習題教學功能之鞏固基礎知識和基本技能

浙江海鹽縣三毛小學（314300） 何月豐

本系列文章以連載的形式，主要就小學數學習題教學的功能進行具體分析，以更全面、清晰地展現其在小學數學教與學中的重要價值。

“中國數學教育有許多特色，但是以雙基教學為主要特征。”［1］數學教學中的“雙基”，是指數學中的基礎知識和基本技能。

一、數學“雙基”與習題教學

2001 年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》的課程總體目標第一條表述為：“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”［2］這里，對數學“雙基”的表述是含糊的，但內容上是有所體現的，比如“重要數學知識”可理解為“數學基礎知識”、“必要的應用技能”可理解為“數學基本技能”。

2011 年，《義務教育數學課程標準》修訂稿頒布，課程總體目標第一條調整為：“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”［3］

2022年，《義務教育數學課程標準》再次修訂頒布，課程總體目標第一條表述為：“獲得適應未來生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”［4］不難發現，2011 年和2022 年兩次數學課程標準的修訂，都明確了數學“雙基”的提法。可見，在義務教育數學課程改革不斷推進的浪潮中，數學“雙基”的地位非但沒有下降，反而逐漸清晰且穩固。這當然是不難理解的，因為“歷史經驗告訴我們，什么時候加強雙基，教學質量就提高；什么時候削弱雙基，教學質量就下降”［5］。確實，現實中不可能存在不談質量的教學，質量是教學的生命。由此可見，“雙基”在數學教學中的重要性。

在小學數學例題教學中，引導學生經歷數學知識的發生、發展過程，理解數學技能的原理和操作，這自然是落實數學“雙基”不可或缺的環節，但數學“雙基”的落實僅靠例題教學是遠遠不夠的。數學“雙基”的真正有效落實，依靠的是習題教學。這也表達出一個觀點，習題教學一個最基礎、最被人認可的、無法替代的功能，便是可以鞏固學生的數學基礎知識和基本技能。

例如，在教學“質數與合數”中，教師通過例題引導學生經歷知識的探究過程，理解并總結出質數與合數這兩個數學概念。那么，總結出數學概念是不是就意味著對“質數與合數”的教學已經完成了呢？當然不是。雖然數學教學重視理解，但并不是說僅憑例題教學的理解就夠了。雖然數學教學反對死記硬背，但不是說數學就不用記和背，只是不用“死記”和“硬背”。因此，在總結出質數與合數的概念之后，還需要開展相關的跟進教學，幫助學生進一步理解和掌握新概念，這便是習題教學。

常規的，也是較為有效的做法，在總結出質數與合數的概念之后，教師會安排類似下面這樣一道習題的練習。

判斷下面各數：哪些是質數？哪些是合數？

2，12，13，36，57，67，81，97，0。

這樣的習題看上去非常簡單，但是千萬不要小看這樣的簡單習題，因為學生對質數與合數概念的真正掌握——能否運用質數與合數的概念正確判斷一個數是質數還是合數（注意：學習質數與合數的目的不是為了知道它們的概念，而是為了能根據概念判斷出一個數是質數還是合數），就是在這樣的習題教學中實現的。這是因為學生通過例題學習總結出質數與合數這兩個概念時，他們對質數與合數的認知只是達到初步理解的層面，此時這兩個概念尚未進入到學生大腦的長時記憶中。因此，如果在例題教學之后對質數與合數的教學就此停止的話，那么學生對這兩個剛剛習得的數學概念將會很快出現一定程度的遺忘，這自然就難以真正掌握了。

上述論斷的理論依據是人類記憶遺忘曲線。德國心理學家艾賓浩斯研究發現：“記憶的保持和記憶內容擱置的時間存在一定的規律。詳細說來就是，在學習材料達到第一次無誤復現之后的最近幾小時里，遺忘速度是最快的，隨著時間的推移，遺忘的比例會越來越少。”［6］艾賓浩斯的這一發現，可用具體的量化數據來說明（見表1）。

表1 時間間隔與記憶保持量關系表

上表中的量化數據，艾賓浩斯是以無意義音節為記憶材料開展研究測試后得出的。之后，艾賓浩斯改變了記憶材料（有意義材料）進行研究測試，數據略有變化，但差別不大。艾賓浩斯的這個研究發現，后來被許多心理學、教育學等方面的教科書引用，稱為“艾賓浩斯記憶保持曲線”或“艾賓浩斯遺忘曲線”（見圖1）。

圖1 艾賓浩斯遺忘曲線

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們：遺忘在學習之后立即開始，且遺忘的進程并不是均勻的，最初遺忘速度很快，以后逐漸緩慢，即呈現出先快后慢的趨勢。比如，剛剛記憶完畢之后的20 分鐘，要遺忘約40%的量，而這20 分鐘的遺忘量，差不多是接下來一個月的遺忘量。

現在回到“質數與合數”的教學，就不難相信學生對知識掌握僅靠例題是不可能實現的了。特別是，艾賓浩斯的研究測試是在“達到第一次無誤復現”的背景下開始的。如上面所講的“質數與合數”教學，指學生已經能夠準確無誤地復述質數與合數的概念。但是，上面所講的例題教學尚處于剛剛總結出質數與合數概念的階段，還未達到準確無誤的復述層次。因此，可以想象完成例題教學后，不及時跟進習題教學，學生接下來的遺忘會更加嚴重。

在這樣的背景下，再來看上面“質數與合數”例題教學之后的那道習題，就更能發現它在此時對學生學習質數與合數所起到的重要作用。比如，學生要判斷2 是質數還是合數，就要經歷以下的思考過程：第一步，回憶質數與合數的概念，知道判斷一個數是質數還是合數要看這個數的因數個數；第二步，找出2 的因數，發現2 的因數只有1 和它本身兩個；第三步，根據“質數只有1 和它本身兩個因數”，判定2是質數。以上將判斷2是質數的思考過程以“慢鏡頭”的方式分成了三步，能夠清楚地看到這個過程實際上是借“判斷”之名，鞏固學生對質數與合數概念的理解和記憶。當學生將這道題中的9 個數依次判斷一遍，實際上就是對質數與合數的概念重復理解和記憶了9次。

由此可見，教學上面這道簡單習題的價值有兩個：一是在重復中幫助學生鞏固對質數與合數概念的理解與記憶，實現真正掌握；二是對一些數是質數還是合數進行重復判斷，加深學生對某些數是質數還是合數的記憶，逐漸形成直覺。比如2，學生以后看到這個數時，就可以直接判斷其是質數。

以上習題教學及其價值，正如單墫教授所言：“數學書中有不少公式、法則、定義、定理，這些都不需要死記硬背，而是要通過解題逐步的理解、掌握。”［7］可見，習題教學中的解題常常只是一種手段，是“醉翁之意不在酒”，其真正的“意”是鞏固知識、掌握技能（此中含有一定的解題技能）、拓展知識、發展思維等。所以，這樣的習題看似簡單，實則非常重要，是鞏固學生數學基礎知識和基本技能不可或缺的內容，其背后蘊含著重要的教與學的理論。

當然，就“質數與合數”的教學而言，僅靠上面這樣一道習題的教學就想讓學生真正實現對質數與合數的掌握還是不行的，后續還需要有不同形式的習題跟進。這樣的習題跟進不僅課堂上有，課外也要有，比如回家作業等。

綜上所述，落實數學“雙基”是數學教學的根本任務，習題教學是完成這個任務的最佳路徑。

二、落實數學“雙基”的現實意義

在小學數學教學中落實“雙基”，很重要的目標是使學生能正確、熟練地運用知識、技能解決問題，以及更好地開展后續學習。對落實數學“雙基”中要達成“正確”這個目標，大家一致認可，沒有異議。然而，對落實數學“雙基”中要達成“熟練”這個目標，卻存在著一定的爭議。比如，曾經有人問我：“一年級小朋友對20 以內的加減法口算有必要做到脫口而出的熟練程度嗎？這樣熟練的意義到底何在？”

確實，隨著課程改革的不斷深入，特別是素質教育、核心素養這樣更具時代意義和未來發展理念的教學目標越來越多地被認可之后，開始出現對“熟能生巧”這一古訓不一樣的看法，并有很多人提出了“熟能生笨”的說法。“熟”何以能生“笨”？對此，不少學者專家有自己的看法。比如，李士锜教授在《熟能生笨嗎？》一文中對“熟能生笨”給出這樣的解讀：“‘熟能生笨’中的‘熟’主要是指‘常規的操作性練習’，也可指‘大運動量’解題訓練，而‘笨’則是指缺少創造性能力，也指缺乏理解力。”［8］仲海峰老師在《熟能生巧 亦能生笨》一文中指出：“有些事情，做多了，掌握了做事的技巧，我們自然會得心應手地運用這樣的技巧快速去做。于是，我們也懶得再去思考為什么要這么做。再后來，就漸漸淡忘了做事方法背后的道理。這樣帶來的問題就是：當我們遇到一點點變化、困難，就顯得毫無辦法，手足無措。”［9］這兩位老師對“熟能生笨”中的“笨”的理解是不謀而合的，大致意思是大量訓練使學生熟練之后，會形成一定的思維定式，進而導致不能靈活應對變化，缺乏一定的創造性。

不可否認，熟練（特別是過于熟練）之后，對知識的運用確實在一定程度上存在著如上述這樣的弊端。可“熟能生巧”中的“巧”也是值得商榷的，即熟練了并不一定能生“巧”。但是，總體來說，就小學數學教學而言，落實數學“雙基”，使學生對數學知識和技能的運用達到熟練的程度，其利遠遠大于弊。

（一）落實“雙基”：熟練促進長時記憶

研究證明，人有兩種主要的記憶：一種是被稱為短時記憶的暫時性記憶；一種是被稱為長時記憶的永久性記憶。信息被人感知后，不可能一下子就成為長時記憶，而是要先經過短時記憶。短時記憶又可進一步分為瞬時記憶和工作記憶。相關研究指出，工作記憶有兩個主要功能：其一，作為感覺登記和長時記憶之間的緩沖器；其二，作為信息進入長時記憶的加工器。“短時記憶中的信息經過復述后進入長時記憶。”［10］

腦成像研究指出，在復述過程中，或者從根本上說，在長時記憶形成過程中額葉有很高的參與度（工作記憶就在額葉區）。研究還顯示，“在較長的復述過程中，額葉的激活量決定了項目是被存儲還是被遺忘。”［11］這也就是說，數學知識從學生的短時記憶進入長時記憶，必須經過重復（復述），且需要一定量、持續一段時間的重復，否則很容易從短時記憶中消失，即遺忘。

例如，上述“質數與合數”例題教學之后的習題教學，便可理解為教師組織學生對知識的重復過程（見圖2）。

圖2 數學習題教學中的記憶重復過程

圖2 中，外部信息就是習題的要求，工作記憶就是學生的解題過程，也就是記憶重復的過程。經歷這個記憶重復的過程，學生對質數與合數的概念就會熟練起來，由此有可能進入到長時記憶中。之所以此時說“有可能”，是因為僅靠一道習題的教學，其實很難讓學生馬上將質數與合數的概念變成長時記憶。因此，圖2 中從工作記憶到長時記憶的“存儲”用虛線箭頭表示，即并非一定。研究表明，處于工作記憶中的知識，可以保留幾分鐘、幾小時不等，也有保留幾天的可能性。這個結論，顯然與艾賓浩斯遺忘曲線是一致的。在工作記憶和長時記憶之間還有一個名為“提取”的箭頭，這是因為學生在工作記憶中進行質數與合數判斷時，還需要從自己的長時記憶中提取一些相關知識來幫助判斷，比如因數的知識等。

如前文所述，在“質數與合數”的習題教學中，不可能僅僅開展一道習題的教學，后續還會安排一定量的習題。這樣通過一次次的習題教學，使學生一次次重復記憶。行動中學生表現為對這一知識的運用在不斷熟練，本質上是該知識進入了學生的長時記憶中。

（二）落實“雙基”：速度贏得效率

前文已經提到，“雙基”教學是中國數學教育的主要特征。張奠宙教授領銜的團隊對“中國數學雙基教學”展開深入研究，提出“中國數學雙基教學”的理論特征，即記憶通向理解、速度贏得效率、嚴謹形成理性、重復依靠變式。其中，“速度贏得效率”理論認為“只有把基本的運算和基礎的思考，化為‘直覺’，能夠不假思索地進行條件反射，才能贏得時間去做更高級的數學思維活動”［12］。由此可見，能熟練運用知識不僅體現在速度上，更是進行高階學習的基礎性保障。

繼續以上述“質數與合數”例題教學之后的那道習題為例。在這道習題中有一個數是57，那么，學生到底是怎樣判斷57 是質數還是合數的呢？我們來分析一下：第一，判斷一個數是質數還是合數，要看這個數的因數個數。因此，學生要會找57 的因數，如此方能正確做出判斷。第二，57 除了1 和本身兩個因數，還有因數3 和19。學生可以用3 的倍數的特征找到因數3（從判斷質數與合數的角度講，并不需要找到因數19），也可以直接用除法（即57÷3=19）找到3 和19 這兩個因數。第三，根據57的因數個數，結合質數與合數的概念，判斷57 是合數。所以，要正確判斷57 是合數，學生要用到“找一個數的因數”的知識。在運用“找一個數的因數”這一知識過程中，還要用到“3 的倍數的特征”或“除法”這些知識。進一步，如果運用“3 的倍數的特征”這一知識，就需要用到“5+7=12”和“3×4=12”這些知識做出判斷，確定57是3的倍數。

在上述分析中，當看到“5+7=12”和“3×4=12”時，大家可能會感覺有點荒誕。這是因為我們對“5+7=12”和“3×4=12”已經化為“直覺”，是不假思索的條件反射。也就是說，當想到運用“3 的倍數的特征”時，看到57 的一瞬間，就已經知道這個數是3 的倍數了。這，就是熟練帶來的速度。試想，假如一個學生對“5+7=12”和“3×4=12”還需要慢慢思考得出的話，那么他的學習一定很累。同理，如果一個學生在找57 的因數時，不是用“3 的倍數的特征”進行判斷，而是用57÷3 進行計算，那么他的速度相比之下也會慢一點。這也進一步說明了數學教材中的知識采用螺旋上升、環環相扣的編排方式。唯有把每一環上的數學知識、技能教扎實了，學生后續的數學學習才能順利起來。同時，這也可以作為對“一年級小朋友對20 以內的加減法口算有必要做到脫口而出的熟練程度嗎？這樣熟練的意義到底何在？”問題的回答。

由此可見，讓學生熟練運用數學知識和技能解決問題，用速度贏得效率，在義務教育階段是非常重要的教學任務。要完成這個教學任務，唯有讓學生多多練習。因此，習題教學任重而道遠。

（三）落實“雙基”：“熟能生巧”的學習精神

其實，不管“熟”是否真的能生“巧”或“笨”，“熟能生巧”依然是我們經常用到的一個成語。比如在教學中，當學生能熟練運用所學知識解決問題時，我們會用熟能生巧來表揚他；當學生在學習中出現懶散的態度時，我們會用熟能生巧來激勵他。這說明在現實生活中，熟能生巧已經不僅僅作為學習從“熟”到“巧”的一種方式，更成為大家勉勵刻苦學習的一種精神。

綜上所述，熟練本身沒有錯，熟練對數學學習而言一定是有益的。在小學數學以落實“雙基”為目標的習題教學中，熟能生巧中的“巧”或許不應該理解為“訣竅”之類的發現，而應理解為因熟練帶來的速度和正確，這樣理解會更為貼切。當然，也要注意形成熟練的方式與途徑，“題海戰術”、大量的機械練習已不適應學生的數學學習。

義務教育屬于基礎教育，其目的就是要為學生今后的學習和生活打下基礎。義務教育階段的數學“雙基”，“是整個數學的‘基樁’，必須打得堅實，形成條件反射，熟練得成為直覺”。

綜上所述，小學數學習題教學具有鞏固學生基礎知識和基本技能的重要功能。