探討高中數學去定勢思維尋一題多解的策略

尹紅艷

（曲靖市第二中學，云南 曲靖 655000）

1 “模擬題”引發的一題多解

例1：（2023 年4 月云南省曲靖市第二中學高三校一模第15 題）已知O 為坐標原點，M，N 是拋物線y2=4x上不同于坐標原點的兩點，若OM2+ON2=MN2，則|OM|·|ON|的最小值為__。

【答案】32。

1.1 例1 試題立意

本題以拋物線為載體，考查原點到直線拋物線上兩點距離乘積的最小值，屬于課程學習情境.本題參照人教A 版選擇性必修第一冊138 頁習題3.3 第6 題，146 頁復習參考題3 第10 題.在課程標準中內容要求是“了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它的簡單幾何性質”，學業要求是“根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題”[1]。

1.2 例1 關鍵能力

本題考查學生的數學符號與抽象能力、邏輯思維能力。解決本題可充分利用OM2+ON2=MN2條件，將其轉化為OM⊥ON，得kOM·kON=-1 或等來列式，最值可利用三角函數，均值不等式或二次函數等方法來求得。考查學生對問題分析、綜合、抽象和概括的能力。

1.3 例1 解析

解法一：將y2=4x 轉化為極坐標方程，

ρ2sin2θ=4ρcosθ，化簡得。

∵OM2+ON2=MN2。

∴OM⊥ON，即設M（ρ1，θ），N。

當|sin2θ|=1 時，|OM|·|ON|取得最小值為32。

解法二：∵M，N 是拋物線y2=4x 上不同于坐標原點的兩點，

當且僅當x1=x2時取“=”，所以|OM|·|ON|最小值為32。

解法三：∵OM2+ON2=MN2，∴OM⊥ON。

當且僅當k=±1 時取“=”，|OM|·|ON|最小值為32。

解法四：設M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN：x=ty＋b（b≠0）代入y2=4x 得：

y2-4ty-4b=0；y1＋y2=4t，y1y2=-4b。

∵OM2＋ON2=MN2，∴OM⊥ON。

∴b=4。

所以直線MN：x=ty＋4（b≠0）恒過點（4，0）。

即當t=0 時，|OM|·|ON|≥32。

即|OM|·|ON|的最小值為32。

1.4 例1 解析點評

解法一：（極坐標法）首先將拋物線y2=4x 轉化為極坐標方程OM2＋ON2=MN2轉化為OM⊥ON，即點M 與點N 極角相差，設出M 與N 的極坐標，則|OM·||ON|=|ρ1·ρ2|將其化簡，最后利用三角函數知識求出最值。

解法二：根據拋物線方程的特征設出M 與N 的直角坐標，OM2＋ON2=MN2轉化為OM⊥ON，即=0，求出x1x2的值，直接利用兩點間距離公式表示出|OM|·|ON|，結合均值不等式求出最值。

解法三：根據OM2＋ON2=MN2條件，得OM⊥ON，即kOM·kON=-1，設出OM 與ON 的直線方程，并分別與拋物線方程聯立方程組求出M 與N 兩點的坐標，直接利用兩點間距離公式表示出|OM|·|ON|，結合均值不等式求出最值。

解法四：設出M 與N 的直角坐標及MN 的直線方程，聯立方程組，結合根與系數的關系寫出兩根之和與兩根之積。由OM2＋ON2=MN2轉化為OM⊥ON，即，求出直線的橫截距，當|OM|·|ON|最小時，即S△OMN最小，代入值表示出，利用二次函數最值求得|OM|·|ON|的最值[2]。

1.5 例1 教學建議

拋物線是圓錐曲線的一種，拋物線的定義是解決拋物線的基礎，它能將兩種距離進行等價轉化。涉及拋物線、直線、交點問題的，往往是直線聯立拋物線，再用韋達定理來解題。在教學中，教師應該根據題目的特點，可以考慮一題多解，一題多變，一題多衍生，從一個題目入手，通過不斷變換題目，學生都能從不同的方面來思考問題和解決問題，在開拓和發展學生思維的靈活性和深刻性方面能發揮積極作用，啟發學生的深度學習。基于拋物線和直線聯立運算深化的過程、價值，提出如下教學建議：

1.5.1 引導——整體式策略

教師引發如何將題目中的條件OM2＋ON2=MN2進行轉化→教師引導并啟發學生思考與交流→師生、生生對話→師生共同得出可以把題目中已知條件轉化為OM⊥ON，即=0→師生深化運算過程、方法。

1.5.2 引導——分組式策略

教師引發如何求圓錐曲線問題→教師引導、啟發→小組學生思考、討論→師組、組組對話→各組異步完成直線聯立拋物線→師組一起對展開化簡→師組比較計算化簡的異同→組間交流分享，達成共識。

1.5.3 分組——自主式策略

教師引發小組學生提出如何求兩線段長度的積→各組學生探究推證方法→組間交流分享推證方法→教師評價、引導→各組自主、異步完成→各組討論做題方法→各組深化運算規律、方法→組間交流分享，達成共識（教師實施必要的導引）。

教師應當依據師生發展水平、具體教學目標，師生及生生互動水平，靈活選用或整合上述教學策略，旨在引發問題、激發思維、激勵探究、交流促進、運用方法，提升學生的數學學科核心素養。圓錐曲線的解答常規方法可以深化運算，比較新穎的極坐標方法，可以提供了基于創新思維引領科學探究、拓展教科書內容、精準教學設計的參考，呈現了基于數學思維系統化教學內容、創造性運用教科書的實例。

2 “類比法”促成的思維

【答案】2。

2.1 例2 試題立意

本題以基本不等式為載體，考查基本不等式中的最值問題，屬于課程學習情境.參照人教A 版選擇性必修第一冊48 頁習題2.2 第5 題，58 頁復習參考題2 第9 題.在課程標準中內容要求是“掌握基本不等式解題滿足的條件：正、定、等；通過配湊、轉化、變形等手段，創設應用基本不等式的情境”，學業水平要求是“會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題”[3]。

2.2 例2 關鍵能力

本題考查學生的數學運算與抽象能力、邏輯思維能力。可使學生進一步發散思維，從多個方面思考、用多種方法來解答.對教材原有的知識點進行拓展，讓學生了解柯西不等式、權方和不等式等，有助于提升學生的思維能力、分析解決問題的能力。

2.3 例2 解析

解法一：乘“1”法。

解法二：柯西不等式。

解法三：權方和不等式。

2.4 例2 解析點評

解法一：乘“1”法。

解法二：柯西不等式。

若a，b，c，d∈R，則（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，當且僅當ad=bc 時取“=”。

解法三：權方和不等式。

2.5 例2 教學建議

這道題目兼具基礎性、又有較強的綜合性，難度較大，學習基本不等式，要求學生學會掌握基本不等式求最值成立的條件，要求學生具備“拆、拼、湊”等變形的能力，在利用基本不等式失效（等號取不到）的情況下學會采用函數的單調性求解最值，在學習的過程中容易對基本知識撐握不全面，書寫不規范，易漏掉一些細節（等號成立的條件）。

3 結語

本文是數學教學課上學生大膽質疑所引發的思考，教師和學生不能受“定勢思維”的束縛，而要敢于提出問題，分享自己的做題思路和想法。在教學中，教師要調動學生思維的積極性，訓練學生的思維能力、邏輯推理能力、分析能力、創新能力等，為數學學習注入新的活力，通過一題多變的教學形式，可以引導學生積極思維，改變靜止孤立地思考問題的習慣，逐漸使思維向廣闊的方向聯想，向縱深方向發展，達到由此及彼，觸類旁通的目的。《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》明確提出了邏輯推理是數學核心素養的組成部分。教師在課堂上營造一題多解法是高中數學解題的一種常見思維，在解題實踐過程中，若能通過觀察、分析、整理等變形手段，看清題目結構的共性，則可輕松通過比較找出它們的相似點，巧妙把所學知識點遷移到問題上。同時，教師在課堂上營造良好的氛圍，學生敢于想象，再進行科學探究，從而有利于學生創新思維的培養，回歸數學課堂的本質[4]。新高考形勢下試題重視數學本質，突出理性思維、數學應用、數學探究、數學文化的引領作用，突出學生對關鍵能力的考查。因此平常要培養學生善于總結方法，不斷提高學生的創新能力，轉化化歸的能力，突出邏輯推理，數學抽象，數學運算等核心素養.通過一題多解的訓練，可以培養學生的發散性思維及聯想能力，學會用不同的知識解決同一個問題，達到對多種知識的融會貫通。