基于增強型龍格庫塔優化算法的跳頻序列設計

張毅恒, 劉以安, 宋海凌

(1. 江南大學人工智能與計算機學院,江蘇 無錫 214122; 2.海軍研究院 北京 100161)

0 引言

隨著電子對抗技術的發展,干擾技術愈發成熟,使得無線電信號越來越容易被非法接收機干擾、測向和截獲。跳頻技術以其優秀的抗干擾性能和多址組網性能在軍用雷達、民用移動通信、激光雷達等電子信息系統中得到了重要應用[1-3]。跳頻序列(FHS)作為控制載波頻率跳變的關鍵,其性能與跳頻系統的性能直接相關,因此,設計性能良好的跳頻序列一直以來是國內外學者研究的重點。

理想的跳頻序列應具有良好的性能指標,如漢明相關性、復雜度、均勻性、平均跳頻間隔等。傳統跳頻序列使用分圓法[4-5]、中國剩余定理[6-7]、m序列[8-9]等方法設計,僅能滿足漢明相關性最低。而使用混沌系統[10]、改進祖沖之算法[11]設計跳頻序列,雖然提高了復雜度,但無法保證均勻性等其他指標。

針對此局限性,許多研究者使用啟發式優化算法設計跳頻序列:文獻[12]利用粒子群優化算法對三維混沌系統的加權因子進行優化,但參與優化的指標較少;文獻[13]利用粒子群優化算法對組合跳變隨機平移(CHRS)方法的初始值進行優化,但產生的跳頻序列受制于混沌序列的性能,不能充分尋優;文獻[14]基于平均干擾功率、均勻性、漢明自相關性和跳頻增益構建優化模型,利用改進灰狼算法得到跳頻序列,但其目標函數只能針對固定干擾,且搜索精度不高。可見,目前關于跳頻序列設計的研究存在參與指標少、尋優性能不足的缺點。

近年來,涌現出許多具有較強尋優能力的啟發式優化算法。AHMADIANFAR等[15]于2021年提出龍格庫塔優化算法(RUN),該算法的主要思想是基于四階龍格庫塔法計算出斜率作為搜索方向,并基于強化個體質量機制建立種群的更新規則,具有數學理論基礎堅實、尋優能力強等優點。雖然RUN性能優秀,但作為一種啟發式優化算法,其在復雜問題上仍有易陷入局部最優、收斂速度慢的缺點。

針對以上問題,本文提出一種基于增強型RUN的跳頻序列設計方法,主要工作如下:1)考慮跳頻序列的多項性能指標,基于漢明相關性、復雜度、均勻性和平均跳頻間隔對跳頻序列設計進行建模,構建目標函數;2)對標準RUN做出改進,提出增強型龍格庫塔優化算法(ERUN),利用混沌反向學習來建立算法的初始種群,提高算法的尋優穩定性;3)基于二次插值法改進個體的更新方向,提高算法的收斂速度和尋優能力;4)基于自適應t分布對更新后的個體進行針對性擾動,幫助算法跳出局部最優;5)基于ERUN對跳頻序列設計模型進行優化,得到具有優秀性能指標的跳頻序列,降低跳頻系統在不同干擾環境中的誤碼率。

1 跳頻系統模型及跳頻序列設計模型

1.1 跳頻系統模型

設跳頻系統有q個頻點,頻點集為F={f0,f1,…,fq-1},跳頻序列長度為l,使用頻點集中頻點的跳頻序列S={s0,s1,…,sl-1}。

在發送端,經調制后的雙極性信號為a(t),假設使用根升余弦滾降濾波器對信號進行脈沖成型,發送信號可表示為:

(1)

其中:an為a(t)的第n個信息碼;g(t)為根升余弦滾降濾波器的沖激響應;TB為信息碼元寬度;fi為信號第i跳的載波頻率。

在加性高斯白噪聲(AWGN)信道傳輸中,存在加性高斯白噪聲n(t)和干擾信號J(t),進入接收機的信號可表示為:

r(t)=s(t)+n(t)+J(t)

(2)

在接收端,使用與發送端相同的跳頻序列控制頻率跳變產生共軛信號,并與接收信號混頻,得到解跳后的信號r′(t):

r′(t)=(s(t)+n(t)+J(t))e-j2πfit=

(3)

其中:n′(t)和J′(t)分別為經過混頻后的加性高斯白噪聲分量和干擾信號分量。

對解跳后的信號進行匹配濾波后,噪聲分量和干擾信號分量就不再是有效的中頻信號,雜散頻率被濾除,從而減小了噪聲和干擾的影響。

1.2 跳頻序列性能指標

跳頻序列的漢明相關性表征了序列內頻點發生碰撞的次數。對單個跳頻序列而言,其漢明自相關值越小,抗干擾性能越強。基于不同時延τ,跳頻序列的漢明自相關值HS(τ)和最大漢明自相關值H(S)為:

(4)

H(S)=max{HS(τ)},1≤τ

(5)

在式(4)中,i+τ為模l運算,并且h(si,si+τ)為:

(6)

理想的跳頻序列應具有盡可能高的復雜度,以提高跳頻序列的抗截獲能力和破譯難度。跳頻序列復雜度通常使用模糊熵、近似熵等熵值來度量[16-17]。散布熵[18]作為度量序列復雜度的新方法,具有計算速度快和兼顧幅值間關系的優點。跳頻序列S在嵌入維數為m、類數為c、時延為d時的散布熵如下:

DE(S,m,c,d)=

(7)

其中:p(πv0v1…vm-1)為每種散布模式的概率。本文取m=2、c=4、d=1。

性能良好的跳頻序列,各頻點在單周期中出現的次數應基本相同,以降低受到干擾的概率。跳頻序列的均勻性δ如下:

(8)

其中:ni為頻點fi在單周期內出現的次數。δ越小,序列的均勻性越好。

平均跳頻間隔是指所有相鄰2次跳頻頻率間隔的平均值,跳頻序列應具有盡可能大的平均跳頻間隔,以提高抗跟蹤干擾的能力。跳頻序列的平均跳頻間隔定義為:

(9)

其中:i+1為模l運算。

1.3 跳頻序列設計模型

傳統的跳頻序列設計方法往往以某單一指標作為設計目標,未考慮各指標間的相互影響,導致跳頻序列的各指標之間難以權衡取舍。為兼顧各項指標,本文根據最大漢明自相關性、復雜度、均勻性、平均跳頻間隔這4項指標,利用加權法構建目標函數,旨在建立適用于啟發式優化算法的跳頻序列設計模型。

首先,將各指標轉化為最小化指標并歸一化:

(10)

(11)

(12)

其中:ΔF=Fmax-Fmin,Fmax與Fmin分別表示頻點集中最大頻點與最小頻點。

構建目標函數為:

(13)

模糊層次分析法基于層次分析法,通過添加模糊數學理論對目標指標進行模糊評價,能夠降低評價過程中的主觀隨意性[19]。定義模糊判斷矩陣R如表1所示,其中,A1～A4分別表示最大漢明自相關性、復雜度、均勻性與平均跳頻間隔這4項指標。

表1 模糊評價判斷矩陣Table 1 Fuzzy evaluation judgment matrix

根據模糊層次分析法得到權重ω1、ω2、ω3、ω4,將其代入到目標函數,使用啟發式優化算法按目標函數進行尋優即可得到跳頻序列。

2 基于增強型龍格庫塔優化算法的跳頻序列設計

2.1 龍格庫塔優化算法

2.1.1 基于四階龍格庫塔法的個體更新

在個體更新中,RUN基于由四階龍格庫塔法得到的領導搜索因子進行更新,如下:

(14)

其中:方向因子r是一個值為1或-1的整數;g是一個[0,2]內的隨機數;μ=0.5+0.1randn;randn是一個正態分布的隨機數;Xp為勘探領導者;Xm為開發領導者;SF為平衡因子;SM為領導搜索因子。

領導搜索因子SM通過四階龍格庫塔法計算:

(15)

XRK=k1+2k2+2k3+k4

(16)

(17)

uXb+rand2k1ΔX)

(18)

(19)

uXb+rand2k3ΔX)

(20)

其中:rand1和rand2是[0,1]內的2個隨機數;隨機參數u=round(1+rand)(1-rand);ΔX為位置增量;Xb為附近最優個體;Xw為附近最差個體。

位置增量ΔX如下:

ΔX=2rand|Step|

(21)

Step=rand(Xb-randXavg+γ)

(22)

(23)

其中:Step為步長參數;Xavg為全部個體的平均;ub、lb為搜索上限和下限;i為當前迭代次數;iMax為最大迭代次數。

假設搜索問題為最小化問題,Xb和Xw可通過如下邏輯確定:

iff(Xn)

Xb=Xn

Xw=Xbi

else

Xb=Xbi

Xw=Xn

end

(24)

其中:f(Xn)和f(Xbi)分別為Xn和Xbi的適應度值;Xbi為3個隨機個體XA、XB、XC中的最優個體。

領導者如下:

Xp=φXn+(1-φ)XA

(25)

Xm=φXbest+(1-φ)Xlbest

(26)

其中:φ是一個[0,1]內的隨機數;Xbest是迄今為止的最優個體,Xlbest是該次迭代最優個體。

平衡因子SF如下:

(27)

其中:p和q為控制參數。

2.1.2 個體質量增強(ESQ)

為了提高個體質量,防止算法陷入局部最優,RUN使用個體質量增強對更新后的個體進行質量增強:

ifrand<0.5

ifω<1

Xnew2=Xnew1+

r′ω|(Xnew1-X′avg)+randn|

else

Xnew2=(Xnew1-X′avg)+

end

end

(28)

(29)

(30)

Xnew1=φX′avg+(1-φ)Xbest

(31)

其中:r′為取值為1、0或-1的隨機數;φ為[0,1]內的隨機數;g=5rand;α和u′為[0,2]內的隨機數。

若無法產生更好的個體,即f(Xnew2)>f(Xn),則再進行一次新的個體創建,如下所示:

ifrand<ω

Xnew3=Xnew2-randXnew2+

SF(randXRK+vXb-Xnew2)

end

(32)

其中:v=2rand。

2.2 增強型龍格庫塔優化算法

2.2.1 混沌反向學習機制

由于RUN是隨機創建初始種群的,若初始種群的搜索范圍過小,會降低算法的收斂速度和穩定性。反向學習機制(OBL)[20]能夠提高初始個體的質量,加快收斂速度。然而,隨機初始個體的反向個體質量不一定夠好。因此,提出混沌反向學習機制,先使用Tent混沌映射提高初始個體的多樣性,再使用反向學習機制得到質量更好的初始個體。

基于Tent混沌映射能夠生成均勻分布搜索空間的初始種群,相較于Logistics混沌映射具有更好的均勻性和更快的迭代速度[21]。Tent序列如下所示:

(33)

根據Tent序列在搜索空間中生成初始個體Xi(Xi,1,Xi,2,…,Xi,D):

Xi,j=lbj+(ubj-lbj)xj

(34)

其中:lbj和ubj分別為第j維的下界與上界,j=1,2,…,D。

經過Tent映射得到的個體,其對應的反向個體X′i為:

X′i,j=lbj+ubj-Xi,j

(35)

計算初始個體與反向個體的適應度,將其中最優的N個作為初始種群,從而提高初始種群的質量。

2.2.2 二次插值法

二次插值法是一種局部開發方法,其基本思想是在搜索區域中用3個已知點去擬合一條二次曲線,基于二次曲線極值點來獲得近似函數最優解。目前,二次插值法已被應用于黑寡婦蜘蛛優化算法[22]、正弦余弦算法[23]等算法的改進中,能夠有效提高收斂速度和尋優精度。

RUN個體更新中最關鍵的是斜率的計算,而Xbi決定了斜率的方向。因此,將產生Xbi的XA(a1,a2,…,aD)、XB(b1,b2,…,bD)、XC(c1,c2,…,cD)作為參與二次插值的3個點,基于二次插值法得到改進個體:

(36)

其中:i=1,2,…,D。

利用改進個體X′bi來確定Xb和Xw,使得SM有更優的前進方向,從而提高算法的收斂速度和尋優精度。

2.2.3 自適應t分布擾動

個體進行強化的概率是固定的,對不同個體的針對性不足,容易出現無效擾動。本文采用自適應t分布對個體進行擾動,并基于個體適應度采取不同的擾動策略。

t分布又稱學生分布,其曲線形態與自由度參數m有關:當m=1時,t分布為柯西分布;當m為無窮大時,t分布為高斯分布,如圖1所示。

圖1 不同分布的概率密度曲線Fig.1 Probability density curves of different distributions

對于個體Xn,基于自適應t分布的擾動如下:

X′n=Xn+Xnt(iter)

(37)

其中:X′n為擾動后個體;t(iter)為以迭代次數iter為自由度的t分布。在迭代前期,t分布近似柯西分布,其概率密度在0處的峰值較小,因此對個體的擾動較為強烈,能夠幫助個體跳出局部最優;在迭代后期,t分布近似高斯分布,其概率密度在0處的峰值較大,因此對個體的擾動較為平緩,能夠幫助個體快速收斂。

對擾動后個體基于貪婪原則進行選擇:

(38)

為提高擾動針對性,基于個體適應度對個體擾動做出區分。若個體適應度比種群平均適應度低,說明該個體具備搜索潛力,對其進行自適應t分布擾動,以便個體在其附近跳動;若個體適應度比種群平均適應度高,說明該個體不具備搜索潛力,對其進行質量增強,以便在搜索空間生成新個體。個體的擾動策略可表示為:

(39)

2.2.4 時間復雜度分析

設種群規模為N、維度為D、最大迭代次數為M。RUN主要包括初始化、個體更新、個體質量增強步驟,時間復雜度為TRUN=O(2N+2N2+M×(3N+N2+32))。在ERUN中:初始化時間復雜度為T1=O(4N+4N2);在個體更新階段,基于二次插值法得到新個體并計算其適應度,再進行個體更新,時間復雜度為T2=O(M×(3N+N2));在擾動階段,自適應t分布擾動與ESQ時間復雜度一致,T3=O(M×2N)。因此,ERUN總的復雜度為TERUN=O(4N+4N2+M×(5N+N2))。可見,ERUN的時間復雜度在數量級上與RUN保持一致。

2.3 基于ERUN的跳頻序列設計流程

一般情況下,頻點由跳頻系統的工作帶寬和跳頻間隔決定,使用跳頻間隔對整個工作帶寬進行劃分,得到多個區間,即窄帶,每個窄帶對應一個頻點。在ERUN中,種群個體與跳頻序列一一對應,在個體更新時使用連續變量,在計算適應度時將連續變量根據對應的區間轉化為頻點。

基于ERUN的跳頻序列設計流程如圖2所示,執行步驟如下:

圖2 基于ERUN的跳頻序列設計流程Fig.2 Frequency-hopping sequence design process based on ERUN

輸入跳頻系統工作帶寬fmin～fmax,跳頻系統頻點集F={f0,f1,…,fq-1},跳頻序列長度l

輸出跳頻序列

步驟1初始化種群數量N、最大迭代次數Maxit。令維度D=l,下限lb=fmin,上限ub=fmax,將[lb,ub]劃分為q個區間,分別對應q個頻點。

步驟2利用Tent混沌映射得到N個個體,根據反向學習得到對應的反向個體。計算所有個體的適應度,選取最優的N個作為初始種群。

步驟3隨機選擇3個個體,根據式(36)得到改進個體X′bi,進而得到SM,根據式(14)更新個體位置。

步驟4計算當前種群平均適應度,根據式(39)對個體進行自適應t分布擾動或ESQ。

步驟5判斷迭代次數是否達到最大迭代次數,若滿足要求,則執行步驟6,否則返回步驟3。

步驟6根據最優個體得到跳頻序列。

3 實驗分析

3.1 ERUN性能測試

為了驗證ERUN的尋優性能,選取文獻[15]中的部分測試函數,包括3個單峰函數f1、f3、f5和3個多峰函數f10、f12、f13。開發環境為Matlab 2020b,運行環境為Windows 10(64位)操作系統,CPU為Intel?CoreTMi7-9750H,主頻為2.6 GHz,計算機內存大小為16 GB。

選擇RUN、量子龍格庫塔優化算法(QRUN)[24]、結合黏菌學習的龍格庫塔優化算法(MSRUN)[25]、改進龍格庫塔優化算法(MRUN)[26]、ERUN進行測試。各優化算法的參數同原文,種群規模為30,迭代次數為500次,重復30次實驗,統計最優值、均值與標準差,如表2所示,收斂曲線如圖3～圖8所示。

圖3 f1收斂曲線對比Fig.3 Comparison of f1 convergence curves

圖4 f3收斂曲線對比Fig.4 Comparison of f3 convergence curves

圖5 f5收斂曲線對比Fig.5 Comparison of f5 convergence curves

圖6 f10收斂曲線對比Fig.6 Comparison of f10 convergence curves

圖7 f12收斂曲線對比Fig.7 Comparison of f12 convergence curves

圖8 f13收斂曲線對比Fig.8 Comparison of f13 convergence curves

表2 測試函數優化結果Table 2 Test function optimization results

在單峰函數上,ERUN在f1、f3、f5上均能穩定收斂到最優值,且相較于MSRUN,ERUN收斂曲線更為合理,收斂速度更快;在多峰函數上,ERUN在f12上尋優精度更好,在f10、f13上與其他算法尋優精度相同,但收斂速度更快。綜上所述,在同樣的測試環境下,ERUN相較于RUN及其3種變體,具有更高的尋優精度和更快的收斂速度。

3.2 跳頻過程分析

在某軍用跳頻通信設備中,信息脈沖共32位,脈寬為0.5 μs,采樣頻率為200 MHz,上采樣倍數為100倍。在滾降濾波器中,碼元速率為0.5 MHz,基帶濾波采樣速率為2 MHz,滾降參數R=0.22。跳頻系統1個碼元調頻2次,故跳頻序列長度為64。跳頻范圍為3～35 MHz,跳頻間隔為1 MHz,故劃分為32個頻點。過程分析中的干擾以阻塞式調幅干擾為例。

根據目標函數進行尋優,定義種群規模為30,最大迭代次數為500次,收斂曲線如圖9所示。可見,相較于其他算法,ERUN在目標函數上具有更高的尋優精度,且在150次迭代時基本收斂,具有較快的收斂速度。

圖9 目標函數收斂曲線對比Fig.9 Comparison of objective function convergence curves

在發送端,首先將數字信號調制為雙極性信號,如圖10所示;然后進行上采樣,使用根升余弦滾降濾波進行脈沖成型,如圖11所示;最后按照ERUN得到的最優跳頻序列進行載頻,作為發射信號,如圖12所示。

圖10 雙極性信號Fig.10 Bipolar signal

圖11 經脈沖成型后的信號波形Fig.11 Signal waveform after pulse-shaping

圖12 經跳頻后的信號波形Fig.12 Signal waveform after frequency hopping

在接收端,首先從信道中接收到受干擾信號,如圖13所示,可見信號受干擾嚴重,干擾信號已完全覆蓋發送信號;然后對接收信號按照相同跳頻序列進行混頻解跳,如圖14所示,由于干擾頻率與序列中的頻點不對應,因此解跳后信號中的干擾被抑制,幅度發生變化;最后將解跳信號進行匹配濾波,再進行下采樣,如圖15所示,匹配濾波后的雙極性信號雖然幅度發生了改變,但可以通過正負關系得到數字信號,實現數據的正常接收。

圖13 接收信號波形Fig.13 Received signal waveform

圖14 經解跳后的信號波形Fig.14 Signal waveform after de-hopping

圖15 經匹配濾波后的接收信號Fig.15 Received signal after matched filtering

綜上所述,本文方法設計的跳頻序列能夠在跳頻系統中有效應用。

3.3 抗干擾效果對比

設定發送次數均為20 000次,干擾信噪比均為-6 dB,建立多種干擾環境,包括:S1(調幅調頻干擾),S2(調相干擾),S3(前半段為調幅干擾,后半段為調頻干擾),S4(前半段為調幅干擾,后半段為調相干擾)。計算不同跳頻序列在不同干擾環境中的誤碼率,如表3所示。可以看出:文獻[9]方法僅考慮漢明相關性,誤碼率較高;文獻[11]方法以提升復雜度為目標,誤碼率較文獻[9]方法沒有明顯差別;文獻[12]方法使用混沌系統,跳頻序列的誤碼率較傳統方法高,但差距不大;文獻[14]方法在干擾不變時展現出了較強的抗干擾能力,但由于其目標函數是針對固定干擾的,干擾類型一旦變化,誤碼率就會大幅上升;本文方法不僅在固定干擾環境中具有較低誤碼率,而且在干擾變化的環境中仍保持了較低誤碼率,展現出了在不同干擾環境下較強的抗干擾能力。

表3 不同跳頻序列在多種干擾環境下的誤碼率Table 3 The bit error rate of different frequency hopping sequences in various jamming environments %

3.4 跳頻序列性能分析

為詳細分析不同設計方法的跳頻序列性能和尋優速度,選擇文獻[9,11-12,14]中的設計方法進行對比,跳頻系統參數同上文,優化算法最大迭代次數為500次,共有參數保持一致。計算各跳頻序列的最大漢明自相關性、散布熵、均勻性、平均跳頻間隔和基本收斂時的迭代次數,如表4所示。根據Lempel-Greenberger界[27],跳頻序列的漢明自相關性值下界為2。文獻[9]方法跳頻序列基于抽取m序列設計,能夠使漢明自相關性值達到下界,但在其他參數上沒有進行優化;文獻[11]方法基于改進祖沖之算法,跳頻序列漢明相關性和復雜度較好,但均勻性和跳頻間隔較差;文獻[12]方法跳頻序列以優化復雜度為目標,因此復雜度較優,但其他各項指標較差;文獻[14]跳頻序列雖然均勻性和平均跳頻間隔較好,但復雜度較差,且收斂速度較慢;相較于其他設計方法,本文設計的跳頻序列最大漢明自相關性值能夠達到下界,具有更好的性能指標和較快的收斂速度。

表4 不同跳頻序列的評價指標Table 4 Evaluation indices for different frequency hopping sequences

4 結束語

本文對跳頻序列的設計問題進行了深入研究。首先,提出利用漢明相關性、復雜度、均勻性、平均跳頻間隔作為評價指標,構建目標函數,建立跳頻序列優化模型。然后,引入龍格庫塔優化算法,基于混沌反向學習機制、二次插值法和自適應t分布擾動,提出增強型龍格庫塔優化算法。改進后的算法相較于RUN的幾個最新變體,在測試函數和實際問題上具有優勢。最后,利用增強型龍格庫塔優化算法對跳頻序列模型進行優化,將得到的跳頻序列用于跳頻抗干擾中,取得了較好的效果。隨著未來啟發式優化算法性能的進一步提升,可在跳頻序列設計模型中加入更多性能指標,以提高跳頻系統在復雜干擾環境下的抗干擾能力。