一個常用的幾何模型拓展分析

王一 唐娟 孫啟宸

【摘 要】? 在教學(xué)過程中，對于主流的平面幾何壓軸題進(jìn)行總結(jié)、提煉，得到了一個高頻出現(xiàn)的模型，

并適度地進(jìn)行了拓展.

【關(guān)鍵詞】? 直角三角形；幾何模型；拓展

模型? 如圖1所示，在外側(cè)作和，使得.若為中點(diǎn)，試判斷與的位置和數(shù)量關(guān)系.

圖1

思路一? 要求兩線段關(guān)系，首先想到的便是全等與相似.根據(jù)題目已知角度相等，可以推測出應(yīng)運(yùn)用全等三角形解題，我們的目標(biāo)就變成了構(gòu)造含有和的全等三角形.

解析一? 輔助線如圖2所示.

圖2

取中點(diǎn)，連接，延長交于，

因為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，因為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為BC中點(diǎn)，所以，因為，，，所以∠，

因為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以，

所以

所以，在和中，，

所以，所以，

所以，

因為，所以（兩直線平行，同位角相等）

故，

因為，，則.

思路二? 通過觀察題目中的已知條件，可以看到有一個中點(diǎn)（即為中點(diǎn)）.根據(jù)這一信息，我們可以想到倍長中線.由此，我們倍長了至，造出了一組全等三角形（即和），將轉(zhuǎn)化為了.之后通過觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)與很可能相等.所以我們的目標(biāo)就轉(zhuǎn)換為了證明等腰三角形.

要證等腰三角形，首先想到的是證其兩底角相等，但題目中沒有相應(yīng)條件，所以只好另辟蹊徑.又觀察到題目中還有直角條件沒有使用，結(jié)合我們要證等腰，就要尋找相等的線段，那在直角三角形中相等的線段便只能通過斜邊中線來構(gòu)造，于是我們?nèi)≈悬c(diǎn)，中點(diǎn)，連接.通過對圖形的觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)和形狀相似，假設(shè)他們相似，那便可輕松推出與相似，從而得出為等腰三角形這一結(jié)論，那我們的猜想便可得到驗證.所以我們的目標(biāo)又進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為了證明和相似.

解析二? 輔助線如圖3所示

取中點(diǎn)連接延長至使，連接.因為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以，.因為，，.所以.

所以.因為為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

所以，所以（等量代換）.? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

在和中，

所以，所以，所以.

因為，，所以.所以，

因為，，，

所以，因為.

所以，所以.

因為，，所以，

所以，

所以，，所以

所以，所以，.

拓展? 如圖4所示，在內(nèi)側(cè)作，，使. 若為中點(diǎn)，試判斷與的位置和數(shù)量關(guān)系.

圖4

解析一? 輔助線如上圖4所示.取中點(diǎn)，連接，與交于.

因為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以

因為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以.

因為，，，所以.

因為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，

所以，所以，

在和中，

所以，所以，，

所以，因為，所以.因為，，所以.

解析二? 輔助線如圖5所示

圖5

取中點(diǎn)，連接，延長至使，連接，

因為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以，（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）

因為，，，

所以（兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似）

所以（相似三角形對應(yīng)邊成比例）

因為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以（三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）

所以（等量代換），

在和中，所以，

所以，（全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等）

所以（等量代換）

因為，，所以（等腰三角形兩底角相等）

所以（兩直線平行，同位角相等）

因為，，

所以.

因為，，

所以（兩組對應(yīng)邊分別成比例，夾角相等的兩個三角形相似）

所以，（相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例）

所以，（比例式中內(nèi)項交換，比例不變；等量減等量，差相等）

所以（兩組對應(yīng)邊分別成比例，夾角相等的兩個三角形相似）

所以（相似三角形對應(yīng)角相等），

所以，.