采用模糊補償滑模控制器的空間柔性機械臂振動抑制方法

尚東陽, 李小彭, 尹 猛, 李凡杰, 周賽男

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 沈陽 110819; 2. 中國科學院深圳先進技術(shù)研究院, 廣東 深圳 518055)

隨著機器人技術(shù)的不斷發(fā)展,機械臂已經(jīng)在航空航天領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。空間機械臂的提出和應(yīng)用可以協(xié)助宇航員更加便利地開展艙外檢修任務(wù)。隨著空間機械臂結(jié)構(gòu)尺寸的增大,更多的空間機械臂可以實現(xiàn)飛行器的捕捉與釋放。關(guān)于空間機械臂的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果。太空機器臂技術(shù)出現(xiàn)于20世紀80年代,其中最具代表性的機器臂是SPAR Aerospace開發(fā)的SSRMS機械臂[1],該機械臂應(yīng)用于國際空間站。除了SSRMS機械臂外,典型的空間機械臂還包括Robot Technology Experiment[2]、Engineering Test Satellite-VII[3]等。由于火箭發(fā)射成本和運載能力的限制,空間機械臂均具有輕質(zhì)的特點。相比較于剛性機械臂,柔性機械臂具有輕質(zhì)、大操作范圍的優(yōu)勢。基于柔性機械臂的優(yōu)勢,文獻[4-5]將柔性機械臂應(yīng)用于空間站或者飛船提出了空間柔性機械臂的概念。空間柔性機械臂的長度可達十幾米以滿足較大的運動范圍和操作空間。空間柔性機械臂較大的操作空間且輕質(zhì)化的結(jié)構(gòu)材料意味著空間機械臂一般為細長結(jié)構(gòu),且必須采用密度、剛度較小的材料,這就會導致空間機械臂的桿件的彈性變形較為明顯。由此,空間柔性機械臂在運動過程中容易出現(xiàn)振動的現(xiàn)象。空間柔性機械臂的振動會影響操作精度甚至是空間站的飛行安全。因此,空間柔性機械臂的振動抑制研究對于空間機器人的發(fā)展具有重要的意義。

為了實現(xiàn)空間柔性機械臂的高精度控制,首先要建立精確的動力學模型。空間柔性機械臂動力學建模的難點在于非線性變形的描述。隨著研究的深入,柔性結(jié)構(gòu)的多維變形逐漸得到許多學者的關(guān)注。文獻[6]使用有限元法建立了考慮三維變形的柔性梁動力學方程。文獻[7]建立了考慮二維變形的水下柔性機械臂的動力學方程。在柔性結(jié)構(gòu)動力學建模過程中考慮的非線性因素越多,建模精度越高。文獻[8]認為柔性結(jié)構(gòu)可以等效為柔性梁模型。一般認為,柔性梁模型可以用歐拉-伯努利梁模型[9]和鐵木辛柯梁模型[10]表示。兩種梁模型的主要區(qū)別在于是否考慮剪切變形。此外,空間柔性機械臂轉(zhuǎn)動中受到的外界干擾同樣會加劇振動。文獻[11]使用LuGre模型描述外界干擾。雖然考慮多種非線性因素可以提高空間柔性機械臂的建模精度。但是所建立的空間柔性機械臂數(shù)學模型與真實的模型之間仍存在著建模誤差。這是因為在動力學建模中不可能考慮所有的非線性因素。此外,例如外界干擾模型中的參數(shù)會隨著環(huán)境發(fā)生改變。由此,在空間柔性機械臂的建模中無法準確地用數(shù)學表達式表征外界干擾。如何在空間柔性機械臂控制律的設(shè)計中補償建模誤差成為動力學和控制領(lǐng)域研究的熱點話題。

隨著空間機械臂技術(shù)的不斷發(fā)展,對于機械臂操作精度的要求不斷提高。要想實現(xiàn)空間柔性機械臂的高精度控制,需要將動力學模型的建模誤差予以考慮。隨著抗干擾控制策略和自適應(yīng)控制策略的成熟,許多學者使用這兩種控制策略提高空間機械臂的操作精度。文獻[12]使用擴張狀態(tài)觀測器提高空間機械臂的控制精度。文獻[13]提出了一種自適應(yīng)控制策略來控制自由漂浮空間機械臂的末端執(zhí)行器,從而減小了跟蹤誤差。經(jīng)典控制理論無法消除非線性因素對空間柔性機械臂的影響。此外,滑模控制在機器人控制領(lǐng)域得到了廣泛的使用。文獻[14]采用實時滑模控制策略對空間機械臂進行控制。隨著控制理論的發(fā)展,以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊規(guī)則為代表的智能控制方法可以在線辨識動力學模型的不確定成分。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊規(guī)則的萬能逼近特性非常適合于辨識因建模誤差引起的不確定成分。文獻[15]提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器來控制空間機械臂。文獻[16]提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在柔性機械臂中的應(yīng)用,并通過試驗證明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償?shù)挠行浴Ｒ虼?可以采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊規(guī)則來識別空間柔性機械臂動力學模型的建模誤差,并通過對建模誤差的補償來提高控制精度。

本文使用假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日原理建立了考慮非線性變形和外界干擾的空間柔性機械臂動力學模型。采用模糊規(guī)則識別空間柔性機械臂動力學模型的建模誤差。將模糊規(guī)則辨識的結(jié)果補償?shù)娇刂坡芍?以此提高驅(qū)動力矩的精度,進而保證空間柔性機械臂的轉(zhuǎn)動精度。本文的創(chuàng)新主要有兩個方面。第一個方面是在空間柔性機械臂的動力學建模過程中同時考慮縱向變形和橫向變形。相比較于文獻[17]所建立的柔性機械臂動力學模型,本文再考慮了柔性結(jié)構(gòu)的縱向變形,這極大地增加了柔性機械臂動力學建模的難度。第二個方面是提出一種模糊規(guī)則辨識的控制策略以提高空間柔性機械臂的轉(zhuǎn)動精度,進而減弱機械臂的振動。在控制律的設(shè)計上,使用模糊規(guī)則辨識補償建模誤差以提高控制精度。通過提高轉(zhuǎn)動精度的方式間接地減弱空間柔性機械臂的振動幅值。

1 空間柔性機械臂動力學建模

空間柔性機械臂可以安裝于空間站,如圖1(a)所示。空間機械臂中末端執(zhí)行器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量遠小于柔性旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu),由此可以認為執(zhí)行器和柔性結(jié)構(gòu)成為一個整體。空間柔性機械臂可以等效為由電機驅(qū)動的柔性結(jié)構(gòu),其等效模型如圖1(b)所示。在空間柔性機械臂轉(zhuǎn)動時,空間站處于相對穩(wěn)定的飛行狀態(tài)。在本文中忽略了空間站機動對于空間柔性機械臂的影響。為了便于建立動力學模型,本文將空間柔性機械臂等效為柔性梁模型。空間柔性機械臂的橫向變形表示為w(x,t);縱向變形表示為u(x,t)。空間柔性機械臂的物理參數(shù)表示如下:l表示長度;m表示質(zhì)量;EI表示抗彎剛度。空間柔性機械臂在驅(qū)動力矩Ta和干擾Mf作用下的轉(zhuǎn)角θ與固定坐標系XOY和隨動坐標系xOy之間的角度相一致。空間柔性機械臂在轉(zhuǎn)動過程中會出現(xiàn)橫向變形。根據(jù)文獻[18]可得到橫向變形的表達式,如式(1)所示

(a) 空間柔性機械臂假想圖

(b) 空間柔性機械臂等效模型圖圖1 空間柔性機械臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of space-flexible manipulator

(1)

式中:φi(x)為第i階模態(tài)函數(shù);ηi(t)為第i階模態(tài)坐標;?i為第i階模態(tài)函數(shù)特征根值。

根據(jù)文獻[19]可得橫向變形和縱向變形之間的耦合關(guān)系,如式(2)所示。

(2)

根據(jù)式(2)可得式(3)

(3)

根據(jù)式(3)可得到縱向變形的表達式,如式(4)所示

(4)

在獲得柔性結(jié)構(gòu)的縱向變形和橫向變形的表達式后可得到柔性結(jié)構(gòu)上任意一點在固定坐標系的位置如式(5)所示

(5)

式中:x為柔性結(jié)構(gòu)上任意一點的橫坐標;u(x,t)=u,w(x,t)=w。為了方便書寫,用“·”表示對時間t的偏導數(shù)。同理,用“′”表示對橫坐標x的偏導數(shù)。

根據(jù)式(5)可得到式(6)

(6)

根據(jù)式(6)可得到柔性結(jié)構(gòu)的動能,如式(7)所示

(7)

同理,可得到柔性結(jié)構(gòu)的勢能,如式(8)所示

(8)

根據(jù)拉格朗日動力學方程,可以得到式(9)

(9)

由于二階及高階模態(tài)對于柔性機械臂建模精度的影響十分有限。本文為了減少計算量,在建立動力學方程時僅考慮一階模態(tài)。將空間柔性機械臂的動能和勢能代入式(9)后可得到式(10)

(10a)

(10b)

式中,αi表示動力學模型的參數(shù),其表達式如附錄A所示。

式(10)即表示考慮二維變形的空間柔性機械臂的動力學方程。

如果忽略縱向變形,則柔性結(jié)構(gòu)上任意一點的位置如式(11)所示

(11)

根據(jù)式(11)可得到柔性結(jié)構(gòu)的動能,如式(12)所示

(12)

將式(12)所示的動能和式(8)所示的勢能代入式(9)中可得到式(13)

(13)

式(13)即表示僅考慮一維變形的動力學方程。

如果去除動力學方程中的非線性項,則可以得到式(14)

(14)

式(14)即表示去除非線性項所得到的動力學方程。

動力學方程中的外界干擾可以用LuGre模型表示,其表達式如式(15)所示

(15)

(16)

其中:Mc表示庫倫摩擦力矩;Ms表示靜摩擦力矩;θs表示Stribeck速度。

2 動力學建模精度分析

為了研究非線性項對于空間柔性機械臂建模精度的影響,選擇Damaren提出的單桿演算法作為柔性結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角和時間的變化函數(shù)[20],其表達式如式(17)所示

(17)

本文通過變形精度衡量動力學建模精度。采用角度相關(guān)法計算柔性結(jié)構(gòu)的變形。所謂的角度相關(guān)法指的是:首先忽略結(jié)構(gòu)的柔性因素,將柔性結(jié)構(gòu)認為是剛性結(jié)構(gòu)。然后根據(jù)剛性負載和轉(zhuǎn)角加速度計算所需的驅(qū)動力。最后將所計算的驅(qū)動力矩輸入空間柔性機械臂動力學模型,得到柔性結(jié)構(gòu)的變形,其計算流程圖如圖2所示。

圖2 基于角度相關(guān)法的柔性結(jié)構(gòu)變形計算流程Fig.2 Calculation flows of the flexible structure deformation based on angle correlation method

為了說明不同物理參數(shù)對于空間柔性機械臂變形的影響規(guī)律,本文分析不同柔性結(jié)構(gòu)長度和抗彎剛度對于變形的影響。根據(jù)式(10)、式(13)和式(14)可得到考慮二維變形、考慮一維變形、忽略耦合非線性項情況下柔性結(jié)構(gòu)的末端變形,如圖3所示。

(a) 柔性結(jié)構(gòu)變形分布圖

(b) 考慮一維因素的偏差

(c) 忽略非線性項的偏差圖3 柔性結(jié)構(gòu)的變形Fig.3 Deformation of flexible structure

根據(jù)圖3可知,在柔性結(jié)構(gòu)長度較小且抗彎剛度較大的情況下,耦合非線性項等對于變形量影響不大。但在柔性結(jié)構(gòu)長度較長且抗彎剛度較小的情況下,耦合非線性項對于變形量有很大的影響。一般認為考慮非線性因素越多,建模精度越高。因此,考慮二維變形的動力學模型具有較高的建模精度。根據(jù)圖3可知,去除非線性項的動力學模型獲得的變形分布與考慮二維變形的動力學模型所得到變形分布規(guī)律更為接近。由此可以說明,去除非線性項的動力學模型具有較高的建模精度。

3 模糊補償滑模控制策略

雖然去除非線性項的動力學模型便于計算且具有較高的建模精度,但是仍和真實的模型之間存在較大的建模誤差。本文通過模糊規(guī)則辨識、補償這種建模誤差,進而提高空間柔性機械臂的控制精度。

將式(14)所示的空間柔性機械臂的動力學方程寫成矩陣的形式,如式(18)所示

(18)

3.1 模糊規(guī)則的萬能逼近特性

(19)

式中:li=1,2,…,pi,i=1,2,…,n。模糊系統(tǒng)的輸出如式(20)所示

(20)

(21)

使用高斯函數(shù)作為隸屬度函數(shù),如圖4所示。

圖4 高斯隸屬度函數(shù)Fig.4 Gaussian membership function

本文使用模糊規(guī)則辨識不確定成分。根據(jù)式(21)辨識后的不確定成分可以寫成式(22)所示的形式。

(22)

經(jīng)過模糊規(guī)則辨識后的不確定成分和真實的不確定成分之間仍存在辨識誤差,如式(23)所示。

(23)

3.2 控制律和自適應(yīng)律的設(shè)計

定義滑模函數(shù)的表達式如式(24)所示

(24)

根據(jù)式(24)可以得到式(25)

(25)

根據(jù)式(18)和式(25)可得到式(26)

(26)

定義李雅普諾夫函數(shù),如式(27)所示

(27)

根據(jù)式(27)可得到式(28)

(28)

根據(jù)式(26)和式(28)可得到式(29)

(29)

空間柔性機械臂的控制律設(shè)計成如式(30)所示的形式

(30)

式中,KD和W表示控制律參數(shù)矩陣。

將式(30)代入式(29)后可得到式(31)

(31)

根據(jù)式(27)可得到式(32)

(32)

根據(jù)式(32)可得到式(33)

(33)

由此,根據(jù)式(33),式(31)可以寫成式(34)所示的形式

(34)

模糊規(guī)則的自適應(yīng)律設(shè)計成如式(35)所示的形式

(35)

式中,α為系數(shù)。

將式(35)代入式(34)可得到式(36)

(36)

將式(36)寫成式(37)所示的形式

(37)

(38)

對式(38)取極限可以得到式(39)

(39)

根據(jù)式(39)可知,V是有界,從而z和φ有界。因此,可以說明本文提出的控制律是能夠保證空間柔性機械臂穩(wěn)定的。使用模糊補償滑模控制策略的空間柔性機械臂的控制回路,如圖5所示。

(a) 模糊規(guī)則辨識不確定成分流程圖

(b) 詳細的控制回路圖5 基于模糊補償滑模控制策略的空間柔性機械臂控制回路Fig.5 Control loop of space-flexible manipulator based on fuzzy compensation sliding mode control strategy

4 仿真分析與樣機試驗

為了說明模糊補償滑模控制策略對于空間柔性機械臂轉(zhuǎn)動控制和振動抑制的有效性,本文開展了仿真和樣機控制試驗。首先搭建了模擬空間柔性機械臂的地面控制試驗平臺,如圖6所示。

圖6 模擬空間柔性機械臂的地面控制試驗平臺Fig.6 Ground control test platform simulating space-flexible manipulator

試驗平臺由伺服電機、套索傳動機構(gòu)、柔性梁、NI控制器、磁編碼器和加速度傳感器等組成。其中,伺服電機的型號為ASME-MRB。NI控制器由NI- Crio -9053模塊、NI-9401模塊和NI-9264模塊組成。控制力矩通過伺服電機傳遞到套索傳動機構(gòu),進而驅(qū)動柔性梁轉(zhuǎn)動。柔性梁的轉(zhuǎn)角信號由編碼器采集后傳輸?shù)絅I-9401模塊,然后進入控制程序。控制程序根據(jù)實時旋轉(zhuǎn)角度信號計算控制轉(zhuǎn)矩。NI-9264產(chǎn)生脈沖信號,實時調(diào)節(jié)伺服電機轉(zhuǎn)矩。柔性梁的加速度信號由DH311E型號的加速度傳感器測得。其中,樣機控制試驗平臺的控制原理如圖7所示。

圖7 樣機控制試驗平臺的控制原理圖Fig.7 Control schematic diagram of prototype control test platform

在仿真分析和樣機控制試驗中選擇兩組不同長度的柔性梁進行試驗,以此模擬不同長度的空間柔性機械臂。仿真分析和樣機控制試驗中試驗平臺的參數(shù)如表1所示。

表1 樣機控制試驗平臺參數(shù)Tab.1 Prototype control test platform parameters

4.1 數(shù)值仿真分析

本文通過數(shù)值仿真分析說明所提出的模糊補償控制策略的有效性。根據(jù)表1中的參數(shù)開展仿真分析試驗。在仿真試驗中空間柔性機械臂的期望轉(zhuǎn)速設(shè)置為單位正弦信號。分別以滑模控制策略(SMC)和模糊補償?shù)幕？刂撇呗?FC+SMC)開展仿真試驗。由此,可以得到兩種不同柔性結(jié)構(gòu)長度下的仿真結(jié)果,如圖8～10所示。其中,圖8表示轉(zhuǎn)角的仿真試驗結(jié)果;圖9表示轉(zhuǎn)速的仿真試驗結(jié)果;圖10表示柔性變形的仿真結(jié)果。

(a) 長度1工況下的轉(zhuǎn)角曲線

(b) 長度1工況下的轉(zhuǎn)角誤差曲線

(c) 長度2工況下的轉(zhuǎn)角曲線

(d) 長度2工況下的轉(zhuǎn)角誤差曲線圖8 轉(zhuǎn)角仿真試驗結(jié)果Fig.8 Simulink results of rotation angle

(a) 長度1工況下的轉(zhuǎn)速曲線

(b) 長度1工況下的轉(zhuǎn)速誤差曲線

(c) 長度2工況下的轉(zhuǎn)速曲線

(d) 長度2工況下的轉(zhuǎn)速誤差曲線圖9 轉(zhuǎn)速仿真試驗結(jié)果Fig.9 Simulink results of rotation speed

(a) 長度1工況下的變形曲線

(b) 長度2工況下的變形曲線圖10 變形仿真試驗結(jié)果Fig.10 Simulink results of deformation

根據(jù)圖8可知,兩種控制策略都可以使空間柔性機械臂實現(xiàn)穩(wěn)定的角度跟蹤。并且隨著柔性結(jié)構(gòu)長度的增大,轉(zhuǎn)角跟蹤誤差逐漸增大。但是,與滑模控制策略相比,模糊補償?shù)幕？刂撇呗跃哂懈〉霓D(zhuǎn)角跟蹤誤差。相似的,根據(jù)圖9可知,雖然兩種控制策略都能實現(xiàn)穩(wěn)定的轉(zhuǎn)速跟蹤,但是模糊補償?shù)幕？刂撇呗跃哂休^小的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差。在柔性結(jié)構(gòu)長度較短的工況下,模糊補償滑模控制策略的優(yōu)勢更加明顯。這是因為當柔性結(jié)構(gòu)長度較小時,受控對象的轉(zhuǎn)動慣量較小,外界干擾對于轉(zhuǎn)速的影響較大。而模糊補償?shù)目刂撇呗阅軌蛳饨绺蓴_的影響。由此,在柔性結(jié)構(gòu)長度較小的情況下,模糊補償控制策略的優(yōu)勢更加明顯。根據(jù)圖10可知,在兩種不同長度的工況下,模糊補償滑模控制策略能夠減弱變形的幅值。在長度1的工況下,模糊補償滑模控制策略能夠減弱變形曲線的波動。由此可知間接的說明,使用模糊補償滑模控制可以減弱柔性結(jié)構(gòu)的振動。

根據(jù)數(shù)值仿真試驗所獲得的結(jié)果可知,與滑模控制策略相比,模糊補償滑模控制策略可以大幅度地提高空間柔性機械臂的控制精度。空間柔性機械臂的振動抑制效果可以從變形的幅值和波動的減弱間接地體現(xiàn)出來。此外,模糊補償滑模控制策略通過減弱轉(zhuǎn)速的波動間接的抑制空間柔性機械臂的振動。

4.2 樣機控制試驗

根據(jù)表1中的參數(shù)設(shè)置物理樣機控制試驗平臺中柔性梁。分別使用模糊補償滑模控制策略和滑模控制策略開展控制試驗。與仿真試驗相同,柔性梁的期望轉(zhuǎn)速設(shè)置為正弦信號。利用安裝于柔性梁末端的加速度傳感器收集轉(zhuǎn)動過程中的加速度信號。由于柔性梁的振動幅值難以測量,本文使用加速度信號間接地表征振動強弱。物理樣機的試驗結(jié)果,如圖11和圖12所示。

(a) 轉(zhuǎn)角輸入輸出曲線

(b) 轉(zhuǎn)角跟蹤誤差曲線

(c) 加速度曲線

(d) 加速度分率分布圖11 長度1工況下試驗結(jié)果Fig.11 Test results under the condition of length 1

(a) 轉(zhuǎn)角輸入輸出曲線

(b) 轉(zhuǎn)角跟蹤誤差曲線

(c) 加速度曲線

(d) 加速度分率分布圖12 長度2工況下試驗結(jié)果Fig.12 Test results under the condition of length 2

根據(jù)圖11和圖12可知,隨著柔性梁長度的增加,轉(zhuǎn)角誤差和加速度信號的幅值逐漸增加。但是,模糊補償滑模控制策略卻可以有效地減弱柔性梁的跟蹤誤差和加速度幅值。此外,從圖11中加速度信號的傅里葉變換結(jié)果可以看出,柔性梁在旋轉(zhuǎn)過程中有兩個主要頻率。其中一個是主頻處于低頻區(qū)域與柔性梁旋轉(zhuǎn)頻率相對應(yīng),另一個主頻處于高頻區(qū)域與柔性梁的振動頻率相對應(yīng)。兩種不同的控制策略對柔性梁的頻率的影響有限。這表明模糊補償滑模控制策略可以在不改變運動特性的情況下提高柔性梁的運動精度。

為了更加清晰地說明模糊補償控制策略的優(yōu)勢,本文對轉(zhuǎn)角跟蹤誤差和加速度數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計學分析。由此可以得到跟蹤誤差和加速度信號的統(tǒng)計指標分布規(guī)律,如圖13所示。

(b) 加速度標準差指標圖13 試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計指標分布圖Fig.13 Test data statistical index distribution map

根據(jù)圖13可知,在兩種長度工況下,模糊補償滑模控制策略都具有最好的統(tǒng)計指標。相比較于滑模控制策略,模糊補償滑模策略可以使轉(zhuǎn)角跟蹤誤差絕對值的平均值下降17.86%、加速度的標準差下降31.90%。試驗數(shù)據(jù)的量化分析結(jié)果再一次的證明了滑模控制策略的有效性和優(yōu)勢。

綜上,根據(jù)數(shù)值仿真分析和樣機控制試驗說明了模糊補償滑模控制策略可以有效地提高空間柔性機械臂的轉(zhuǎn)角控制的精度。進而減弱振動。

5 結(jié) 論

本文以空間柔性機械臂為研究對象,建立了考慮二維變形和外界干擾的動力學模型。采用模糊補償滑模控制策略提高空間柔性機械臂的轉(zhuǎn)動精度,進而減弱振動。模糊補償滑模控制策略通過模糊規(guī)則辨識補償包含柔性非線性項和外界干擾的動力學不確定成分提高控制精度。仿真分析和樣機控制試驗表明,所提出的控制策略能有效提高旋轉(zhuǎn)角度的控制精度、減弱振動。具體結(jié)論如下:

(1) 空間柔性機械臂的動力學方程包含許多非線性項。當柔性結(jié)構(gòu)長度較長、抗彎剛度較小時,這些非線性項對空間柔性機械臂的建模精度有一定的影響。在動力學建模中應(yīng)該考慮這些非線性項。

(2)由非線性項和外界干擾組成的不確定部分會影響空間機械臂的轉(zhuǎn)動控制精度。模糊補償策略可以辨識和補償動力學模型的不確定成分,從而提高轉(zhuǎn)動控制精度。

(3) 本文提出的模糊補償滑模控制策略可以有效地提高空間柔性機械臂的轉(zhuǎn)動控制精度、減弱振動。本文提出的控制策略使轉(zhuǎn)角跟蹤誤差絕對值的平均值下降17.86%,加速度的標準差下降31.90%。

附錄A

動力學模型的參數(shù)的表達式如下所示。

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

(A.7)