幾何畫板優(yōu)化復(fù)習(xí)教學(xué)的措施研究

唐浩達(dá)

[摘 要] 利用幾何畫板進(jìn)行專題復(fù)習(xí)教學(xué)，一方面可拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的“四基”與“四能”；另一方面可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高復(fù)習(xí)成效.文章從幾何畫板教學(xué)的優(yōu)勢出發(fā)，以“二次函數(shù)圖象”的專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾斡脦缀萎嫲鍍?yōu)化數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué).

[關(guān)鍵詞]二次函數(shù)圖象；專題復(fù)習(xí)；幾何畫板

初三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課程一般安排在二輪復(fù)習(xí)中，這是基于學(xué)生經(jīng)歷了一輪復(fù)習(xí)后，已經(jīng)梳理完知識體系，需要從更高層次上審視知識的整合與應(yīng)用.專題復(fù)習(xí)是加強(qiáng)知識應(yīng)用交叉滲透的過程，意在從整體性、融合性、創(chuàng)造性與應(yīng)用性等方面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.借助幾何畫板進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，不僅能將幾何畫板在教學(xué)中的優(yōu)勢展現(xiàn)出來，還能從真正意義上提高專題復(fù)習(xí)的成效.

幾何畫板的優(yōu)勢

1.直觀展示變量關(guān)系

與傳統(tǒng)教學(xué)模式相比，幾何畫板更具直觀性，它可將抽象的變量或數(shù)量關(guān)系直觀形象地展示出來，將一個量的變化引起另一個量變化的動態(tài)效果演示出來，如函數(shù)關(guān)系，就可借助幾何畫板將因變量與自變量間存在的關(guān)系進(jìn)行演示[1].從某種意義上來說，幾何畫板打破了傳統(tǒng)割裂知識聯(lián)系的現(xiàn)象，為數(shù)學(xué)研究開辟了一條新的道路.

2.凸顯知識形成過程

幾何畫板的操作技術(shù)比較簡單，每一個學(xué)生都能自主操作與應(yīng)用幾何畫板，因此它為學(xué)生自主參與學(xué)習(xí)營造了較好的學(xué)習(xí)氛圍與環(huán)境.傳統(tǒng)教學(xué)對概念的分析一般只能從文字上去完成，而幾何畫板卻能完整地展示概念的形成過程，尤其是對一些數(shù)量關(guān)系的分析，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)由表及里、化繁為簡，學(xué)生在幾何畫板的輔助下能從宏觀的視角掌握數(shù)量所蘊(yùn)含的規(guī)律.

3.簡化問題難度

幾何畫板可將一些學(xué)生難以理解的內(nèi)容變得直觀化，讓學(xué)生能快速理解問題的本質(zhì)，為解題奠定基礎(chǔ).同時，它還可通過一些簡約的操作來動態(tài)演示一些抽象的問題，以提高學(xué)生的思辨能力與操作能力.教師若將幾何畫板應(yīng)用到數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)中，能有效降低問題難度，提升教學(xué)成效.

教學(xué)過程

1.教學(xué)分析，明確目標(biāo)

教學(xué)分析包含了學(xué)情分析、教學(xué)內(nèi)容分析與幾何畫板技術(shù)功能分析三個部分的內(nèi)容.從學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)來看，中考二輪復(fù)習(xí)階段，學(xué)生對基礎(chǔ)知識已經(jīng)掌握得比較扎實(shí).由于本節(jié)課是“二次函數(shù)圖象”的專題復(fù)習(xí)課，因此可在學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計教學(xué)活動，以縱深深化學(xué)生對二次函數(shù)圖象問題的認(rèn)識；從技術(shù)功能的角度分析，幾何畫板的動態(tài)演示功能，可將二次函數(shù)圖象直觀地展示在學(xué)生面前，降低問題難度，讓學(xué)生能更客觀、快速地理解問題.

教學(xué)目標(biāo)的確定主要是通過思維導(dǎo)圖與游戲診斷等方式來進(jìn)行，教師可要求學(xué)生在課前分組進(jìn)行思維導(dǎo)圖的繪制，同時對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理，擇取優(yōu)秀作品投影展示.學(xué)生通過自主探索與合作交流來進(jìn)一步厘清知識脈絡(luò)，為專題復(fù)習(xí)奠定知識基礎(chǔ).同時，教師還可通過小游戲的創(chuàng)設(shè)引發(fā)學(xué)生互動，以診斷學(xué)情，為制訂教學(xué)目標(biāo)服務(wù).

2.設(shè)計問題，實(shí)施教學(xué)

二次函數(shù)章節(jié)主要涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.為了提高專題復(fù)習(xí)的效果，教師可從滲透數(shù)學(xué)思想方法的角度出發(fā)，結(jié)合學(xué)情設(shè)計一系列問題，組成問題串，以啟發(fā)學(xué)生的思維.借助幾何畫板進(jìn)行問題的設(shè)計與思想方法的滲透，能讓學(xué)生在動態(tài)展示的圖形中感知合情與演繹推理的過程，以促進(jìn)學(xué)生更好地總結(jié)與歸納基本模型，提煉各種數(shù)學(xué)思想方法.

為了彰顯幾何畫板在此環(huán)節(jié)中的作用，筆者特別精選例題，并配以相應(yīng)的變式題來啟發(fā)學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生自主思考與探索.

問題 分析二次函數(shù)y=m（x2-6x+8）（m>0，且為常數(shù)）的圖象特點(diǎn).

生1：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)m>0，所以該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線.

生2：因式分解x2-6x+8這一部分，得y=m（x-2）（x-4），即y=0時，x=2或4.由此可明確二次函數(shù)y= m（x2-6x+8）的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），（4，0）.

師：根據(jù)以上兩位同學(xué)的結(jié)論，是否還有其他新的發(fā)現(xiàn)？

生3：根據(jù)二次函數(shù)y=m（x2-6x+8）的圖象與x軸的交點(diǎn)，可知x=3為y=m（x2-6x+8）的對稱軸.

師：很好！接下來大家一起觀察用幾何畫板繪制該二次函數(shù)圖象的過程.

第一步，如圖1，作一條直線l，令其與y軸成平行關(guān)系；第二步，在x軸的上方，直線l上任取點(diǎn)M；第三步，獲取點(diǎn)M位于直角坐標(biāo)系上的縱坐標(biāo)“m”；第四步，借助m的值作出函數(shù)y=m（x2-6x+8）的圖象，所作圖象與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C；第五步，拖動點(diǎn)M，觀察該圖象的變化情況，直觀感知函數(shù)y=m（x2-6x+8）圖象在運(yùn)動時恒過點(diǎn)A，B.

變式題1 如圖2，以AC為對稱軸，把原點(diǎn)O反射至點(diǎn)O，此時點(diǎn)O與O關(guān)于直線AC對稱，拖動幾何畫板上的點(diǎn)M，點(diǎn)O能不能落在線段BC上呢？

學(xué)生自主操作，其中一位學(xué)生提出：當(dāng)拖動點(diǎn)M時，點(diǎn)O雖然可以移動，不知道為什么卻一直無法落在線段BC上.另一位學(xué)生也提出：結(jié)合題中條件，可知AC平分∠OCB，則點(diǎn)A到BC與OC的距離相等，且必然都等于2，而AB的值也是2，這就出現(xiàn)了矛盾.由此能判斷，不論如何移動點(diǎn)M，點(diǎn)O必然無法落在線段BC上.

筆者肯定了以上兩位學(xué)生的說法，并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)調(diào)整點(diǎn)M的位置，并提出新的問題.

變式題2 借助幾何畫板進(jìn)行操作演示，如圖3，依然以AC為對稱軸，將原點(diǎn)O反射至點(diǎn)O，作二次函數(shù)y=m（x2-6x+8）圖象的對稱軸，令其與x軸相交于點(diǎn)D，拖動點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)O恰巧位于圖象的對稱軸上時，M的值是多少？

變式題3 繼續(xù)觀察幾何畫板，如圖4，在二次函數(shù)y=m（x2-6x+8）圖象的對稱軸上任取一點(diǎn)P，連接AP，CP后拖動點(diǎn)P，測得∠APC為一個鈍角，上下拖動點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)∠APC的度數(shù)隨著拖動而變小，在某個時刻會成為直角，且向上或向下都有出現(xiàn)直角的機(jī)會.以同樣的方法拖動點(diǎn)M，卻發(fā)現(xiàn)∠APC即使在最大的時候，都無法成為直角.由此可以看出∠APC與m有一定的聯(lián)系，當(dāng)m滿足什么條件時，∠APC存在兩次成為直角的機(jī)會？

學(xué)生沉思，有一位學(xué)生猶豫地提出“是否可以作以AC為直徑的圓來解決這個問題？”筆者鼓勵學(xué)生自主嘗試.該生作圖分析，并在筆者的點(diǎn)撥下，繼續(xù)應(yīng)用幾何畫板加以探索：如圖5，拖動點(diǎn)M，發(fā)現(xiàn)圓Q與圖象的對稱軸相切.

3.總結(jié)提煉，鞏固升華

要求學(xué)生對本節(jié)課所探索的知識要點(diǎn)、幾何畫板的應(yīng)用方法、學(xué)習(xí)感受等進(jìn)行梳理與總結(jié)，并應(yīng)用幾何畫板將所有內(nèi)容羅列到一幅思維導(dǎo)圖中，以構(gòu)建完整的知識框架，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)夯牢根基.

幾點(diǎn)思考

1.幾何畫板是提高專題復(fù)習(xí)效率的利器

專題復(fù)習(xí)強(qiáng)化學(xué)生對某個知識點(diǎn)或某類題的靈活應(yīng)用程度，讓學(xué)生獲得用某種數(shù)學(xué)思想方法或某個知識版塊的內(nèi)容來解決一類問題的綜合能力，并在例題與變式的應(yīng)用中不斷提升熟練程度，達(dá)到以一通百的目的[2]。

本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于函數(shù)圖象的幾何性質(zhì)的探索中.幾何畫板的介入，不僅精確地將每一幅圖展示出來，還將圖中動點(diǎn)的變化過程直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在圖形的動態(tài)變化中感知幾何圖形的穩(wěn)定性，學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，以發(fā)現(xiàn)圖形演變背后恒定不變的規(guī)律.

縱觀本節(jié)課的教學(xué)，所有的問題都緊緊圍繞原問中所提到的二次函數(shù)而展開，該二次函數(shù)圖象為一條隨m值變化而變化的拋物線，若想讓學(xué)生直觀地感知這條拋物線，最便利、高效的方法就是借助幾何畫板進(jìn)行演示.這種設(shè)計方法不僅激活了學(xué)生的思維，幫助學(xué)生提煉了數(shù)學(xué)思想，還從真正意義上提高了教學(xué)實(shí)效.

2.幾何畫板應(yīng)用于復(fù)習(xí)課可降低思維起點(diǎn)

數(shù)學(xué)是思維的體操.不論什么課型的教學(xué)，都要關(guān)注學(xué)生原有的思維水平，盡可能創(chuàng)設(shè)每一個學(xué)生都能積極參與理解的問題，以激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生的思維沿著由淺入深的問題螺旋式上升.幾何畫板的介入，可有效降低復(fù)習(xí)課的起點(diǎn)，讓學(xué)生更積極地參與到問題的探究中去.

筆者本來創(chuàng)設(shè)的變式題1是：線段AC能否平分∠BCO，若能，求m的值；若不能，說明理由.這個問題在另一個班應(yīng)用后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對此問的思維很不活躍.為了進(jìn)一步提高教學(xué)實(shí)效，筆者與備課組其他成員一起研討，經(jīng)分析，認(rèn)為借助幾何畫板的動態(tài)演示功能將原點(diǎn)O沿著AC進(jìn)行反射，求反射點(diǎn)是否落在線段BC上更能激發(fā)學(xué)生的思維.這種處理方式，不僅增加了學(xué)生的思維與邏輯容量，還給學(xué)生制造了動手操作幾何畫板的機(jī)會，增加學(xué)習(xí)興趣的同時提高了復(fù)習(xí)成效.

反觀變式題3，點(diǎn)P，M的拖動以及∠APC的度數(shù)的測量，直觀演示了點(diǎn)P運(yùn)動時，∠APC能否成為直角，受點(diǎn)M位置的影響，也就是受m的值的影響.由此可見，幾何畫板的介入成功降低了學(xué)生審題與解題的難度，這是降低思維起點(diǎn)的重要舉措，也是讓每一個學(xué)生都能積極參與課堂教學(xué)的關(guān)鍵.

3.幾何畫板可跳出多媒體課件的局限

課件是教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)需求設(shè)計的教學(xué)活動方案，課件設(shè)計的目的是優(yōu)化教學(xué)系統(tǒng)決策過程，它體現(xiàn)了教師作為課堂主導(dǎo)的事前工作.在傳統(tǒng)教學(xué)中，不少教師將課件作為直接“播放”的利器，這部分教師將課堂可能發(fā)生的情況都做好了預(yù)設(shè)與化解方案，而事實(shí)上，課堂教學(xué)是一個不斷變化的動態(tài)過程，不管多么優(yōu)秀的教師都無法預(yù)見實(shí)際教學(xué)中的每一種情況，這也是課件的局限性所在.

幾何畫板的介入成功突破了課件的這種局限性，它的易操作性能讓教師在課堂上實(shí)時完善課件，應(yīng)對每一種突發(fā)情況，讓課堂在操作中動態(tài)生成.其實(shí)，學(xué)生觀看教師操作幾何畫板或自主操作幾何畫板的過程，也能進(jìn)一步了解知識的來龍去脈，這對幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)原理、知識內(nèi)涵以及發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義.

參考文獻(xiàn)：

[1] 馮偉，張驊.幾何畫板在初三專題復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用——以“二次函數(shù)圖象”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（1）

[2] 朱炎林.初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的選題方法和教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（4）.