初中數學二次函數動點問題解題方法

郭香

【摘 要】? 隨著初中數學教學的進程，結合動點問題的二次函數已成為競賽、中考的核心內容.這類問題強調了函數、動點與其他數學知識的綜合運用，展示了初中數學的實際應用價值與其綜合性.由于動點問題的求解需要特定的數學技巧和深厚的基礎，對此有必要進行系統的研究和探討.本文通過對二次函數題型的分析，對與動點相關的題型及其解題方法進行了詳盡的研究，旨在提供全面的方法論參考，以增強學生的解題能力和優化教學方法.

【關鍵詞】? 二次函數；動點問題；題型特點；解題方法

動點與二次函數結合常涉及點的運動路徑與其他幾何圖形或直線的關系，需要學生不僅掌握函數的基本性質，還要靈活運用幾何和代數的知識.為此，本文深入探討幾種二次函數的題型，并提出相應的解題策略.希望為教育工作者和學生提供清晰、系統的指導.

1 動點與直線相結合

例1? 在平面直角坐標系中，有梯形，其中，動點P從以每秒2個單位的速度向A移動，同時，動點Q從點B以每秒1個單位的速度向點O行進.當P到達A時，Q停止.設兩動點的運動時間為t秒.

圖1 例題圖1

（1）求經A、B、C的拋物線方程；

（2）若Q在CO上移動，找出面積S與時間t的關系；

（3）判斷以O、P、Q為頂點的三角形是否為直角三角形，并給出t值或原因；

（4）判斷經A、B、C的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ是否交于一點，并給出t值（或范圍）或原因.

分析? 解題首先需要將動態轉化為靜態，也就是將動點在某一時間t的狀態“固定”下來，從而分析其軌跡，并確定其坐標及變量的取值范圍.根據題目所要求的結論，可以運用逆向思維的方法進行探討.例如，要證明三條線是否交于一點，可以先確定其中兩條線的表達式，進而求出它們的交點.將這一交點代入第三條線的方程中，檢查其是否滿足方程的條件.如滿足，即可證明三線交于一點；反之，則證明三線不交于一點.

對于第（4）問，拋物線的對稱軸可以由A、B、C三點求得.得到對稱軸后，可以求直線OB的方程.設這三條線交于點M.利用拋物線的對稱性和直線OB，確定M的坐標.由于P、Q都是動點，通過已知的M和動點P，列出PM的方程.最后，考慮Q的運動情況，代入坐標來驗證題目的條件.

2? 動點與幾何圖形相結合

例2? 在平面直角坐標系中，拋物線分別與x軸交于點A、B，與y軸交于點C.D是C關于x軸的對稱點，P是x軸上的動點，坐標為（m，0）.由P引垂線l與拋物線相交于點Q.

圖2 例題圖2

（1）求點A，點B，點C的坐標；

（2）求直線BD的解析式；

（3）當P在OB上時，l與BD交于點M，探究m的值使CQMD成為平行四邊形；

分析? 從靜態出發，固定動態的某一狀態，明確動點P的坐標為（m，0）后，先解二次方程求出與x軸、y軸交點的坐標，確定A、B、C三點的確切位置.接著，通過點C和x軸的關系，可以輕松確定點D的坐標，并據此得到直線BD的解析式.但解題的關鍵在于動態與靜態的結合[1].當點P在線段OB上運動時，需要確定直線l與直線BD的交點M.這里，學生需要用直線與拋物線的交點公式，結合平行四邊形的性質來求解.確定m的取值范圍后，便是分析三角形的性質.利用勾股定理，將三邊表示為變量，從而判斷是否能構成直角三角形，并據此確定Q點的坐標.

3? 動點與分類討論相結合

例3? 在四邊形OABC中，軸于C，A（1，-1），B（3，-1）.動點P從O出發，沿x軸正方向以2單位/秒速度行進，引PQ⊥OA交于Q.若P點移動時間為t秒，與四邊形OABC重疊的面積記作S.

（1）求經O、A、B的拋物線方程并確定頂點M；

（2）用t表示P、Q坐標；

（3）將繞P點逆時針旋轉90°，探究是否存在某t使O或Q落在拋物線上，并給出t或理由；

（4）求S關于t的函數.

分析? 此題實質是考查學生在動態與靜態、幾何與代數之間的轉換能力，以及對各種幾何關系和性質的掌握.基于動點P的運動軌跡，可以確定其在不同時間下的坐標，再據此推導出與P相關的點Q的位置.然后，結合題目所給的幾何關系和性質，分析點P和Q的變化如何影響整個四邊形OABC或其中的部分形狀[2].

對于第（3）問，根據動點P的位置和與之相關的點Q的旋轉，分析出O點和Q點與拋物線的位置關系.考慮的旋轉后的形狀和位置，以及與拋物線的交點情況，從而進行分類討論.

第（4）問，要研究的是與四邊形OABC的重疊面積S與時間t的關系.分析動點P在不同位置時，與四邊形OABC的位置和形狀關系，以及重疊情況.根據不同的情況，推導出S與t的關系式.

3? 結語

綜上所述，二次函數的動點問題不僅考驗學生的數學基礎，更考驗其解題技巧.通過對這一題型的深入研究，學生得以更為清晰地理解其特點與挑戰，從而找到有效的解題方法.本文的分析與探討為教育者和學生提供了有價值的參考，期望能夠推動初中數學教學的進一步優化.

參考文獻：

[1]涂晨.有關初中數學課后習題選配的幾點思考——以人教版“二次函數的概念”為例[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2022，35（02）：136-140.

[2]王茜，林磊.初中數學章起始課教學案例研究——以“二次函數”章起始課教學為例[J].榆林學院學報，2022，32（02）：91-95.