GeoGebra軟件在高中物理“拋體運(yùn)動(dòng)：打水漂”教學(xué)中的應(yīng)用

李立琛 白友鈺 張靜 王忠花 郭杰

摘? ?要：“打水漂”是人類最古老的游戲之一，也常作為高中物理教學(xué)中“拋體運(yùn)動(dòng)”的實(shí)例。“打水漂”涉及牛頓第二定律、液體壓強(qiáng)、拋體運(yùn)動(dòng)等知識(shí)點(diǎn)，原理較難理解，物理過(guò)程較為復(fù)雜。采用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)展示并分析“打水漂”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可以降低學(xué)生在解題過(guò)程中的思維障礙，有助于學(xué)生建立物理圖像，提高學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：GeoGebra；打水漂；拋體運(yùn)動(dòng)

引言

打水漂是人類最古老的游戲之一。只要選擇一塊大小適當(dāng)?shù)氖^，斜著朝平靜的水面拋去，石頭就會(huì)在水面上連續(xù)跳躍若干次后才沉入水中。如何能夠讓石頭漂得更遠(yuǎn)、在水面彈跳次數(shù)更多？美國(guó)人拉塞爾·拜爾斯在2007年７月打水漂時(shí)，石子竟然在水面跳動(dòng)51次，小石片在水面大約行進(jìn)76 ｍ[ 1 ]。法國(guó)物理學(xué)教授L·Bocquet對(duì)“打水漂”這一過(guò)程進(jìn)行了深入研究，將“打水漂”里所蘊(yùn)含的物理規(guī)律展現(xiàn)在其研究論文《The physics of stone skipping》[ 2 ]中。

拋體運(yùn)動(dòng)中的“打水漂”問(wèn)題是高中物理習(xí)題教學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)。“打水漂”的過(guò)程可以近似看作由一段平拋運(yùn)動(dòng)，多段勻減速直線運(yùn)動(dòng)和多段水平及豎直方向的速度不斷減小的斜拋運(yùn)動(dòng)組成，因?yàn)樯婕岸喽芜\(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，很多學(xué)生在建立物理模型的過(guò)程中遇到困難，不能很好地解題。

在傳統(tǒng)教學(xué)中，由于“打水漂”的原理涉及大學(xué)物理中流體力學(xué)的知識(shí)，許多教師對(duì)于這類問(wèn)題的原理解釋往往會(huì)跳過(guò)或者一筆帶過(guò)，對(duì)于其運(yùn)動(dòng)軌跡則采取口述或者粗略板書的方式，這導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)能理解“打水漂”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、沒(méi)有明確的認(rèn)知。GeoGebra是一款操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大、免費(fèi)開源的教學(xué)軟件。近年來(lái)，GeoGebra軟件在物理教學(xué)中起到了積極的作用。文獻(xiàn)[ 3 ]中采用GeoGebra軟件探究了拋體運(yùn)動(dòng)中的最值問(wèn)題，使教師在進(jìn)行拋體運(yùn)動(dòng)教學(xué)時(shí)，不僅有理論推導(dǎo)，也能給學(xué)生帶來(lái)感性體驗(yàn)，提高了學(xué)生的觀察能力與分析思考能力。由此可見，GeoGebra能夠幫助學(xué)生構(gòu)建物理模型，搭建思維“支架”。

文章使用GeoGebra軟件追蹤物體做“打水漂”運(yùn)動(dòng)過(guò)程中軌跡及狀態(tài)的變化，使其直觀化、動(dòng)態(tài)化，創(chuàng)設(shè)一個(gè)有助于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)情境，幫助學(xué)生更清晰了解該復(fù)雜的物理過(guò)程。

1? 例題及原理解釋

如圖1所示，小明站在岸邊，右手在離水面高度h0=1.8 m處，將一質(zhì)量為m=20 g的小石片以水平初速度v0=8 m/s拋出，玩“打水漂”。小石片在水面上滑行時(shí)受到水平方向的阻力恒為Ff=0.4 N，在水面上彈跳數(shù)次后沿水面的速度減為零，并以a=0.5 m/s2的加速度沿豎直方向沉入水深為h=1 m的河底。假設(shè)小石片每次均接觸水面Δt=0.04 s后跳起，跳起時(shí)豎直方向上的速度與此時(shí)沿水面滑行的速度之比為常數(shù)k=0.75，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。求小石片從拋出到開始下沉的時(shí)間t。

在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)于小石片會(huì)在水面上彈跳這個(gè)過(guò)程存在疑惑。學(xué)生紛紛提出問(wèn)題：“為什么小石片在做平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)水面時(shí)會(huì)斜向上彈起？是因?yàn)槭艿叫毕蛏系牧幔磕沁@個(gè)力又是從哪來(lái)的呢？”由此可見，在教學(xué)中對(duì)于“打水漂”運(yùn)動(dòng)的原理解釋十分重要。

原理：當(dāng)一塊小石片打入水中時(shí)，會(huì)對(duì)接觸面部分的水面進(jìn)行擠壓，石頭將一部分水向下推開，如圖2所示，α為石塊表面和水面之間的夾角，β為石塊速度ｖ和水面之間的夾角。此時(shí)與小石片底部接觸的一部分液體會(huì)保持與石片相同的速度，而未與小石片接觸的液體會(huì)保持靜止。根據(jù)伯努利原理，流速大的地方壓強(qiáng)小，即p0＞p1，這時(shí)兩部分液體之間的壓強(qiáng)差會(huì)使得小石片存在一個(gè)向上的推力Fy。壓強(qiáng)差越大，向上的推力Fy越大。當(dāng)其推力Fy能夠克服重力時(shí)，就會(huì)被彈起。石片跳躍多次之后速度會(huì)減慢，兩部分壓強(qiáng)差減小，獲得的推力不再能夠抵消重力作用，最后石片沉入水底。

需要注意的是，考慮到中學(xué)生尚未學(xué)習(xí)伯努利原理，故可以應(yīng)用生活中的例子幫助學(xué)生理解，如：當(dāng)一列列車高速駛來(lái)時(shí)，列車周圍的空氣被帶動(dòng)而快速運(yùn)動(dòng)起來(lái)，壓強(qiáng)減小，如果旅客離列車過(guò)近，身體前后就會(huì)出現(xiàn)明顯的壓強(qiáng)差，身后較大的壓力就會(huì)把旅客推向列車。所以在動(dòng)車站通常都會(huì)有黃色警戒線，避免旅客受到傷害。

上述解析對(duì)小石片在水面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析看似簡(jiǎn)單，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，許多學(xué)生的思維進(jìn)展到小石片作平拋運(yùn)動(dòng)到水面后就停滯了，它們會(huì)做什么運(yùn)動(dòng)呢？水平和豎直方向的速度會(huì)怎么變化呢？運(yùn)動(dòng)的軌跡是怎么樣的呢？這可能也是許多學(xué)生心中的疑惑。

為了幫助學(xué)生更直觀的了解“打水漂”運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，在GeoGebra軟件中畫出其示意圖。為了幫助學(xué)生對(duì)比彈跳不同次數(shù)時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌跡的不同，將其運(yùn)動(dòng)軌跡整合到一個(gè)畫面中。

3? 利用GeoGebra軟件解決問(wèn)題

3.1? GeoGebra軟件參數(shù)設(shè)置

（1）取值Δt，F(xiàn)f，v0，m，g，h0，k。取滑動(dòng)條t1，t2，n，分別為小石片做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，小石片做斜拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及小石片彈跳的次數(shù)，如圖3所示。

（3）以點(diǎn)G為小石片在水面上做斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)所處的位置，此時(shí)小石片在水平方向做初速度為vx=v0-a1Δt（n-1）的勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為vy=kvx=k［v0-a1Δt（n-1）］，加速度為-g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

故取值vx=v0-a1Δt（n-1），vy=k［v0-a1Δt（n-1）］，

（4）作點(diǎn)D（X（B）+v0，y（B）），E（X（B），y（B）-gt1），F(xiàn)（X（B）+v0，y（B）-gt1）。選擇“向量工具”，作向量CD，CE，CF。作向量DF，EF，右擊設(shè)置為虛線。

（6）隱藏不需要的對(duì)象，為各個(gè)對(duì)象設(shè)置好標(biāo)簽。設(shè)置點(diǎn)C及點(diǎn)G顯示其軌跡。

3.2? GeoGebra軟件可視化和解決問(wèn)題

該題目中“打水漂”運(yùn)動(dòng)可分為多個(gè)過(guò)程，首先為一段平拋運(yùn)動(dòng)，之后為多段勻減速直線運(yùn)動(dòng)及斜拋運(yùn)動(dòng)交替進(jìn)行，最后沉入水底。通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)條t1，可以得到小石片做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡，當(dāng)軌跡與x軸相交時(shí)，記錄小石片做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1，此時(shí)G點(diǎn)位置為小石片在水面上滑行了nΔt時(shí)間后所處的位置，如圖4所示。小石片作平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖5所示。

通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)條t2，可以得到小石片做斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖6所示。當(dāng)軌跡與x軸相交時(shí)，記錄此時(shí)的時(shí)間t2，記作t2n，之后將t2調(diào)零，使n+1，繼續(xù)調(diào)節(jié)滑動(dòng)條t2，當(dāng)軌跡與x軸相交時(shí)，記錄此時(shí)的時(shí)間t2，記作t2n，以此類推。小石片作斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖7所示。

3.3? 利用GeoGebra軟件拓展分析

4? 結(jié)束語(yǔ)

在教學(xué)中使用GeoGebra軟件，可以有效地幫助學(xué)生建立物理模型，明晰物理過(guò)程，將其與日常生活中的物理現(xiàn)象結(jié)合，更是能幫助學(xué)生將所學(xué)習(xí)的物理知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際。經(jīng)過(guò)上述分析，學(xué)生對(duì)“打水漂”運(yùn)動(dòng)過(guò)程有了更深的理解。通過(guò)此題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)若拋出的初速度越大，“水漂”就能打的越高，打的越遠(yuǎn)。同時(shí)，教師可以讓學(xué)生在課后自己嘗試一下“打水漂”這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)“打水漂”的距離不僅與石片拋出的初速度有關(guān)，還與石片自旋拋出的角速度，石片拋出時(shí)的角度等因素有關(guān)，這個(gè)過(guò)程對(duì)提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)有重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 楊宏兵.打水漂的物理學(xué)原理及其應(yīng)用[J].物理教師，2015，36（5）：54-55.

［2］ Bocquet L.The physics of stone skipping[J].American Journal of Physics ，2003，71（2）：150-155.

［3］ 喬永海.用軟件工具探究拋體運(yùn)動(dòng)的最值問(wèn)題[J].物理教學(xué)探討，2021，39（2）：46-48.