively represent the evolution curves of .

4 中心導(dǎo)向模式的壓縮

中心導(dǎo)向坐標(biāo)主要是描述該系統(tǒng)中能級簡并度的物理量,本節(jié)重點(diǎn)關(guān)注單次跳頻對中心導(dǎo)向模式的壓縮:

由海森伯運(yùn)動方程可得:

其中,f(Ω/ω)=1+(Ω/ω)2-.容易看出,函數(shù)f(Ω/ω) 的符號決定了最終解的模式,且僅當(dāng) 0＜Ω/ω＜時出現(xiàn)振蕩解,相應(yīng)的兩個模式分布如圖2 所示.圖中的臨界曲線即為f(Ω/ω)=0 時ε與Ω/ω滿足的關(guān)系.從f(Ω/ω) 的表達(dá)式可以看出,在 0＜ε,Ω/ω＜1 范圍內(nèi),|f(Ω/ω)|的取值均不超過 1.因此,β-的取值將無法超過系統(tǒng)頻率ω 的限制,從而不會出現(xiàn)由于β-過大而導(dǎo)致的漲落隨時間t高速振蕩的情況.

圖2 變量 (ε,Ω/ω) 中,兩個壓縮模式的相圖Fig.2.In the variables (ε,Ω/ω),the phase diagram of squeezing modes.

圖3 中心導(dǎo)向坐標(biāo)最大壓縮量隨 ε 的變化曲線,其中 Ω/ω=0.8.藍(lán)線和紅線分別為 和 的曲線Fig.3.Variances of maximum squeezing of guiding center coordinates change with ε,where Ω/ω=0.8 .Blue and red lines represent and .

圖4 中心導(dǎo)向坐標(biāo) 和 在最大壓縮量處的漲落 (a)振蕩模式;(b)發(fā)散模式Fig.4.Fluctuations of guiding center coordinates andat maximum squeezing: (a) Oscillation mode;(b) divergence mode.

由上述分析可見,對于中心導(dǎo)向模式,跳頻過程并不在跳頻時刻改變壓縮,同時也不改變相應(yīng)的壓縮模式.因此,這里可設(shè)置跳頻時刻τ=0,并直接分析跳頻后的演化過程.對于 {ωx,2,ωy,2,H2} 的情況,相應(yīng)的通解為

其中,對于發(fā)散模式和振蕩模式的系數(shù)都為

類似地,中心導(dǎo)向坐標(biāo)可表示為

其中,對于發(fā)散的情況,

相應(yīng)的漲落為

對于振蕩的情況,

相應(yīng)的漲落為

5 結(jié)論

本研究聚焦于二維旋轉(zhuǎn)諧振子外勢中單粒子回旋半徑坐標(biāo)和中心導(dǎo)向坐標(biāo)的漲落壓縮現(xiàn)象,旨在深入探討壓縮過程的物理機(jī)制.通過對單粒子的跳頻分析,首先觀察了回旋半徑模式的壓縮演化.通過合適的跳頻時刻的選擇,揭示了跳頻對壓縮的影響,尤其是在后續(xù)演化中可能引發(fā)更明顯的壓縮效應(yīng).結(jié)果表明,回旋半徑坐標(biāo)的壓縮程度在跳頻時刻并未顯著改變,但在后續(xù)演化中,壓縮效應(yīng)得以顯著增強(qiáng).另一方面,本文還著重研究了中心導(dǎo)向坐標(biāo)在單次跳頻過程中的壓縮演化.通過適當(dāng)選擇參數(shù),成功識別了兩種不同的壓縮模式,即發(fā)散模式和振蕩模式,并揭示了它們背后的物理規(guī)律.值得說明的是,研究發(fā)現(xiàn)外勢存在一個由旋轉(zhuǎn)角速度決定的臨界縱橫比,這對中心導(dǎo)向坐標(biāo)的壓縮模式產(chǎn)生顯著影響.在振蕩模式中,當(dāng)外勢縱橫比趨近于這一臨界值時,壓縮效應(yīng)顯著增強(qiáng),呈現(xiàn)出明顯的突變.這一發(fā)現(xiàn)不僅豐富了對諧振子外勢中壓縮現(xiàn)象的理解,還為進(jìn)一步探索量子傳感等應(yīng)用提供了有趣的線索.

附錄A

這里給出(1)式通過幺正變換G=e-iκxy(mω/?)至(2)式的推導(dǎo),即計(jì)算H=GHlG?.首先考慮如下對易關(guān)系:

因此可以得到,

類似地,

同理,有

同時,對于Lz的變換為

此外,有

將上述變換結(jié)果分別代入H=GHlG?,即可將(1)式變換至(2)式.