在“讀圖”中探尋函數(shù)“風(fēng)景”

文／孫德萍

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)且重要的模型。其中，一次函數(shù)的應(yīng)用常借助函數(shù)圖像獲取信息，用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)、方程、不等式等綜合運(yùn)用的問(wèn)題。同學(xué)們只有學(xué)會(huì)讀圖，才能領(lǐng)略函數(shù)中更美麗的“風(fēng)景”。

一、讀懂圖像中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)

例1一輛貨車(chē)和一輛轎車(chē)先后從甲地出發(fā)，沿一條筆直的公路勻速開(kāi)往乙地。圖1 中的線段OA和線段BC分別表示貨車(chē)和轎車(chē)離甲地的距離y（km）與貨車(chē)出發(fā)時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系。

圖1

（1）轎車(chē)出發(fā)時(shí)，兩車(chē)相距_____km；

（2）若轎車(chē)比貨車(chē)提前0.6小時(shí)到達(dá)乙地，求線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及a的值；

（3）若轎車(chē)出發(fā)1.6h后，與貨車(chē)的距離小于12km，寫(xiě)出轎車(chē)速度v的取值范圍。

【分析】橫軸表示貨車(chē)出發(fā)的時(shí)間，縱軸表示它們離甲地（出發(fā)地）的距離。除此之外，我們還要讀懂圖中三個(gè)已知數(shù)據(jù)，即300km，5h，1.4h 所表示的實(shí)際意義。

解：（1）由圖像可知A（5，300），可得貨車(chē)速度是300÷5=60（km/h）。所以轎車(chē)出發(fā)時(shí)，兩車(chē)相距60×1.4=84（km）。

（2）由題意可知C（4.4，300），設(shè)線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b。

將C（4.4，300）、B（1.4，0）代入，

所以線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=100x-140。

由圖像可知，a小時(shí)轎車(chē)追上貨車(chē)，所以100a-140=60a。解得a=3.5。

（3）由題意可知，

解得105＜v＜120。所以轎車(chē)速度v的取值范圍是105＜v＜120。

【小貼士】如何求圖像中交點(diǎn)的坐標(biāo)呢？既可以基于兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式建立方程組進(jìn)行求解，也可以直接理解實(shí)際意義，利用算術(shù)方法求解。

二、抓住圖像中關(guān)鍵的點(diǎn)

例2甲、乙兩地相距40km，一輛慢車(chē)和一輛快車(chē)先后從甲地出發(fā)沿同一直道勻速前往乙地。慢車(chē)先出發(fā)，行駛一段時(shí)間后停車(chē)休息，待快車(chē)追上后立即以原速度勻速行駛，直至到達(dá)乙地。快車(chē)比慢車(chē)晚20min 出發(fā)，始終保持勻速行駛，且比慢車(chē)提前到達(dá)乙地。兩車(chē)之間的距離y（單位：km）與慢車(chē)的行駛時(shí)間x（單位：min）之間的部分函數(shù)圖像如圖2 所示。請(qǐng)結(jié)合圖像解決下面的問(wèn)題：

圖2

（1）慢車(chē)的速度為_(kāi)_______km/min，快車(chē)的速度為_(kāi)_______km/min；

（2）請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖像。

【分析】橫軸表示慢車(chē)行駛的時(shí)間，縱軸表示兩車(chē)之間的距離。圖中有三個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)，即點(diǎn)A（20，10）、B（30，5）、C。后面的圖像還有兩個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)，分別是快車(chē)到達(dá)乙地和慢車(chē)到達(dá)乙地。

解：（1）慢車(chē)20min 行駛10km，故慢車(chē)的速度為10÷20=0.5（km/min）；快車(chē)的速度為（30×0.5-5）÷（30-20）=1（km/min）。

（2）補(bǔ)全圖像如圖3。

圖3

【小貼士】對(duì)于一次函數(shù)應(yīng)用中的行程問(wèn)題，我們可以畫(huà)線性示意圖來(lái)理解題意，將所給的函數(shù)圖像與其表示的實(shí)際意義聯(lián)系起來(lái)，弄清每一階段中的路程、速度和時(shí)間，分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，理解折線中各關(guān)鍵點(diǎn)的實(shí)際意義，從中得到正確的信息，從而分析和解決問(wèn)題。