一類隨機SWEIA艾滋病毒傳播模型的動力學分析

馬怡婷 張太雷 鄧金超

摘 要：研究了一類具有隨機效應的SWEIA艾滋病毒傳播模型.首先，通過構造Lyapunov函數證明了確定性模型平衡點的全局漸近穩定性，利用停頓理論等方法證明了隨機模型正解的全局存在唯一性與有界性；其次，分析了隨機模型的解在相應確定性模型的無病平衡點與地方病平衡點附近的震蕩行為，并得到了隨機模型解的平均持續與滅絕性的充分條件；最后，通過數值模擬進一步顯示了模型的動力學行為.

關鍵詞：隨機模型；It?公式；震蕩行為；持久性；滅絕性

中圖分類號：O175.1文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2024）02-0041-10

艾滋病（AIDS）是一種對人類健康危害極大的傳染病，它由人類免疫缺陷病毒（HIV）引起，通過大規模破壞人免疫系統中最重要的CD4-T淋巴細胞，使免疫功能失控，從而喪失抵御疾病的能力.因此，人體易感染各種慢性疾病，引發并發癥，并能導致惡性腫瘤，疾病的死亡率較高^［1］.國內外的多個學者對HIV/AIDS的傳播規律進行了深入研究^［2-3］.SHOFIANAH等^［4］討論了具有垂直傳播與治療且具有兩個潛伏期的HIV/AIDS傳染病模型的最優控制問題，利用Pontryagin原理，得到了以最小的控制成本減少感染/癥狀亞群數量的最有效控制.MARSUDI等^［5］研究了一類確定性的HIV/AIDS模型，得到了各類平衡點的全局穩定性，并對參數進行敏感性分析，結果表明：無癥狀感染者（艾滋病前期）與易感者的有效接觸率對HIV/AID的傳播影響最大.但是在現實中，由于環境多變，生物會受到各類隨機因素的干擾，且大多數問題都具有不確定性，確定性的傳染病模型很難做到對實際情況進行具體描述.因此，學者們開始重視隨機數學模型^［6-9］，并取得了很大進展^［10-12］.KHAN等^［13］考慮了具有隨機擾動和時滯的冠狀病毒流行模型，研究結果表明：布朗運動與噪聲項對流行病傳播的影響非常高，若噪聲很大，疾病可能會減少或消失.HOU等^［14］提出了一類隨機SIHR的 COVID-19流行模型，數值分析了傳播速率、噪聲強度等參數對疾病傳播的影響，并得到結果：在忽視環境噪聲影響的情況下，確定性模型的閾值水平被高估.文獻［15］研究了確定性的SWEIA艾滋病毒傳播模型：

為更好地描述HIV傳播的動力學行為，在文獻［15］的基礎上引入隨機擾動因素，建立具有隨機擾動的SWEIA艾滋病毒傳播模型.

1 模型建立

2 全局正解的存在與唯一性與有界性

3 隨機模型（2）的解在無病平衡點附近的漸近行為

4 隨機模型（2）的解在地方病平衡點附近的漸近行為

5 平均持續性

6 隨機滅絕性

注 定理7表明，當R₀＞1時，確定性模型（1）的艾滋病還在流行，但隨機模型（2）的艾滋病已經滅絕，說明強噪聲可以使疾病滅絕.

7 數值模擬

利用MATLAB模擬確定性模型與隨機模型（2）的解曲線，比較二者解的漸近行為之間的差異.取初值（S（0），W（0），E（0），I（0），A（0））=（1.4，0.9，0.5，0.5，0.5）.

（1）分別取參數Λ=1，μ=0.5，β₁=0.05，β₂=0.1，β₃=0.2，σ=0.3，α=0.1，γ=0.2，ρ=0.3，σ₁=0.01，σ₂=0.1，σ₃=0.1，σ₄=0.1，σ₅=0.1，此時R₀＜1，且滿足定理4的條件，模擬結果如圖1（a-d）所示.其他參數不變，取σ₁=0.1，σ₂=0.5，σ₃=5.0，σ₄=0.5，σ₅=0.5，滿足定理4的條件，模擬結果如圖1（e-h）所示.從圖1可看到，隨機模型（2）與確定性模型（1）均收斂于P⁰，且震蕩幅度與σ_i（i=1，2，…，5）相關.

（2）分別取參數Λ=0.4，μ=0.1，β₁=0.1，β₂=0.3，β₃=0.4，σ=0.1，α=0.05，γ=0.2，ρ=0.25，σ₁=0.005，σ₂=0.004，σ₃=0.005，σ₄=0.004，σ₅=0.003，此時R₀＞1，模擬結果如圖2（a-d）所示.其他參數不變，取σ₁=0.05，σ₂=0.04，σ₃=0.05，σ₄=0.04，σ₅=0.03，模擬結果如圖2（e-h）所示.從圖2可觀察到隨機模型（2）與確定性模型（1）均收斂于P^*，且隨機模型（2）的解圍繞P^*做隨機震蕩.震蕩幅度與σ_i（i=1，2，…，5）成正比.

（3）分別取參數Λ=1，μ=0.1，β₁=0.01，β₂=0.02，β₃=0.05，σ=0.3，α=0.1，γ=0.2，ρ=0.4，σ₁=0.005，σ₂=1.5，σ₃=1.3，σ₄=1.5，σ₅=0.8，此時R₀＞1.取M=m₂，θ₁=1.2，θ₂=1.0，滿足定理7的條件，得到圖3.從圖3中可以看出，此時雖確定性模型的解仍在地方病平衡點處穩定，但隨機模型（2）中的艾滋病已經滅絕，由此可知，當隨機干擾強度足夠大時，可以導致W（t），E（t），I（t）滅絕.

8 結 論

本文首先研究了具有隨機效應的SWEIA艾滋病毒傳播模型，得到了確定性模型（1）平衡點的全局漸近穩定性與隨機模型（2）正解的全局存在唯一性與有界性.其次，討論了當R₀＜1時，隨機模型（2）的解在相應確定性模型的無病平衡點附近擾動，且擾動程度與σ_i（i=1，2，…，5）相關；當R₀＞1時，隨機模型（2）的解在相應確定性模型的地方病平衡點附近擾動，且擾動程度與σ_i（i=1，2，…，5）成正比.之后，分析了艾滋病傳播的滅絕趨勢，進而可以控制隨機模型（2）中相應參數的大小，達到控制艾滋病傳播的效果.最后，通過數值模擬驗證了理論結果.

參 考 文 獻

［1］王楚雯，胡穎，侯穎.廣西壯族自治區艾滋病模型及預測分析［J］.檢驗檢疫學刊，2020，30（2）：6-9.

WANG C W，HU Y，HOU Y.Modeling and predictive analysis of AIDs in Guangxi Zhuang autonomous reigion［J］.Journal of Inspection and Quarantine，2020，30（2）：6-9.

［2］WU P，ZHAO H Y.Mathematical analysis of an age-structured HIV/AIDS epidemic model with HAART and spatial diffusion［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2021，60：103289.

［3］張婷，張太雷.一類具有VCT意識的HIV/AIDS傳染病模型［J］.重慶理工大學學報（自然科學），2022，36（4）：254-261.

ZHANG T，ZHANG T L.A class of HIV/AIDS epidemic model with VCT awareness［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2022，36（4）：254-261.

［4］SHOFIANAH N，FITRI S，TRISILOWATI，et al.Optimal control of HIV/AIDS epidemic model with two latent stages，vertical transmission and treatment［J］.Journal of Physics：Conference Series，2020，1562（1）：012017.

［5］MARSUDI，TRISILOWATI，SURYANTO A，et al.Global stability and optimal control of an HIV/AIDS epidemic model with behavioral change and treatment［J］.Engineering Letters，2021，29（2）：575-591.

［6］BARDINA X，FERRANTE M，ROVIRA C.A stochastic epidemic model of COVID-19 disease［J］.AIMS Mathematics，2020，5（6）：7661-7677.

［7］RAZA A，RAFIQ M，BALEANU D，et al.Competitive numerical analysis for stochastic HIV/AIDS epidemic model in a two-sex population［J］.IET Systems Biology，2019，13（6）：305-315.

［8］張啟敏，曹博強，牟曉潔.具有信息干預的隨機SIRS傳染病模型正解的存在性與滅絕性［J］.河南師范大學學報（自然科學版），2018，46（4）：1-7.

ZHANG Q M，CAO B Q，MU X J.The existence of positive solution and extinction of a stochastic SIRS epidemic model with information intervention［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2018，46（4）：1-7.

［9］RIFHAT R，TENG Z D，WANG C X.Extinction and persistence of a stochastic SIRV epidemic model with nonlinear incidence rate［J］.Advances in Difference Equations，2021，2021（1）：1-21.

［10］ZHANG Y H，MA X S，DIN A.Stationary distribution and extinction of a stochastic SEIQ epidemic model with a general incidence function and temporary immunity［J］.AIMS Mathematics，2021，6（11）：12359-12378.

［11］郭曉霞，孫樹林.混合隨機SIR傳染病模型的動力學分析［J］.系統科學與數學，2022，42（4）：992-1010.

GUO X X，SUN S L.Dynamic analysis of a hybrid stochastic SIR epidemic model［J］.Journal of Systems Science and Mathematical Sciences，2022，42（4）：992-1010.

［12］胡瑞，黃立冬，李榮庭，等.一類潛伏期與染病期均具有傳染性的隨機傳染病模型［J］.云南民族大學學報（自然科學版），2022，31（2）：213-220.

HU R，HUANG L D，LI R T，et al.A stochastic epidemic model with infectivity in both incubation period and infection period［J］.Journal of Yunnan Minzu University（Natural Sciences Edition），2022，31（2）：213-220.

［13］KHAN A，IKRAM R，DIN A，et al.Stochastic COVID-19 SEIQ epidemic model with time-delay［J］.Results in Physics，2021，30：104775.

［14］HOU T F，LAN G J，YUAN S L，et al.Threshold dynamics of a stochastic SIHR epidemic model of COVID-19 with general population-size dependent contact rate［J］.Mathematical Biosciences and Engineering，2022，19（4）：4217-4236.

［15］龔道遠，李智明，張宇翔，等.SWEIA艾滋病毒傳染模型及應用［J］.數學的實踐與認識，2017，47（6）：170-179.

GONG D Y，LI Z M，ZHANG Y X，et al.SWEIA HIV/AIDS epidemic model and application［J］.Mathematics in Practice and Theory，2017，47（6）：170-179.

Dynamic analysis of an SWEIA HIV infection model with stochastic effects

Ma Yiting， Zhang Tailei， Deng Jinchao

（School of Science， Chang'an University， Xi'an 710064， China）

Abstract： An SWEIA HIV epidemic model with stochastic effects is studied. Firstly， the global asymptotic stability of the equilibrium of the deterministic model is proved by constructing Lyapunov function， and the global existence， uniqueness， and boundedness of the positive solution of the stochastic model are proved by using stopping time theory. Secondly， the oscillation behavior of the solution of the stochastic model around the disease-free equilibrium and endemic equilibrium of the corresponding deterministic model is analyzed， and the sufficient conditions for the mean persistence and extinction of the solution of the stochastic model are obtained. Finally， the numerical simulation further shows the dynamic behavior of the model.

Keywords： stochastic model; It? formula; oscillating behavior; persistence; extinction

［責任編校 陳留院 趙曉華］