基于觀察能力發展的數學課堂教學研究

孟獻芬

［摘? 要］ 數學觀察具有揭露事實本質、促進數學理解與提升數學審美水平等價值. 觀察能力作為數學能力的要素之一，在學生的學習生涯中具有重要影響. 文章從立足概念教學、注重解題過程與聚焦反思三個維度，具體談談如何在高中數學教學中有效培養學生的數學觀察能力.

［關鍵詞］ 觀察能力；思維；解題

布魯姆由淺入深地將認知領域的教學目標設定為了解、理解、應用、分析、綜合、評價六個層次. 一般認為，知道、領會、簡單提取、機械記憶或簡單表征等，屬于低階的了解與理解層次；而理性思辨、問題解決、創造突破等則屬于高階的應用、分析、綜合、評價層次. 無論是低價層次的思維活動還是高階層次的思維活動，都是以觀察力為基礎的. 可以說，觀察力是理解數學概念、習得數學技能、解決數學問題不可或缺的數學能力.

數學觀察具備的價值

1. 揭露事實本質

龐加萊認為，真正的發現者是揭露事實間關系的人，而非建構某些組合的工匠. 這句話闡述“建構某些組合的工匠”屬于未加工的事實，而“事實間關系”的揭露則屬于事物本質的發現. 良好的觀察能力具有揭露事實本質的功效. 事實的本質就是一種模式，一種普遍性特征，想要發現事實本質，必須依靠良好的觀察能力與創造能力.

2. 促進數學理解

哲學家馬赫認為，與勞力經濟類似，產生思維經濟是科學的重要作用之一. 數學觀察能夠讓數學問題的概括變成一種可能，這種概括的形成實則為思維經濟的形成. 如我們所熟知的代數公式，隨著研究與應用的普遍，人們借助數字來代替字母，這些代數公式就將一類數值問題的答案呈現出來. 正是數學觀察的介入，讓代數概括為人類省去了不斷重新計算的工作.

3. 提升審美水平

良好的數學觀察能力，不僅能讓學生領略到數學推理的嚴謹，還能體驗到數學學科獨有的精神魅力. 如代數的整體感、幾何的優雅、數形結合的和諧美等，無不體現出數學的神秘妙曼. 建構完整的知識體系，可讓各部分知識形成和諧的秩序. 正如數學家哈代所認為的：不美的數學無法獲得永久的容身之地. 我們接觸到的一切數學知識，存在即有它的美，不論是簡潔的公式，還是嚴謹周密的證明過程，無不發散出一種神奇的美.

提升數學觀察能力的具體措施

1. 立足概念教學，發展觀察能力

概念反映數學對象的基本屬性與特征，是對事物核心的簡單表征. 一方面，數學概念反映的是客觀事物的數量關系與空間形式；另一方面，數學概念是在抽象理論的基礎上經過多級抽象而來，有一定的層次性. 任何概念的形成都有一定的理論或現實基礎，立足概念教學，引導學生從概念的形成與發展中感知數學學科的科學性、連續性與嚴謹性等，能有效促進學生觀察能力的形成與發展.

觀察概念形成的過程，會發現每一個概念的提出都有其必然性. 因此，感知、體悟概念的建立歷程，對促進觀察能力的發展具有重要意義. 概念教學促進觀察能力的發展，主要體現在以下幾個方面：①形成感性認識. 以教材所提供的基本事實為素材，可以感到素材的核心與各個側面，通過分析與類比發現知識的異同點，從而抽象出新的概念，形成感性認識. ②知識積累. 如在概念復習環節中，用客觀、科學的分類標準將概念系統化，實現知識積累. ③更新知識體系. 新概念的學習要用到原有的認知結構，隨著新舊知識的銜接，不斷更新學生的認知體系. ④發展數學能力. 在觀察時發現并提出問題，能有效鞏固對概念的理解程度，提高解決問題的能力.

概念的特性及實用范圍被稱為概念的內涵與外延，深入概念的內涵與外延，能夠合理地歸納概念的本質，為建構知識體系、靈活應用概念奠定基礎. 通過問題1不難看出，只要對概念的內涵與外延有充分的認識，同時擁有良好的思維能力，就能從不同的情況中觀察到概念恒定不變的本質.

2. 注重解題過程，發展觀察能力

牛頓概括數學家的研究習慣為：更容易接納美的結論，討厭丑的結果，推崇優美雅致的證明，討厭繁雜笨拙的推理. 解題作為數學教學的重要環節，首先必須是學生能接受的形態. 在解題教學中，教師若片面強調巧解，結果就是學生只會處理自己會做的一類題，難以變通處理其他題.

若想培養學生舉一反三的解題能力，首先要培養學生良好的觀察能力，其次要培養學生簡單自然的通法意識，力求讓學生在解題時既追求簡單自然，又能直擊問題的核心.

（1）注重審題.

審題從讀題開始，分析問題條件與結論，明晰題意，弄清已知條件、隱含條件、待求結論等.

問題2 已知在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求角C的大小.

這是一道經典題，學生特別容易忽略掉角C的范圍. 角C的范圍是一個隱含條件，需要學生通過觀察與思考才能獲得.

（2）關注條件.

學生在解決實際問題時，常常找不到題中的一些特殊條件，使解題思維受阻. 還有時候，雖然注意到了特殊條件，卻無法根據特殊條件探尋出簡便的解題方法. 遇到這些情況并解決，需要學生從知識的本質出發，通過敏銳的觀察能力探尋出這些特殊條件的用處.

（3）勤于思考.

波利亞強調數學教學主要存在兩個目的：①教會學生思考的方式；②培養學生學習的興趣、意志、好奇心等非智力因素. 此處所講的思考是指有目的的“形式與非形式”的思維方式，即猜想與證明問題的能力. 在解題教學中，我們應立足于啟發學生思考的角度實施互動與授課，讓學生的觀察能力在此過程中得以有效發展.

此為一道未知題，學生從歸納著手開始分析：先嘗試n=3的情況，證明當n=3時不等式成立；然后嘗試n=4，n=5的情況，當n=4時不等式也成立，但n=5的運算量非常大，學生沒有獲得成功，最終不了了之.

再來分析：當n=3時，a2+a≥2；當n=4時，2a3+a2≥2a+1.至此學生發現了其中存在的奧秘. 這里再次嘗試n=3和n=4的情況，雖然只是不完全歸納，卻可以檢驗奧秘是否正確，因此有一定的必要性. 隨著學生思考的逐步深入，問題水落石出.

（4）分層觀察.

不論從知識結構還是思維習慣來看，都存在主次與先后的順序. 因此解題時，應按照一定的層次來觀察，避免走彎路. 值得注意的是分層觀察習慣的培養，要避免思維定式的形成.

3. 聚焦反思，發展觀察能力

反思既是一種重要的學習方式，也是學生對學習活動進行回顧、分析與調整的過程，對各項數學能力的發展具有重要影響. 對學習活動的再判斷是反思的核心，需要學生從數學思維的本質出發，對知識進行再創造，在知識的理解與產生中提升觀察能力.

問題6 已知集合A=｛12，14，16， 18，20｝，B=｛11，13，15，17，19｝，如果從集合A里面取數a，再從集合B里面取數b，a>b的概率有多少？

學生在解題過程中，常常會為了快速獲得結論而選擇捷徑. 教師提出此問的目的是引發學生反思，讓學生充分感知直覺不一定正確，尤其要注意概率類問題. 反思會讓學生再次思考成功或失敗的地方，讓思維日趨成熟.

在傳統教學中，教師對學生課堂反思關注得不夠，導致學生因為缺乏反思的機會對知識深度的理解有所欠缺，出現了“會而不對”的現象. 想要從真正意義上改善這種現象，就必須加強反思活動，不斷優化學生的思維，讓學生在學習過程中獲得良好的體驗，形成反思意識，完善認知結構.

總之，學生觀察能力的發展離不開教師的引導. 教師在設計與實施教學活動時，要通過豐富的活動內容為學生探索提供機會，為學生思維搭建“腳手架”，幫助學生在自主探索與實踐中形成良好的觀察能力.