永磁電磁混合懸浮系統垂向穩定性研究

侯曉杰 ，顧 蓉 ，楊炫淋 ，凌 浩 ，袁美全 ，肖子葉

（長安大學道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，陜西 西安 710064）

0 引言

永磁懸浮系統的基本懸浮原理為Halbach 陣列間的永磁排斥力實現懸浮，這種懸浮方式結構簡單，能實現靜態穩定懸浮。但是永磁懸浮系統為非線性、難控性的系統，當有外力作用平衡位置發生變化時，系統的穩定性會降低，外力較大時甚至會引發安全事故[1]。因此，對永磁懸浮系統的穩定性進行研究具有重要意義。

文獻[2]提出了一種永磁電磁間隔排列構成的混合磁陣列，其通過電磁鐵可對空間磁場及電磁力進行主動控制，但其控制效果并不理想；文獻[3]和文獻[4]研究了一種電磁EMS 和永磁EDS 混合磁懸浮系統，其通過永磁EDS 提供懸浮力的同時利用電磁EMS 對懸浮力進行動態調節，達到主動控制的效果，但其存在磁場間的耦合問題；文獻[5]和文獻[6]研究了EDS 系統的六自由度動態穩定性，并采用線性二次型調節器較好地控制了系統的穩定性，但其結構較為復雜，且調節時間較長。

基于以上研究，本文提出了一種永磁電磁混合懸浮系統，推導出該系統的動力學模型，對該懸浮系統設計模糊PID 控制器，仿真出該控制器的控制效果，通過MATLAB/Simulink 建立了混合懸浮系統的仿真框圖并仿真驗證了該懸浮系統能夠實現垂向穩定。

1 永磁電磁混合懸浮系統模型

1.1 永磁電磁混合懸浮系統建立

針對永磁懸浮結構的不可調控性，結合EMS 電磁懸浮技術的成熟性和可調控性，設計一種永磁電磁混合懸浮系統模型，如圖1 所示。由上下Halbach 永磁陣列間的永磁力克服絕大部分負載力，電磁模塊產生小部分電磁力克服負載力，當出現外界擾動力時，可由控制器控制電磁模塊中電流的變化對懸浮系統進行可控調節。圖1 中，x為混合懸浮系統懸浮間隙；m為混合懸浮系統的質量；f為外界擾動力；u和i分別為通入電磁模塊的電壓和電流；F1(x)為永磁陣列間的排斥力；F2(i,x)為電磁模塊產生的電磁力。

圖1 永磁電磁混合懸浮結構

1.2 永磁電磁混合懸浮系統垂向動力學模型

假設永磁電磁混合懸浮系統僅有垂向位移，根據電磁學和動力學理論，以向下為正方向，可以得到該系統的垂向動力學方程[7]為：

式中，m為懸浮系統總質量；g為重力加速度；f為外界擾動力；μ0為真空磁導率；N為電磁模塊線圈匝數；A為電磁模塊鐵心的有效截面積。

由式（1）可知，該懸浮系統為非線性系統，假定平衡點為（i0，x0），通過泰勒公式展開并忽略高階小項得到系統的線性化形式：

式中，Δx為懸浮間隙變化量，Δx=x-x0；Δi為電流變化量，Δi=i-i0；kx和ki為混合懸浮系統懸浮力隨x和i的變化率。

其中，系數矩陣：

即狀態方程表示為：

由系統的能控矩陣Pc=[B AB]以及系統的能觀矩陣Q=[C CA]T，可知Pc與Q的行列式均不為0，表明系統具備完全能控性與完全可觀性[8]。

2 混合磁懸浮系統模糊PID控制器設計

2.1 模糊PID控制器設計

暫且忽略擾動力f，對式（2）進行拉普拉斯變換，可以得到懸浮間隙與電流之間的傳遞函數為：

通過PID 試湊法[9]，可取如下參數：KP=1.5×105，KI=6×106，KD=2 400。

模糊PID 控制器結構如圖2 所示，模糊控制器包含偏差e和偏差變化率ec兩個輸入，經模糊推理輸出三個參數的變化值ΔKp、ΔKi、ΔKd，PID 控制器通過三個變化值主動調節參數大小，從而能夠實現PID 控制器的參數自行調節[10]。

圖2 模糊PID 控制器結構

模糊PID 控制器的參數如表1 所示。選擇輸入變量和輸出變量的隸屬度函數為三角形函數，模糊控制器的三個輸出變量ΔKp、ΔKi、ΔKd的模糊控制規則如表2、表3、表4所示。

表1 模糊PID 控制器參數

表2 ΔKp的模糊控制規則

表3 ΔKi的模糊控制規則

表4 ΔKd的模糊控制規則

通過解模糊可以得到PID 參數的修正量[11]，之后根據公式（8）得到控制參數。

其中：qp、qi、qd為比例、積分、微分的量化因子，Kp0、Ki0和Kd0為PID試湊得到的值。

2.2 模糊PID控制器仿真

首先在MATLAB 模糊控制工具箱中操作，將位移偏差E與偏差變化率EC兩個輸入變量與PID 參數的修正量ΔKp、ΔKi、ΔKd三個輸出變量的論域范圍、隸屬度函數信息以及三個輸出變量的模糊規則信息錄入工具箱；其次利用Simulink 仿真工具將模糊控制器的輸出信號與PID 的初始設定值相加輸入到經典PID控制器，連接成模糊PID 控制器。建立的混合磁懸浮模糊PID控制系統仿真框圖如圖3所示。

圖3 混合磁懸浮模糊PID控制系統仿真框圖

通過MATLAB 仿真得到單位階躍下模糊PID 控制系統輸出效果，如圖4 所示。由圖4 可知，模糊PID控制器的超調量小且調整時間不到0.2 s，說明模糊PID控制器動態特性優良，抗干擾能力強。

圖4 模糊PID 控制器的輸出效果

3 永磁電磁混合懸浮系統仿真分析

利用模糊PID 控制器在Simulink 中搭建永磁電磁混合懸浮系統仿真框圖，如圖5所示。

圖5 永磁電磁混合懸浮系統仿真框圖

為了驗證永磁電磁混合懸浮系統的垂向抗擾動性能，現對以下3種情況進行仿真：1）無外界擾動力；2）外界擾動力為f=-50 N，加載時間分別為1 s和6 s，持續時間均為2 s；3）外界擾動力為f=150 N，加載時間分別為1 s 和6 s，持續時間均為2 s。

通過仿真得到懸浮間隙x與電磁模塊通電電流i的波形，如圖6、圖7、圖8 所示。無外界擾動力干擾時，系統在輕微震蕩后穩定懸浮在0.02 m 的平衡位置，此時電磁懸浮模塊的通電電流為2.994 A，與理論分析的平衡位置處電流3 A 存在微小偏差；當外界擾動力為f=-50 N 時，系統調整時間小于0.1 s，快速穩定后的電流約為2.1 A，與理論分析電流為下降趨勢一致；當外界擾動力為f=150 N 時，快速穩定后的電流約為4.7 A，與理論分析電流為上升趨勢一致，并且符合擾動力矢量增大、電流矢量增大的變化趨勢。

圖6 無外界擾動力下懸浮間隙與電流的波形

圖7 外界擾動力f =-50 N 下懸浮間隙與電流的波形

圖8 外界擾動力f =150 N 下懸浮間隙與電流的波形

由以上分析可知：永磁電磁混合懸浮系統的模糊PID控制器響應速度快、控制效果好、抗干擾能力強，能夠使系統穩定懸浮于0.02 m的平衡位置。

4 結論

本文在永磁懸浮的基礎上設計永磁電磁混合懸浮系統模型，基于永磁電磁混合懸浮動態特性分析，設計了模糊PID 控制器，并對其進行動態仿真，得到以下結論：

1）永磁懸浮結構能夠產生強大的天然磁場，運用永磁懸浮能在很大程度上節約能源、降低能耗，但單一永磁懸浮結構不具備主動調控性，出現輕微擾動便會失去穩定懸浮狀態。

2）通過仿真模糊PID 控制器的單位階躍響應，發現模糊PID 控制器能實現超調量小、響應速度較快的性能要求，能夠獲得良好的動態和穩態性能。

3）通過分析不同外界干擾下懸浮系統的垂向穩定性，發現所設計的模糊PID 控制器能使系統穩定懸浮在0.02 m的平衡位置，并且在外界擾動力為-50 N、150 N時，系統均能快速響應后穩定懸浮在平衡位置。