運(yùn)算教學(xué)一致性的思考與實(shí)踐

王靈勇 姜瀅

［摘? 要］ 運(yùn)算領(lǐng)域的知識(shí)存在一定的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，教師要基于整體視角進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)，體現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)的一致性。通過對(duì)二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，以及從教材、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、教師的教學(xué)進(jìn)行深入分析，探究學(xué)生在“退位減法”計(jì)算時(shí)易錯(cuò)的原因。基于新課標(biāo)運(yùn)算教學(xué)一致性理念，研究者提出內(nèi)容從模糊到清晰、算理從表面到深入、練習(xí)從單一到系統(tǒng)等三個(gè)方面的對(duì)策。

［關(guān)鍵詞］ 錯(cuò)誤；退位減法；算理

一、問題緣起

筆者在教學(xué)二年級(jí)退位減法（被減數(shù)中間和末尾有零）時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然做對(duì)了題，但是不明白算理。在導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)筆者出示題目：500-348，讓學(xué)生先獨(dú)立開展試學(xué)，然后請(qǐng)“小先生”展示交流自己的計(jì)算方法。

筆者根據(jù)學(xué)生的反饋情況進(jìn)行追問深研：“十位上答案5你是怎么想的？”學(xué)生A回答：“十位上的0不夠減，需要從百位借出1。”這時(shí)候?qū)W生B舉手回答：“我沒算，但是我不明白為什么要向個(gè)位退1，所以十位就是9。”

筆者追問：“你們聽懂了嗎？被減數(shù)個(gè)位上的‘0、十位上的‘0上面都有退位點(diǎn)，怎么個(gè)位是10、十位變成9了呢？”

學(xué)生的回答讓筆者陷入了沉思：0上都有退位點(diǎn)，為什么被減數(shù)十位上變成9呢？學(xué)生理解的難點(diǎn)在哪里？教師在教學(xué)中需要特別注意什么呢？

二、深入調(diào)查

退位減法的教學(xué)中，當(dāng)哪一位不夠減的時(shí)候向高位借“1”，在這一過程中學(xué)生運(yùn)算時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)一些問題。上述課堂教學(xué)中學(xué)生不明白算理是個(gè)別現(xiàn)象，還是普遍現(xiàn)象呢？基于此，筆者對(duì)學(xué)校三年級(jí)4個(gè)班160名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)研（測(cè)試內(nèi)容如下）。

1. 列豎式計(jì)算

（1）500-298=? （2）350-149=

（3）409-314=? （4）114-107=

（5）135-46=? ?（6）203-193=

（7）814-737=? （8）423-269=

（9）100-591=? （10）6375-486=

（11）403-158= （12）1010-999=

2. 選擇題

（1）在計(jì)算500-298時(shí)，按照怎樣的順序點(diǎn)退位點(diǎn)（? ?）。

A． 先點(diǎn)十位，再點(diǎn)百位

B． 先點(diǎn)百位，再點(diǎn)十位

C． 沒有規(guī)定

（2）如圖1，所表示的豎式計(jì)算中，圈出部分所代表的含義是多少？

A． 2? ?B． 1? ?C． 12? ?D． 11

（3）如圖2，所表示的豎式計(jì)算中，圈出部分所代表的含義是什么？

A． 10-1? B． 9+1? C． 沒有含義

總體而言，學(xué)生對(duì)退位運(yùn)算的理解有難度，錯(cuò)誤率很高。其中列豎式計(jì)算（具體情況統(tǒng)計(jì)如表1）中題（7）、題（9）連續(xù)退位學(xué)生錯(cuò)誤率分別是35.86%和28.97%；題（1）第一步先確定退位點(diǎn)在哪個(gè)位置的錯(cuò)誤率有14.48%；題（8）退位點(diǎn)表示實(shí)際含義學(xué)生錯(cuò)誤率有24.14%；題（11）被減數(shù)數(shù)中間有0，需要向高位借“1”錯(cuò)誤率很高，達(dá)到了37.93%。

退位有兩種不同的意義，第一種表示向前一位借“1”；第二種表示和原來的數(shù)相加。學(xué)生在計(jì)算過程中忘記和原來的數(shù)字相加，類似的錯(cuò)誤占30%以上。學(xué)生受到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，不能理解退位的意義：有時(shí)候要求退位一次卻退位了兩次（如圖3），有時(shí)候根本沒有退位卻退位（圖4），有時(shí)候不需要退位卻退位（圖5），忘記加原來的數(shù)字（圖6），1和0退位后含義混淆（圖7），忘記連續(xù)退位（圖8）。

三、成因分析

調(diào)研測(cè)試中的第一種題是立足于教材內(nèi)容進(jìn)行靈活變換，而第二種題是根據(jù)退位點(diǎn)的理解改編的。筆者通過對(duì)錯(cuò)例的分析和對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生退位減法中存在諸多的問題。

1. 思維過程的單一

低年級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)思維比較單一，學(xué)生對(duì)退位減法算理的理解比較薄弱。學(xué)生需要經(jīng)歷復(fù)雜的思維過程才能理解什么時(shí)候進(jìn)行退位運(yùn)算、怎樣進(jìn)行退位運(yùn)算。比如在教學(xué)三位數(shù)連續(xù)退位減法時(shí)，多個(gè)數(shù)位連續(xù)進(jìn)行退位形成了錯(cuò)綜復(fù)雜的思維過程，這是教學(xué)的一大難點(diǎn)。特別是十位、百位、千位上相減時(shí)，既要從高位上“退1當(dāng)10”，與本數(shù)位上的數(shù)字相加再減，同時(shí)還要減去借走的1后繼續(xù)減，但是低年級(jí)的學(xué)生思維缺少全局性，導(dǎo)致錯(cuò)誤頻出。

2. 繁與簡(jiǎn)的矛盾

解決退位減法問題蘊(yùn)含著很多的方法策略和結(jié)構(gòu)化思維路徑，比如前測(cè)中學(xué)生呈現(xiàn)的問題：該退位1次的時(shí)候，卻進(jìn)行了2次退位；百位和千位退位遺忘，不該退位的時(shí)候亂退位；借來1以后忘記和原數(shù)相加，連續(xù)數(shù)位出現(xiàn)退位錯(cuò)誤頻繁；數(shù)位上1和0的退位運(yùn)算難以區(qū)分等。在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師為了提高學(xué)生計(jì)算技能和速度，常常讓學(xué)生在實(shí)際的計(jì)算過程中省去繁雜的計(jì)算過程，以實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)便，達(dá)到計(jì)算方法自動(dòng)化水平。

3. 教學(xué)中的不足

（1）教學(xué)過程過急

運(yùn)算教學(xué)中部分教師為追求正確率和速度，忽視了學(xué)生對(duì)運(yùn)算過程的探究，想當(dāng)然地認(rèn)為運(yùn)算課比較簡(jiǎn)單，并忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)過程的持續(xù)推進(jìn)，對(duì)算理的探究教得過急，過早總結(jié)運(yùn)算的方法，用自己的“教”取代了學(xué)生的“學(xué)”，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)算理悟得不深、學(xué)得不透。事實(shí)上，學(xué)生對(duì)連續(xù)退位過程意義的理解是比較難的，教師要借助幾何直觀充分展示交流學(xué)生的豎式計(jì)算過程，激活語言表征，幫助學(xué)生理解退位減法算理的本質(zhì)。

（2）退位意識(shí)淡薄

為什么會(huì)出現(xiàn)退位減法？數(shù)學(xué)源于生活，退位減法的產(chǎn)生源于現(xiàn)實(shí)生活的需要。比如計(jì)算72-45，教材會(huì)提供退位減法的過程暗示，個(gè)位上2不夠減6，這時(shí)需要到十位上借1，表示1個(gè)10，12減5等于7。在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的方法進(jìn)行計(jì)算和對(duì)比溝通，體現(xiàn)算理的一致性。比如，有的學(xué)生會(huì)把72看作75，75減45，得30，再減3得27；有的學(xué)生先看十位，先用70減40，再用32減5得27等。教師要讓學(xué)生在方法對(duì)比辨析中發(fā)現(xiàn)不管哪種方法都有退位的過程，其“理”具有一致性，將退位意識(shí)根植在學(xué)生的頭腦中。

（3）錯(cuò)因分析不透徹

學(xué)生退位減法出錯(cuò)時(shí)，教師往往簡(jiǎn)單粗暴地解決，認(rèn)為是學(xué)生審題不認(rèn)真，計(jì)算不認(rèn)真，過于粗心，打個(gè)叉叉，讓學(xué)生繼續(xù)訂正，或者通過反復(fù)的練習(xí)加強(qiáng)鞏固。但是在后續(xù)的作業(yè)中學(xué)生仍然頻繁出錯(cuò)，這樣的教學(xué)治標(biāo)不治本。事實(shí)上很多的錯(cuò)誤并非學(xué)生粗心所致，而是由于學(xué)生計(jì)算能力的不足，計(jì)算素養(yǎng)的缺失，對(duì)計(jì)算方法領(lǐng)悟不透。

四、教學(xué)對(duì)策

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容要體現(xiàn)整體性，要體現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)的一致性。教師要打通運(yùn)算及運(yùn)算之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，體現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)的一致性，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)。運(yùn)算教學(xué)一致性不僅體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容之間存在一致性，也體現(xiàn)在知識(shí)背后的思想與方法存在一致性，即所謂的“通法”［１］。

1. 內(nèi)容展示：由模糊到清晰

培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算技能，教師要讓學(xué)生深刻理解每一步運(yùn)算的道理，要通過問題導(dǎo)學(xué)、自主試學(xué)、展學(xué)交流、研學(xué)分析、類比，實(shí)現(xiàn)不同方法之間的融會(huì)貫通，對(duì)算法的理解從混沌變清晰。

（1）算式和圖的類比

案例1? 百以內(nèi)的退位減法

活動(dòng)1：學(xué)生根據(jù)具體情境（如圖9），嘗試列式解答。

活動(dòng)2：直觀輔助理解算理。

你能看懂小棒圖（如圖9）表示的意思嗎？它和算式之間有怎樣的聯(lián)系？說一說自己的想法。

活動(dòng)3：根據(jù)圖列出減法算式。

師：如圖10，看到圖形，你能想到什么算式？

生：314-25。

師：該得幾呢？……

（2）豎式間的溝通

教師要讀懂學(xué)生的思維，溝通學(xué)生不同的算法，糾正學(xué)生錯(cuò)誤的想法，計(jì)算教學(xué)才能實(shí)現(xiàn)“明理通法”。課堂上，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)很多的計(jì)算方法后，教師要選擇典型方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析兩組算式之間的區(qū)別和聯(lián)系。

對(duì)比一：如圖11，兩種方法計(jì)算順序不同，左邊先十位后個(gè)位，右邊先個(gè)位后十位。

對(duì)比二：如圖12，兩種計(jì)算過程不同，左邊先加后減，右邊先減后加。

對(duì)比三：如圖13，左右兩邊退位計(jì)算的記作方式不同。

學(xué)生的思維方式是百花齊放的，在教學(xué)中稍縱即逝，課堂上教師要充分利用這些有價(jià)值的學(xué)生作品開展深度探究，達(dá)到“明理通法”，融會(huì)貫通。上述案例中，有的學(xué)生受口算方法的影響采取了先算高位再算低位；有的學(xué)生受巧算方法的影響采用了先減后加；還有的學(xué)生對(duì)退位進(jìn)行了個(gè)性化的理解。通過不同層次的對(duì)比分析，學(xué)生明晰了低位算起計(jì)算“序”的重要性，規(guī)范了退位運(yùn)算的過程。

2. 算理理解：由表面到本質(zhì)

教學(xué)是一門“慢藝術(shù)”，教師要讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究算法、理解算理的過程，激活學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過數(shù)形結(jié)合、動(dòng)手操作、類比遷移、總結(jié)歸納等方法理解算理本質(zhì)。

（1）圖示——顯現(xiàn)算理

在被減數(shù)末尾和中間有零的退位減法中，比如500-403和500-133，教師要鼓勵(lì)學(xué)生通過畫一畫的方法表示自己的思考過程（如圖14）。

學(xué)生通過畫圖來理解減法退位的過程，將十位退1借10，百位退1借100的過程，化退位的思維抽象為直觀。

（2）操作——支撐算理

借助計(jì)數(shù)器模型，教師要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)位值制的理解，使學(xué)生清晰理解退位的整個(gè)過程，讓學(xué)生通過撥一撥、想一想、說一說將筆算過程展示出來，感受計(jì)數(shù)器中退位其實(shí)是把本來珠子不夠的數(shù)位，變得珠子更多。

案例2? 萬以內(nèi)的退位減法

出示圖15，提問1：個(gè)位上1減7不夠減怎么辦？想一想、撥一撥、說一說自己的想法。

請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示，邊操作邊交流：個(gè)位上不夠減，十位上借1個(gè)珠子給個(gè)位。

接著教師進(jìn)行操作演示，一邊在計(jì)數(shù)器上撥珠子，一邊用數(shù)字記錄整個(gè)過程，深刻理解退去用減、借來用加的整個(gè)過程。

提問2：十位上1個(gè)珠子表示什么意思？借給個(gè)位后要注意什么？

學(xué)生通過交流明確十位上1個(gè)10等于個(gè)位上10個(gè)1，10個(gè)1和個(gè)位原來的1個(gè)珠子合起來得到11，在1的上方用11來記錄。

提問3：現(xiàn)在個(gè)位上怎么減？想一想、撥一撥、說一說。

學(xué)生交流后，理解11個(gè)珠子減去7個(gè)，在計(jì)數(shù)器個(gè)位撥去7個(gè)珠子。

提問4：仔細(xì)觀察，十位上發(fā)生了什么變化？又該怎么辦？

學(xué)生交流自己的想法，根據(jù)個(gè)位上的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移運(yùn)用。

提問5：百位上退1表示什么意思？十位上借1后發(fā)生了什么變化？在學(xué)生交流的過程中教師把動(dòng)態(tài)變化的過程用數(shù)字來記錄，最后在計(jì)數(shù)器的十位上撥去9個(gè)珠子。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后，教師讓學(xué)生完整地表述整個(gè)豎式計(jì)算的過程。教師順勢(shì)進(jìn)行小結(jié)，強(qiáng)調(diào)退位減法的注意點(diǎn)、豎式規(guī)范的書寫格式以及退位的簡(jiǎn)捷標(biāo)記方法。

連續(xù)退位的計(jì)算，學(xué)生的錯(cuò)誤率很高，因此在教學(xué)中教師要注重將操作演示與抽象算理之間進(jìn)行勾連，通過學(xué)生撥一撥、說一說和教師演示強(qiáng)化，讓學(xué)生對(duì)退位減法的過程建立深刻的表象，有效突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

（3）運(yùn)用——扎根算理

數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用于生活，學(xué)生對(duì)算理的理解需要在生活情境的運(yùn)用中找到原型，得到鞏固、強(qiáng)化、扎根。

案例3? “百以內(nèi)數(shù)加減法”片斷

呈現(xiàn)情境：亮亮有4元錢，拿走了3角5分，還剩下多少錢？

學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境寫出算式：400-35。

學(xué)生嘗試用人民幣模型進(jìn)行操作，先把1元轉(zhuǎn)化成10角，然后把10角中的1角轉(zhuǎn)換成了10分。

教師提問：剛才轉(zhuǎn)化人民幣的過程和減法過程有著怎樣的聯(lián)系？

深入交流：被減數(shù)的個(gè)位和十位都是0，為什么個(gè)位是10減去5，十位上是9減去3？在計(jì)算的過程中要注意什么？

通過人民幣的情境來理解退位的過程，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，將元、角、分單位的轉(zhuǎn)化與計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)化建立聯(lián)系，既直觀又生動(dòng)，使學(xué)生對(duì)算理的理解更加深入。

（4）歸納——內(nèi)化算理

教師要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用不同的方式將計(jì)算的算理描述出來，給足時(shí)間讓他們充分探究、交流、鞏固和總結(jié)歸納算理。

①顏色區(qū)分。豎式中借助不同的顏色可以有效凸顯退位的過程、計(jì)算的順序，如圖16所示，分別用了兩種不同的顏色代表退位的變化和位置值情況。

兩種方法都不約而同用不同的顏色突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)。

②填寫補(bǔ)白。教師要倡導(dǎo)學(xué)生把思維的過程用文字寫出來，滲透嘗試與猜想的數(shù)學(xué)思想。比如筆者在“百以內(nèi)的退位減法”教學(xué)中提出數(shù)學(xué)問題，列出橫式“52-17”之后，讓學(xué)生嘗試用列豎式的方法計(jì)算，出示圖17。

用長方形空白填寫位置值，用正方形格子代表退位后數(shù)位上數(shù)值的變化，這樣的留白填寫能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，主動(dòng)構(gòu)建數(shù)值變化的準(zhǔn)確值，在交流碰撞中理解退位的本質(zhì)含義。

③斜線演示。通過畫圖的形式，幫助學(xué)生更好地建構(gòu)退位減法的解題結(jié)構(gòu)，如圖18，用畫斜線形象地對(duì)退位減法的過程進(jìn)行演示。

教師出示圖18①算式，讓學(xué)生們用自己喜歡的符號(hào)，表示出退位減；圖18②大部分學(xué)生通過知識(shí)遷移用畫斜線的方式表示退位；圖18③，還有少部分學(xué)生選擇畫圈，代表隱藏起來了，代表數(shù)值產(chǎn)生了新的變化。

3. 練習(xí)設(shè)計(jì)：從單一到系統(tǒng)

（1）注重培養(yǎng)學(xué)生的退位意識(shí)

在練習(xí)設(shè)計(jì)方面，如圖19，教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)的位值制意義及數(shù)的拆分與組成原理，通過動(dòng)態(tài)圖的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的退位運(yùn)算意識(shí)，提高計(jì)算的分析能力和思維能力。

（2）注重培養(yǎng)思維的全面性

通過計(jì)算打通加減法之間的互逆關(guān)系，能培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性。如圖20，同一種算式，教師先讓學(xué)生完成左圖豎式，然后不改變數(shù)字而通過改變補(bǔ)白位置，從而讓思維走向全面。

總之，從一個(gè)退位“點(diǎn)”的問題開始，教師在退位減法的教學(xué)活動(dòng)中要盡量拉長學(xué)生的思維時(shí)間，不要急于公布計(jì)算的結(jié)果。通過”變教為學(xué)“的課堂設(shè)計(jì)，學(xué)生在探究性學(xué)習(xí)的過程中可培養(yǎng)思辨、推理的能力，感悟運(yùn)算算理的一致性。教師要正視學(xué)生的問題，關(guān)注學(xué)生背后隱藏的想法，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)嘗試不同維度的“退位計(jì)算”，嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，讓退位運(yùn)算意識(shí)植入學(xué)生的腦海里。教師要讓每一個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)思考，一個(gè)會(huì)思考的學(xué)生可以走得更遠(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）［M］． 北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２．