自適應(yīng)事件觸發(fā)機制下分布時滯Markov跳變網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)H∞故障檢測

李艷輝 王涵

基金項目：河北省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：F2023107002）資助的課題。

作者簡介：李艷輝（1970-），博士生導(dǎo)師，教授，從事魯棒控制及濾波、智能控制等的研究，LY_hui@hotmail.com。

引用本文：李艷輝，王涵.自適應(yīng)事件觸發(fā)機制下分布時滯Markov跳變網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)H∞故障檢測［J］.化工自動化及儀表，2024，51（2）：255-261.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202402015

摘 要 傳統(tǒng)事件觸發(fā)機制中閾值的選擇會對信號傳輸效率產(chǎn)生很大影響。針對此問題，研究了自適應(yīng)事件觸發(fā)機制下具有分布時滯的Markov網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的故障檢測問題。設(shè)計了一種模態(tài)相關(guān)的自適應(yīng)事件觸發(fā)機制，通過動態(tài)調(diào)整閾值，提高了網(wǎng)絡(luò)資源利用率。考慮網(wǎng)絡(luò)時延和數(shù)據(jù)丟包現(xiàn)象，同步設(shè)計觸發(fā)器和故障檢測濾波器。構(gòu)造模態(tài)相關(guān)的Lyapunov泛數(shù)，根據(jù)積分不等式技術(shù)推導(dǎo)出使系統(tǒng)隨機穩(wěn)定且具有H∞性能的充分條件。利用解耦方法和LMI技術(shù)求解出了故障檢測濾波器參數(shù)。最后通過數(shù)值仿真驗證了方案在節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源上的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞 故障檢測 自適應(yīng)事件觸發(fā)機制 分布時滯 Markov跳變系統(tǒng)

中圖分類號 TP14? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A? ?文章編號 1000-3932（2024）02-0255-07

Markov跳變系統(tǒng)（MJSs）是由多個模態(tài)組成的隨機系統(tǒng)，許多實際系統(tǒng)（如航空器系統(tǒng)、電力系統(tǒng)）可以建模為MJSs，因此MJSs受到了廣泛關(guān)注［1，2］。而分布時滯現(xiàn)象也普遍存在于系統(tǒng)中，如在平行輸電系統(tǒng)中信號存在大量的并行路徑，信號在不同時間段分布傳輸，這種情況下會產(chǎn)生分布時滯［3］。因此，針對分布時滯進(jìn)行研究具有顯著的工程意義［4］。近年來，實際系統(tǒng)對運行可靠性的要求不斷提高，當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)故障時可能會使系統(tǒng)運行失效，所以常采用故障檢測技術(shù)來及時發(fā)現(xiàn)故障，從而提高運行可靠性［5］。針對傳感器網(wǎng)絡(luò)化MJSs，文獻(xiàn)［6］在故障檢測濾波器通信中采用循環(huán)協(xié)議方法，提高了網(wǎng)絡(luò)利用率；文獻(xiàn)［7］將傳輸中出現(xiàn)的隨機時滯通過馬爾科夫鏈建模，提出了新型有限頻率故障檢測方案。

網(wǎng)絡(luò)信道帶寬有限，往往選擇事件觸發(fā)機制過濾數(shù)據(jù)，但傳統(tǒng)事件觸發(fā)機制由于閾值固定，無法跟蹤系統(tǒng)變化進(jìn)行自調(diào)整，會浪費一定的網(wǎng)絡(luò)資源。在離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)框架下，文獻(xiàn)［8］針對飛行器動力學(xué)中的應(yīng)用，采用一種新的自適應(yīng)事件觸發(fā)方案，提出了故障檢測濾波器和控制器同步設(shè)計方法。針對模糊非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，文獻(xiàn)［9］引入自適應(yīng)事件觸發(fā)機制，設(shè)計了具有異步模糊規(guī)則的故障檢測濾波器。面對更加復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，選擇固態(tài)閾值具有局限性，采用自適應(yīng)事件觸發(fā)機制優(yōu)化觸發(fā)閾值來提高網(wǎng)絡(luò)利用率值得深入研究。針對具有分布時滯的MJSs網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，筆者同步設(shè)計自適應(yīng)事件觸發(fā)器和故障檢測濾波器。引入模態(tài)相關(guān)的自適應(yīng)事件觸發(fā)機制，自適應(yīng)調(diào)整事件觸發(fā)閾值，以提高網(wǎng)絡(luò)資源利用率。利用伯努利分布規(guī)律描述數(shù)據(jù)丟包現(xiàn)象。構(gòu)造模態(tài)相關(guān)的Lyapunov泛數(shù)，利用積分不等式方法，在保證故障檢測系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的基礎(chǔ)上使故障檢測系統(tǒng)具有H∞性能指標(biāo)。運用LMI技術(shù)求出故障檢測濾波器參數(shù)，并采用數(shù)值仿真來驗證故障檢測方案的有效性和自適應(yīng)事件觸發(fā)機制在提高網(wǎng)絡(luò)利用率中的優(yōu)勢。

1 問題描述

考慮如下具有分布時滯的Markov跳變系統(tǒng)（MJSs）：

其中，狀態(tài)變量x（t）∈Rn；測量輸出y（t）∈Rl；屬于L［0，∞）的干擾輸入w（t）∈Rp；故障信號f（t）∈Rq；t為連續(xù)時間；h為常時滯；d為分布時滯常數(shù)；

？諄（t）是Z={1，2，…，Z}中取值的Markov鏈；

A（？諄（t））、A（？諄（t））、A（？諄（t））、B（？諄（t））、B（？諄（t））、

C（？諄（t））是具有適當(dāng)維數(shù)且已知的系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)矩陣。

時刻t+Δt到t的模態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

Pr｛？諄（t+Δt）=j｜？諄（t）=i｝=πΔt+o（Δt），i≠j1+πΔt+o（Δt），i=j

+o（Δt）/Δt=0

其中，π為馬爾可夫模態(tài)跳變概率，π>0；

π=-π；o（Δt）為Δt的微變化。

當(dāng)？諄（t）=i∈Z時，定義系統(tǒng)矩陣為：

A（？諄（t））？劬A

A（？諄（t））？劬A

A（？諄（t））？劬A

B（？諄（t））？劬B

B（？諄（t））？劬B

C（？諄（t））？劬C

針對系統(tǒng)（1）設(shè)計故障檢測濾波器：

（t）=A（？諄（t））x（t）+B（？諄（t））（t）

r（t）=C（？諄（t））x（t）+D（？諄（t））（t）? ?（2）

其中，xf（t）∈Rn為濾波器的狀態(tài)向量；r（t）∈Rq為殘差信號；（t）為濾波器實際輸入；A（？諄（t））、B（？諄（t））、C（？諄（t））、D（？諄（t））是待求解的故障檢測濾波器參數(shù)矩陣。

當(dāng)？諄（t）=i∈Z時，定義濾波器待求矩陣為：

A（？諄（t））？劬A

B（？諄（t））？劬B

C（？諄（t））？劬C

D（？諄（t））？劬D

假設(shè)1 系統(tǒng)測量輸出數(shù)據(jù)通過周期s采樣。采樣序列D=｛y（rs）｜r∈N｝（其中，N為正整數(shù)序列）。觸發(fā)序列D=｛y（ts）｜k∈［0，1，2，…］｝。為提高傳輸效率，動態(tài)調(diào)整閾值，采用自適應(yīng)事件觸發(fā)方案，最新觸發(fā)時刻為：

ts=ts+{ms｜e（t）We（t）>σ（t）y（ts）Wy（ts）}

e（t）=y（ts+ms）-y（ts）? ? （3）

其中，W為模態(tài)相關(guān)的事件觸發(fā)權(quán)重矩陣；m為當(dāng)前觸發(fā)時刻；σ（t）為自適應(yīng)觸發(fā)閾值；y（ts）和y（ts+ms）分別表示最新觸發(fā)數(shù)據(jù)和當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)。

自適應(yīng)事件觸發(fā)律為：

（t）=σ-1（t）［σ-1（t）-σ］e（t）We（t）? （4）

其中，閾值初始狀態(tài)σ>1。

假設(shè)2 數(shù)據(jù)包丟失將隨機發(fā)生，實際到達(dá)故障檢測濾波器的輸入為：

（t）=δ（t）y（ts）? ? ?（5）

其中，δ（t）服從伯努利分布規(guī)律。轉(zhuǎn)移概率Pr｛δ（t）=1｝=δ，Pr｛δ（t）=0｝=1-δ，δ為數(shù)據(jù)成功傳輸?shù)母怕省Ｆ谕鸈｛δ（t）-δ｝=0，E｛（δ（t）-δ）2｝=δ（1-δ）。

假設(shè)3 網(wǎng)絡(luò)時延為τ，0<τ≤τ（τ表示τ的上界）。事件觸發(fā)器未釋放數(shù)據(jù)時，零階保持器保持?jǐn)?shù)據(jù)，數(shù)據(jù)在觸發(fā)時刻才會發(fā)生變化。將零階保持器的時間間隔［ts+τ，ts+τ）分段為

∪Γ，Γ為［ts+qs+τ，ts+（q+1）s+τ）。其中q為零階保持器分段時間時刻，m′為零階保持器分段個數(shù)。

定義τ（t）？劬t-ts-qs，t∈Γ，可得：

（t）=δ（t）［Ci x（t-τ（t））-ey（t）］? （6）

定義ξ（t）=［x（t）? x（t）］，r（t）=r（t）-f（t），v（t）=［w（t） f（t）］，得到故障檢測系統(tǒng)為：

A=A? ? ? ?0 0 A，A=A 0

A=A? 0，A=? ? 0BC

B=B B 0? 0，B=? 0-B，H=I0

C=［0 C］，C=［DC 0］

D=［0 -I］，D=D

筆者主要設(shè)計滿足如下條件的故障檢測濾波器，滿足故障檢測系統(tǒng)（7）隨機穩(wěn)定，且滿足式（8）：

Λ=Er（t）re（t）dt-γEvT（t）v（t）dt<0（8）

則故障檢測系統(tǒng)具有H性能指標(biāo)γ。

其中，Λ為性能指標(biāo)函數(shù)。

采取評估機制判斷故障是否發(fā)生。本研究的故障評估函數(shù)為：

J（r（t））？劬

評估閾值為：

J=［J（r（t））］

當(dāng)J（r（t））>J時發(fā)生故障。

引理1［10］ 對于任意正定矩陣Q>0，參數(shù)α>0，向量函數(shù)ξ（t）：［0，α］→Rn是可積的，則以下不等式成立：

［ξT（s）ds］Q［ξ（s）ds］≤ηξT（s）Qξ（s）ds

其中，η（η>0）為時間。

注1 由觸發(fā)條件（3）可知，對于傳統(tǒng)事件觸發(fā)機制，閾值直接決定了網(wǎng)絡(luò)傳輸率。因此，與傳統(tǒng)事件觸發(fā)方案相比，動態(tài)調(diào)整閾值參數(shù)可以提高網(wǎng)絡(luò)利用率。

2 故障檢測系統(tǒng)H性能分析

本節(jié)利用線性矩陣不等式（LMI）方法，在保證故障檢測系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，建立使故障檢測系統(tǒng)（7）具有H∞性能指標(biāo)的充分條件。

定理1 給定正標(biāo)量d、τ、0<δ<1、σ>1，存在正常數(shù)γ和正定對稱矩陣P、Q、R、R、N、N、W滿足不等式（9）：

Ξ=Ξ τΞ τΞ Ξ Ξ？鄢? ?-N? 0? ?0? ?0？鄢? ？鄢? -N? ?0? ? 0？鄢? ？鄢? ？鄢? ?-I? ? ?0？鄢? ？鄢? ？鄢? ? ？鄢? -I<0? （9）

Ξ=Φ P 0 P Φ 0 P Φ？鄢? -Q? 0? ?0? ? 0? ?0? ?0? ? 0？鄢? ?？鄢 -R? 0? ? 0? ?0? ?0? ? 0？鄢? ?？鄢? ? ？鄢? Φ? ? 0? ? 0? ?0? ? 0？鄢? ? ？鄢? ? ? ?？鄢? ? ?？鄢? ? ? ?Φ? N? ? ? 0? ? ? ?Φ？鄢? ? ？鄢? ?？鄢 ？鄢? ? ? ?？鄢? ?Φ? ? ?0? ? 0？鄢? ? ？鄢? ?？鄢 ？鄢? ? ? ?？鄢? ?？鄢? ? ?Φ? 0？鄢? ? ？鄢? ?？鄢 ？鄢? ?？鄢? ?？鄢 ？鄢 Φ

Ξ=NH［A A 0 A δA 0 B δB］

Ξ=NH［0 0 0 0 A 0 0 B］

Ξ=［C 0 0 0 δC 0 D -δD］

Ξ=［0 0 0 0 C 0 0 -D］

Φ=PA+AP+H（Q+N-N+R+dR）H+πP

Φ=δPA+HN

Φ=δPB

Φ=-dR

Φ=-2N+HWH

Φ=-HW

Φ=-N-N

Φ=-γI

Φ=（1-σ）W

=δ（1-δ）

=［C 0］

則故障檢測系統(tǒng)（7）隨機穩(wěn)定且具有H性能。

證明 選取Lyapunov函數(shù)V（t）：

V（t）=V（t）

V（t）=ξ（t）P（？諄（t））ξ（t）

V（t）=ξ（s）HQHξ（s）ds

V（t）=ξ（s）HRHξ（s）ds

V（t）= T（s）HRH（s）dsdθ

V（t）=ξ（s）HNHξ（s）ds

V（t）=τT（s）HNH（s）dsdθ

V（t）=σ（t）/2

定義弱無窮小算子為：

｛V（t）｝=｛E［V（t+Δ）｜t］-V（t）｝

對V（t）求弱無窮小算子：

根據(jù)自適應(yīng)律（4）和式（3）可得：

用引理1處理積分項，可得：

綜合式（10）～（12），可得：

｛V（t）｝≤η（t）η（t）

=Ξ+τ（ΞNΞ+ΞNΞ）

η（t）=［η（t） η（t） η（t）］

η（t）=［ξ（t） ξ（t-h）H ξ（t-d）H］

η（t）=［ξ（s）dsH ξ（t-τ（t））H］

η（t）=［ξ（t-τ）H v（t） e（t）］

由式（9）可知，當(dāng)v（t）=0時，<0，可知系統(tǒng)（7）隨機穩(wěn)定。

引入式（8）的函數(shù)Λ：

Λ

=+ΞΞ+ΞΞ

由不等式（9）及Schur補引理可得<0，從而得到Eη（t）η（t）dt<0，進(jìn)而可得：

Λ=Er（t）r（t）dt-γEv（t）v（t）dt<0

即故障檢測系統(tǒng)具有H性能指標(biāo)γ。

注2 引入自適應(yīng)閾值相關(guān)的Lyapunov函數(shù)δ（t）/2，結(jié)合自適應(yīng)事件觸發(fā)律（4），共同設(shè)計事件觸發(fā)閾值參數(shù)和故障檢測濾波器參數(shù)。

3 故障檢測濾波器設(shè)計

現(xiàn)利用變量替換解耦定理1中的耦合項，運用LMI技巧求解故障檢測濾波器的參數(shù)。

定理2 給定正標(biāo)量d、τ、0<δ<1、σ>1，若存在正常數(shù)γ和正定對稱矩陣X、U、Q、R、R、N、N、W，使得式（13）成立：

Ψ Ψ Ψ τΨ Ψ? ? Ψ？鄢? -γI 0? τΨ? ? ? ? 0？鄢? ？鄢 Ψ? 0? - -？鄢? ?？鄢? ？鄢? -N? ? 0? ? 0？鄢? ?？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? -I? ? 0？鄢? ?？鄢? ？鄢? ? ?？鄢? ？鄢? -I<0

Ψ= ?XA 0 XA ?0？鄢? ?UA 0 UA ?0？鄢? ？鄢? -Q? 0? 0? 0? ?0？鄢? ？鄢? ? ？鄢 -R? 0? 0? ? ? 0？鄢? ？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? -dR 0? ? ?0？鄢? ？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? ? ? ?？鄢? ? N？鄢? ？鄢? ? ? ？鄢? ?？鄢? ？鄢? ?？鄢 ?（13）

Ψ=［X U 0 0 0 0 0］

Ψ=［-δB -δB 0 0 0 0 0］

Ψ=N［A 0 A 0 A 0 0］

Ψ=［0 C 0 0 0 δDC 0］

Ψ=［0 0 0 0 0 DC 0］

Ψ=N，Ψ=（1-σ）W

Φ=AX+XA+Q+N-N+R+dR+πX

Φ=A+AU+πU，Φ=δBC+N

Φ=A+A+πU，Φ=δBC

Φ=-2N+CWC，Φ=-N-N

=［B B］

D=［0 -I］

=δ（1-δ）

則故障檢測系統(tǒng)（7）隨機穩(wěn)定且具有H性能。

所得故障檢測濾波器參數(shù)矩陣為：

A=UA，B=UB

C=C，D=D

證明 對于任意的模態(tài)i，定義：

P= X -Y-Y Z

F=I? 00 YZ

F=diag｛F，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I｝

利用F對不等式（9）全等變換，然后定義A=YAZY，B=YB，C=CZY，D=D，U=YZY變量替換得到式（13），根據(jù)文獻(xiàn)［11］的求解思路，得到濾波器傳遞函數(shù)T=C（sI-A）B+D=C（sI-UA）UB+D，解得濾波器參數(shù)。

4 仿真實例

筆者考慮MJSs存在兩種模態(tài)i=（1，2），設(shè)置π=［-0.6 0.6； 0.4 -0.4］。

模態(tài)1系統(tǒng)參數(shù)矩陣如下：

A=-2.5? 0.1 0.7 -1.3，C=0.10.4

A=-0.3 0.1-0.8 0.1，A=? 0.6 -0.8-0.2? ?0.4

B=0.10.1，B=0.20.3

模態(tài)2系統(tǒng)參數(shù)矩陣如下：

A=-2.4? ?0.7? 0.3 -3.1，C=0.10.3

A=-0.1 0.3-0.3 0.4，A=? 0.3 -0.4-0.2? ?0.6

B=0.30.2，B=0.10.4

設(shè)閾值初始狀態(tài)σ=80，時滯參數(shù)h=0.1、d=0.2、τ=0.3，丟包參數(shù)δ=0.8，采樣周期s=0.1。得到最優(yōu)H性能指標(biāo)γ=1.7160。

所得模態(tài)1故障檢測濾波器參數(shù)矩陣為：

A=-30.5836? -5.6151-57.2032 -14.3373，B=-36.9352-80.1578

C=［-0.0382 0.0056］，D=0.0400

所得模態(tài)2的故障檢測濾波器參數(shù)矩陣為：

A= 1.7277? ?-6.632313.0333 -20.5181，B=-13.1062-25.5848

C=0.0042 -0.0075，D=0.0228

噪聲干擾信號w（t）和故障信號f（t）分別為：

w（t）=rand［0，1］，2≤t≤60? ? ?，其他

f（t）=1，3≤t≤50，其他

為驗證設(shè)計方案的優(yōu)勢，現(xiàn)針對模態(tài)相關(guān)與模態(tài)無關(guān)的自適應(yīng)事件觸發(fā)設(shè)計方案所得H性能指標(biāo)γ進(jìn)行對比，見表1，可以看出，選擇模態(tài)相關(guān)的自適應(yīng)事件觸發(fā)方案所得γ值，得到較低的保守性結(jié)果。

表1 模態(tài)相關(guān)與模態(tài)無關(guān)方案下所得

性能指標(biāo)γ值

為了驗證自適應(yīng)事件觸發(fā)方案在節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源中的優(yōu)勢，與傳統(tǒng)事件觸發(fā)方案對比，設(shè)置相同收斂閾值，傳輸率（觸發(fā)次數(shù)/采樣次數(shù)）對比，結(jié)果見表2，可以看出，自適應(yīng)事件觸發(fā)方案傳輸率低于傳統(tǒng)事件觸發(fā)方案，說明本方案更加節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源，同時完成了故障檢測。

表2 兩種觸發(fā)方案傳輸率對比

殘差評估函數(shù)和模態(tài)切換規(guī)律如圖1所示，可以看出，故障評估閾值J=0.0086，J（r（t））｜（t=4.3）=0.0115>J（r（t）），說明故障信號在4.3 s時被檢出。自適應(yīng)事件觸發(fā)閾值σ（t）和濾波器的實際輸入如圖2所示，可以看出，σ（t）收斂到了0.495 9。由濾波器輸入可知，當(dāng)產(chǎn)生丟包時實際輸入為0，觸發(fā)器未釋放數(shù)據(jù)時，零階保持器保持?jǐn)?shù)據(jù)。由自適應(yīng)事件觸發(fā)機制和傳統(tǒng)事件觸發(fā)機制的觸發(fā)時刻和間隔（圖3）可知，在100個采樣時刻下，當(dāng)σ=80時，自適應(yīng)事件觸發(fā)機制共有39個觸發(fā)時刻，選擇相應(yīng)收斂閾值0.495 9的傳統(tǒng)事件觸發(fā)機制共有52個觸發(fā)時刻，證明自適應(yīng)事件觸發(fā)機制相對傳統(tǒng)事件觸發(fā)機制更節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)資源。

圖1 殘差評估函數(shù)和模態(tài)跳變過程

圖2 自適應(yīng)閾值和濾波器輸入

圖3 觸發(fā)時刻和間隔

5 結(jié)束語

針對具有分布時滯的MJSs網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，設(shè)計了一種模態(tài)相關(guān)的自適應(yīng)事件觸發(fā)方案，得到了較低的保守性結(jié)果。故障檢測濾波器實際輸入同時考慮了網(wǎng)絡(luò)延時和丟包現(xiàn)象，選取事件觸發(fā)閾值相關(guān)的Lyapunov函數(shù)，實現(xiàn)事件觸發(fā)和故障檢測濾波器參數(shù)的共同設(shè)計。仿真結(jié)果證明，筆者方法在更節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源的同時，能夠及時檢測出故障。所提自適應(yīng)事件觸發(fā)故障檢測方法可為化工生產(chǎn)過程等領(lǐng)域提供理論參考。

參 考 文 獻(xiàn)

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（收稿日期：2023-03-03，修回日期：2024-01-09）

H∞ Fault Detection of Distributed Time-delay Markov Jump Networked System with Adaptive Event Triggering Mechanism

LI Yan-huia，b， WANG Hanb

（a. Bohai Rim Energy Research Institute；b. School of Electrical Engineering and Information，

Northeast Petroleum University）

Abstract? ?The threshold selection in the traditional event triggering mechanism greatly influences signal transmission efficiency. Aiming at this problem， the fault detection of Markov networked systems with distributed delay under adaptive event triggering mechanism was studied， including the design of a modal dependent adaptive event trigger mechanism to improve utilization of network resources by dynamically adjusting the threshold. Considering the network delay and data packet loss， both trigger and fault detection filter were designed synchronously and the modal dependent Lyapunov universal was constructed， including having the integral inequality technique based to deduce the system with stochastic stability and the H∞ sufficient conditions for performance. In addition， through making use of the decoupling method and LMI technology， parameters of fault detection filter were solved. Simulation results prove this schemes advantages in saving network resources.

Key words? ?fault detection， adaptive event triggering mechanism， distributed time-delay， Markov jump system