關注圖像信息 探尋解題思路

文／王文慧

數學中考題對于函數的考查往往聚焦于函數的圖像。我們可以通過對函數圖像的直觀想象，邏輯推理，挖掘出更多的內涵條件，進而解決綜合型、應用型的函數問題。下面以2023 年江蘇省泰州市的中考題為例，談談如何關注圖像信息，解決問題。

某公司的化工產品成本為30 元/千克。銷售部門規定：一次性銷售1000 千克以內時，以50 元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000 千克時，每增加1千克降價0.01 元?？紤]到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750 千克時，均以某一固定價格銷售。一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數關系如圖1所示。

圖1

（1）當一次性銷售800 千克時，利潤為多少元？

（2）求一次性銷售量在1000～1750kg之間時的最大利潤；

（3）當一次性銷售多少千克時，利潤為22100元？

【分析】本題考查了一次函數和二次函數的實際應用。圖像反映了一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數關系，呈現出三段不同的函數。因此，我們在解決問題時要關注不同范圍內的銷售利潤和銷售量之間的關系，注意分類討論。

解：（1）當x=800 時，y=800×（50-30）=16000。

∴當一次性銷售800 千克時，利潤為16000元。

（2）設一次性銷售量在1000～1750kg之間時，每千克商品銷售利潤為50-30-0.01·（x-1000）=-0.01x+30。

∴y=x（-0.01x+30）=-0.01x2+30x

=-0.01（x-1500）2+22500。

∵-0.01＜0，1000≤x≤1750，

∴當x=1500 時，y有最大值，最大值為22500。

∴一次性銷售量在1000～1750kg之間時的最大利潤為22500元。

（3）①當一次性銷售量在1000～1750kg之間時，利潤為22100元，

∴-0.01（x-1500）2+22500=22100。

解得x1=1700，x2=1300。

②當一次性銷售不低于1750kg 時，均以某一固定價格銷售，設此時函數表達式為y=kx（k≠0）。

由（2）知，當x=1750時，y=-0.01（1750-1500）2+22500=21875。

∴B（1750，21875）。

將點B（1750，21875）代入y=kx，得k=12.5。

∴y=12.5x。

當y=22100時，22100=12.5x。

解得x=1768。

綜上，當一次性銷售1300kg 或1700kg或1768kg時，利潤為22100元。

【點評】如圖2，在解決函數的應用這一類問題時，我們應結合題目條件和函數圖像所給信息，將實際問題轉化為數學問題，并建立函數模型，通過解決函數問題進而解決實際問題。在此過程中，應充分借助模型思想，增強應用意識。

圖2

對于函數類問題，同學們只要充分關注函數圖像信息，認真分析，與題意整合，關聯，充分挖掘題目中的條件，相信一定能水到渠成。