注重代數推理 掌握函數本質

文／康葉紅

推理是思維的基本形式之一，代數推理常與代數思維緊密聯系，即從一定的條件出發，依據代數定義、代數公式、運算法則、運算律、等式的性質、不等式的性質等，以推理論證得到具體數和代數式結構，或數量上的相等關系和不等關系等。本文將和大家一起來領略函數中的代數推理。

一、化生疏為熟悉——等價轉化

在解答代數推理問題時，我們應通過對條件與結論的分析，等價轉化，逐步變形，化繁為簡，以尋求到代數推理的突破口。

例1已知，求證：當x＞0時，y1≥y2。

【分析】比較兩個函數值的大小，可以從“形”的角度結合圖像思考，亦可從“數”的角度結合作差法思考。

例2已知二次函數y=（x-m）（xm-2）（m為常數），求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

【分析】要判斷函數的圖像與x軸公共點的個數，可以轉化為分析一元二次方程的根的情況。

證明：令y=0，則（x-m）（x-m-2）=0。

∴x1=m，x2=m+2。

∵m≠m+2，

∴該方程有兩個不相等的實數根。

∴不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

【總結】等價轉化是解決函數問題的主要手段，通過恒等變形向目標結構或關系轉化，化生疏為熟悉。遇到比較大小的問題，考慮用作差法，通過因式分解實現；遇到分析與坐標軸公共點個數的問題，考慮轉化為一元二次方程來解決。

二、逐個擊破——分類討論

在研究數學問題時，依據具體問題背景、情形，或根據數學對象本質屬性的異同，將對象區分為不同種類，然后逐類進行分析，這就是分類討論思想的運用。

例3已知函數求證：在每一個象限內，y隨x的增大而減小。

【分析】反比例函數的圖像是雙曲線，有兩支，因此，我們要對“在每一個象限內”的圖像進行分析，需要分類討論，分為當x＜0時和當x＞0時。

證明：在函數圖像上任意取兩點A、B，設A（x1，y1），B（x2，y2）。

當x＜0 時，不妨設x1＜x2＜0，則y2-

因為x1＜x2＜0，所 以x1x2＞0，x1-x2＜0。因此，即y2-y1＜0，y2＜y1。所以，當x＜0 時，y隨x的增大而減小。

同理可證，當x＞0 時，y也是隨x的增大而減小。

【總結】在解決以函數為載體的代數推理問題時，依據具體問題來分類討論，通過作差法比較大小，逐類進行研究，推理過程簡潔明了，可促進思維的有序生長。

三、執果索因——逆向分析

代數推理，一般從題目中的已知條件和結論出發，結合推理論證，逐步分析得到若干中間結論，執果索因，不斷推理。

例4點A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數y=x2+4x-5 圖像上的兩點。若x1+x2=2，求證：y1+y2＞0。

【分析】從結論進行分析，要證明y1+y2＞0，有兩個思考方向：（1）涉及y1、y2兩個量，可以考慮消元法；（2）涉及二次不等式的證明，可以考慮配方法，利用完全平方式的非負性和不等式的基本性質解決。

證明：∵點A（x1，y1）、B（x2，y2）是y=x2+4x-5圖像上的兩點，

∴y1=x12+4x1-5，y2=x22+4x2-5。

∵x1+x2=2，

∴x2=2-x1。

∴y1+y2=x12+4x1-5+（2-x1）2+4（2-x1）-5=2x12-4x1+2=2（x1-1）2。

∵x1+x2=2，x1≠x2，

∴x1≠1。

∴2（x1-1）2＞0。

∴y1+y2＞0。

【總結】要證明結論成立，我們可以從結論出發，由結論聯想需知，再從條件出發，由已知聯想可知，再由可知進一步聯想、組合聯想需知，實現解題的完整路徑。此外，我們在解決多元問題時，可以利用消元法將之轉化為一元問題來解決；解決二次多項式問題時，可以利用配方法，結合不等式的基本性質來解決。

四、洞察結構——構造函數

在解決代數推理問題時，我們還可以通過構造新函數將問題轉化，有助于促進思維的縱向生長，將函數問題的本質認識上升到新高度。

例5已知函數y=-x2+（m-1）x+m（m為常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像的 頂點都在 函數y=（x+1）2的圖像上。

（2）當-2≤m≤3時，求證：該函數的圖像的頂點縱坐標z的取值范圍是0≤z≤4。

【分析】想要求函數的圖像的頂點縱坐標z的取值范圍，可以把z看成關于m的二次函數，再根據二次函數的性質求出最大值和最小值即可。

所以，不論m為何值，該函數的圖像的頂點都在函數y=（x+1）2的圖像上。

（2）設函數z=。

當m=-1時，z有最小值0。

當-2≤m＜-1 時，z隨m的增大而減小；當-1＜m≤3時，z隨m的增大而增大。

所以，當-2≤m≤3 時，該函數的圖像的頂點縱坐標z的取值范圍是0≤z≤4。

【總結】我們在解答問題時，應認真分析函數結構后構造新函數，如把頂點縱坐標z看成關于m的二次函數，深入挖掘函數問題的內涵特征，揭示本質。這樣的數學眼光正如智者的最高境界——“看山還是山，看水還是水”。