破解分數應用題的三把“密鑰”

□周清麗

孩子數學交“白卷”為哪般

期末測評，五年級的犇犇數學又掛了“紅燈”。爸爸拿過試卷后發現，凡是分數應用題，試卷上全是空白。爸爸的火氣騰一下就上來了：“這些題為什么都沒有做？”

犇：“不會！”

爸：“為什么不會？”

犇：“不會就是不會，要知道為什么不就會了？”

爸：“你還犟嘴，考前給你講了那么多分數應用題，你就一點兒渣沒掛住？”

犇：“掛住了，但是你講的那些題一道都沒考，試卷上這些題一道沒做過。”

爸：“沒做過，你不會用腦子想一想？”

犇：“想了，還是不會。”

爸：……

犇犇這種情況并非個例。這樣的孩子之所以交“白卷”，是因為平時不動腦筋，遇到難題就等大人輔導，給出現成答案。到了考場上遇見“熟臉題”，他們會憑借記憶列式，倘若碰見“生臉題”，只能束手無策，像犇犇一樣“交白卷”了。

輔導，顧名思義就是輔助引導。孩子是作業的主體，家長輔導的意義，不在于“魚”——給孩子現成答案，讓他們“聽明白”，而在于“漁”——從方向、方法上引導孩子動腦，讓他們自己“想明白”。

破解分數應用題的三把“密鑰”

分數應用題是小學數學應用題的一大難點。但難點都是相對的，有三把“密鑰”可以破解。家長輔導時，只要讓孩子握住這三把“密鑰”，再難的分數應用題也會“迎刃而解”。

密鑰一：建模型。什么是模型？簡單地說，模型就是一類事物的模樣。比如，牛馬羊是動物的模型，自行車、汽車、火車是車的模型。模型在現實中并不存在，是人抽象思維的結果。就小學數學而言，數學模型就是依據事物中的數量關系建立起來的數學關系式，“可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑。”比如，行程問題的模型：距離=速度×時間；工程問題模型：工程量=工作效率×時間。分數應用題模型：分數=部分/整體，或寫成：分數=部分÷整體。

有人說，這不就是一個公式嗎？對，公式就是人們俗稱的數學模型。之所以叫模型，是因為這個公式中的兩個量——“部分”與“整體”，不是現成的，需要人運用數學思維進行數學抽象才能得來。

例1：小紅從圖書館借了一本書共200 頁，第一天看了80頁，占全書的2/5。

在這個問題中，整體是全書共200頁，部分是第一天讀了80頁，分數是80÷200=2/5。

例2：光明畜牧場養了900 頭肉牛，養了3600 頭奶牛，肉牛占奶牛的1/4。

在這個問題中，整體是奶牛的數量3600 頭，部分則成了肉牛的數量900 頭，分數是肉牛數量占奶牛數量的比例900÷3600=1/4。

由例1 和例2 不難看出，數學里的“部分”和“整體”，可以指一個事物，也可以指兩個或多個事物，但最終的“分數”，不是比較事物本身，而是事物背后的數量。

小結：解分數應用題，腦中首先要抽象出哪些是“整體”，哪些是“部分”，這是解決問題的前提。

密鑰二：定類型。由分數模型：分數=部分÷整體，我們可以得出兩個變式模型：部分=整體×分數；整體=部分÷分數。

現實中，不管問題有多么復雜，都可以歸結為以下這三種基本類型。

一是求分數：求一個數是另一個數的幾分之幾，用除法。

二是求部分：求一個數的幾分之幾是多少，用乘法。

三是求整體：已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用除法。

例3：五年級有男生20 人，女生25 人，男生人數是女生人數的幾分之幾？

分析：已知“部分”是男生20 人，“整體”是女生25人，求分數，用除法。

解：分數=部分÷整體=20/25=4/5。

例4：小紅從圖書館借了一本書共200 頁，第一天看了全書的2/5，看了多少頁？

分析：已知“整體”是全書共200 頁，“分數”是2/5，求部分，用乘法。

解：部分=整體×分數=200×2/5=80（頁）。

例5：光明畜牧場養了900 頭肉牛，是奶牛數量的1/4，奶牛有多少頭？

分析：已知“部分”是奶牛900 頭，“分數”是1/4，求整體，用除法。

解：整體=部分÷分數=900÷1/4=3600（頭）。

小結：不管多復雜的分數應用題，都是在這三種基本類型上發展或綜合而成的。“整體”“部分”“分數”三個量，給出其中兩個，求其中一個，只要弄清楚三個量分別指的是什么，已知什么，然后就可以套公式了。

密鑰三：找分數。通過對前面的例題進行分析，我們不難看出，分數模型中，分數的分子和分母分別對應著“部分”和“整體”，也就是整體平均分成了幾份（分母），部分占幾份（分子）。這樣，在比較復雜的分數應用題中，找出對應分數，就成為解題的關鍵。

例6：小紅從圖書館借了一本書，第一天看了全書的2/5,還剩120頁，這本書共多少頁？

分析：已知“部分”剩余120頁，已經看過的分數是2/5，求整體。

在這個問題中，如果直接套用模型，整體=部分÷分數=120÷2/5=300，那就錯了。因為這里的2/5 是看過的，而120 頁是剩下的，二者并不對應。所以，要找出與“120頁部分”相對應的分數才行。根據分數的意義，我們知道“整體1”就是整本書的頁數，看過了2/5，剩下沒看的當然就是1-2/5=3/5 了。這時我們再套用模型公式就可以了。

解：整體=部分÷分數=120÷3/5=200（頁）。

列成綜合算式就是：120÷（1-2/5）=120÷3/5=200（頁）。

小結：“部分”與“分數”一定要對應才行，如果不對應，就利用“整體1”找出對應部分。

如果問題比較復雜，可以借助線段圖找出對應分數。

例7：果園里有棗樹280 棵，比梨樹棵數的3/5 多10 棵，兩種樹一共有多少棵?

分析：第一層，要求兩種樹一共多棵，先要知道兩種樹各自有多少，現在已知棗樹280棵，只要再求出梨樹有多少就行了。第二層，這個題就轉向了求梨樹的數量，轉成了分數應用題——使用密鑰一：建模型。第三層次，部分是棗樹，整體是梨樹，這個問題就轉成了知道部分求整體——使用密鑰二：定類型。現在只要使用密鑰三，找出對應分數就行了。

棗樹280 棵，棗樹比梨樹的3/5 多10 棵。這個分數比較復雜，我們可以借助線段圖來尋找。

第1 步：先畫出一條線段當作“整體梨樹”，將“整體1”平均分成5份。第2步：比照著梨樹的分數畫出3份棗樹，因為棗樹比這3份還多10棵，然后再向后延伸一小段，當作10棵。這樣，數量關系就一目了然了：

3/5表示的“部分”是280-10=270（棵）。

這樣，梨樹棵樹（整體）=270÷3/5=450（棵），最后，兩種樹的棵樹=280+450=730（棵）。

列成總合算式就是：280+（280-10）÷3/5=730（棵）。

家長輔導孩子解分數應用題，不是列出式子給他們“講明白”，而是要引領他們手握“建模型”“定類型”“找分數”這三把密鑰自己去打開數學思維的大門，借助線段圖，明析數量的整體和部分，找出和分數對應的“部分”，就可以用“不變”的分數應用題模型，解決“萬變”的分數應用題。