多路絕對激光測距儀精密三維控制網的建立與解算

黃 赫,范百興,段童虎,陳 哲,鄒方星

(信息工程大學,鄭州 450001)

現代工業的飛速發展對大尺寸精密測量技術的測量精度、測量范圍、測量效率等要求越來越高[1-5]。而全局測量對整體測量的性能和適用性起決定作用,是控制精密測量精度的基礎[6],故建立高精度的控制網在粒子加速器準直及預準直階段磁鐵定位[7-9]、飛機零部件裝配定位[10-11]、大型望遠鏡定位校準[12-13]等工程及裝備制造領域十分必要。以高能同步輻射光源(high energy photon source,HEPS)儲存環預準直單元實驗研究項目的磁鐵高精度定位需求為背景和出發點,其預準直階段中優于±30 μm磁鐵定位精度要求點位測量精度優于±10 μm,要使點位測量精度達到該需求就必須要求控制網的平均點位精度優于±5 μm,而如今以全站儀、激光跟蹤儀為主體建立的控制網很難滿足這一精度需求。目前激光測距類儀器測距精度最高可達±0.3 μm/m,遠高于測角精度(目前最高可達±0.5″),僅通過測距建立精密三維測邊控制網,無需引入角度測量,可以避免角度測量所帶來的誤差,具有很高的理論精度。

目前,使用激光跟蹤儀建立高精度控制網是大尺寸全局測量精密控制的有效手段。由于激光跟蹤儀測距精度遠高于測角精度,近年來,許多學者在激光多邊法精密測量方面進行了大量研究[14-20],取得了較為可觀的研究進展。

多路絕對激光測距儀在0.2～30 m的測量范圍內可直接測量點間距離,其測距不確定度小于±0.5 μm/m且最高可達±0.3 μm/m;可實現準直器與目標反射鏡之間的絕對測距[21-22],如圖1所示。該儀器具有測量精度高、操作方便、直接量距等優點,突破了現有的測距模式和精密三維控制網的布網方法。

圖1 準直器與反射鏡間絕對測距

本文基于多路絕對激光測距儀高精度的絕對測距性能,測量所有控制點間的距離,利用高精度的測距值建立精密三維測邊控制網,并建立了對應的僅含控制點間距離的秩虧自由網平差模型。在平差之前,利用改進的LM(levenberg-marquardt)算法解超定非線性方程組迭代求解的方法,在未知數任意取值的前提下實現坐標概算;并選用數量及布局不同的控制點設計了三維測邊網的建網方案,對照方案,在整體范圍為8 m×3.5 m×2.5 m的大理石標定場進行了實驗,建立了高精度的三維測邊控制網,最后通過坐標反算距離與原始測距數據對比,驗證了控制網精度的可靠性。

1 僅含控制點間距離的三維測邊網平差模型

如圖2所示,設三維測邊控制網中共有n個相互通視的控制點,用多路絕對激光測距儀測量第i(i=1,2,…,n)個控制點與第j(j=1,2,…,n且j≠i)個控制點之間的測距值為Sij(1≤i≤n,1≤j≤n,i≠j),則得到式(1)所示的n(n-1)個觀測方程:

圖2 多路絕對激光跟蹤干涉儀建立三維測邊網

圖3 LM算法迭代求解流程

(i≠j).

(1)

對觀測方程式(1)線性化,可得到如式(2)所示的n(n-1)個誤差方程:

(2)

式(2)中的自由項為:

(3)

(i≠j).

(4)

若使整個控制網可解,觀測方程個數應大于等于未知參數個數,即n(n-1)≥3n,進一步可得n≥4,故控制點不得少于4個且可以相互通視觀測。

2 隨機初值的控制網坐標概算

控制網進行平差解算前,需得到所有未知參數的近似值,而近似值的選取會直接影響平差結果[24-25]。若近似值選取不當,即如果控制點間相對位置關系與實際關系存在質的差異,整個三維測邊控制網就無法得到正確的平差解。因此完成三維測邊控制網的坐標概算是一項十分重要的工作。

目前,多臺或多站位激光跟蹤儀建立的三維測邊網以高效率、高精度等優勢被廣泛使用,其坐標概算是基于激光跟蹤儀的極坐標定位原理,通常以測站1坐標系為概算坐標系,直接測量控制點的坐標作為平差所需坐標近似值[26]。而多路絕對激光測距儀不含坐標測量功能,引入多種儀器聯合測量勢必會大大減弱建網的便捷性。

式(1)所列方程組,方程數遠大于未知數,屬于超定方程組。故可以將坐標概算轉化為超定方程組求解問題。本文采用改進的LM算法迭代求解非線性超定方程組,通過隨機取一組初值X0∈Rn實現坐標概算。

2.1 觀測方程組

當n滿足n≥4的解算條件時,根據式(1)可建立含n(n-1)個觀測方程的超定方程組F(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn)=0,如下所示:

(5)

2.2 改進的LM算法迭代求解非線性超定方程組

超定方程組F(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn)=0記為F(X)=0,該方程組由觀測方程組成,故式(5)至少存在一組滿足條件的非空解集X*。

牛頓迭代法是一種非線性方程組的有效解法,其通過計算每次迭代所使用的搜索方向,即牛頓步,進行迭代求收斂解[27]。但牛頓步的計算需要非奇異的雅各比矩陣,而超定方程組的雅各比矩陣屬于奇異陣,故牛頓法在求解該超定方程組時不再適用[28]。

Levenberg和Marquardt提出的LM算法有效解決了雅各比矩陣屬于奇異陣的問題。本文在LM算法基礎上,基于信賴域技術,通過修改迭代參數,得到了一種能有效求解非線性方程組的改進的LM算法。算法改進后具有超線性收斂性,故可通過隨機取初值X0迭代求解,進而應用在解決三維測邊網坐標概算的問題上。

應用改進的LM法可以解決超定非線性方程組的雅各比矩陣不可逆的問題,通過式(6)計算每次迭代的搜索方向,即每次迭代的試探步,記第k次迭代的試探步為dk,并通過式(8)判斷是否接受dk,進而迭代得到收斂解。

(6)

式中:F(Xk)為方程組F在第k次迭代解集Xk處的值,Jk為F(X)在X=Xk處的雅各比矩陣,λk為迭代參數,I為單位陣。

λk的選取對使用LM算法得到非線性方程組的收斂解至關重要。本文選取λk為:

(7)

由式(7)可知,在迭代求解過程中,如果在k次迭代中,當Xk遠離X*時,||F(Xk)||較大,||F(Xk)||δ/(1+||F(Xk)||δ)趨近于1,此時λk≈μk;當Xk接近X*時,||F(Xk)||趨近0,此時λk≈μk||F(Xk)||δ,因此可以將隨機值賦予初始值集X0。

聯合式(6)和式(7)即可計算出第k次迭代求解集的試探步dk,根據式(8)判斷是否采用試探步對解集進行改正。

(8)

如式(8)所示,是否接受試探步dk,主要由比率rk的值決定。

對于rk的求解,本文定義價值函數ψ(X)= ||F(X)||2,以及該函數在第k次迭代中的預測變化量(Predk)及實際變化量(Aredk)為:

(9)

則有:

(10)

同時,利用rk對迭代中μk做出判定如下:

(11)

迭代求X*的步驟見圖 3。

2.3 坐標概算有效性驗證

(12)

3 三維測邊網平差解算及精度評定

當控制點個數滿足n≥4條件時,式(2)的誤差方程可以寫成矩陣形式:

(13)

其中:

因多路絕對激光測距儀測量的是控制點間的距離,故不存在i=j的觀測方程及誤差方程,故A為n(n-1)×3n的矩陣。

(14)

由于空間三維測邊網缺少必要的起算數據,造成了系數矩陣A的秩虧,故A為秩虧陣,進而求解所得的法方程矩陣為奇異陣,測邊網屬于秩虧網,本文采用秩虧自由網附加重心基準約束進行平差解算[29]。

考慮到多路絕對激光測距儀測距誤差受測量距離的影響,故應將測距誤差隨距離的變化考慮在內,采用測距加權的方法定權。設多路絕對激光測距儀的標稱測距精度為σl,則從第i個控制點觀測第j個控制點的距離值Sij對應的權值為:Pij=(σlSij)-2,可構建權陣為:

(15)

(16)

在誤差方程的基礎上,增加約束條件:

(17)

(18)

解算的關鍵是確定約束矩陣G。A秩虧數即缺少的基準個數為d=u-t,其中u為控制點坐標數量,t為必要觀測量。在傳統的控制網平差中,控制網起算條件包括控制網的位置(一個固定點的三維坐標)、控制網的方向(一個固定方向的三軸余弦值)和一個尺度基準。由于多路絕對激光測距儀測距精度高,尺度基準可由距離觀測值確定,缺少的基準個數為6,因此附加約束矩陣G的維數為6[30],即:

(19)

按照最小二乘原理構造目標函數得到法方程如下:

(20)

式(20)左乘GT可得K=0,即法方程可變化為:

(21)

結合式(21)與式(17),可得控制點三維坐標參數及未知參數的權逆陣為:

PXGGTPX)-1.

(22)

(23)

(24)

(25)

4 實例分析

本次實驗在中國科學院高能物理研究所恒溫實驗室內的大理石標定場上進行,大理石標定場的整體空間為8 m×3.5 m×2.5 m,實驗全程用一套球形發射器和1.5英寸角隅棱鏡(red-ring reflector,RRR)。在大理石標定場的大理石柱上,共選取8個空間位置分布均勻且可以相互通視的控制點,相鄰兩個控制點間的高差在1.5 m左右,實驗場地、控制點布局及三維測邊網網形的模型圖及實物圖如圖4所示。

圖4 實驗場地、控制點布局及三維測邊網網形

基于多路絕對激光測距儀測量每個控制點與其余控制點之間的距離(見圖5),利用對應的n(n-1)個距離測量值建立三維測邊控制網。

圖5 控制點間絕對測距

在8個控制點間共測量56個距離觀測值,由于存在對向觀測且多路絕對激光測距儀標稱精度較高,實驗中根據同一距離本應相等或差異不大的原則,對存在偶然誤差的測距值進行了復測,復測率小于10%。最終得到的經加常數改正的測距原始數據中,同一邊長對向觀測的差值最大為±3.6 μm,最小小于±0.1 μm,觀測值可靠性強。

根據控制點數量及分布的不同,對實測的56條邊長觀測值進行分組分析,共有如下5種方案:

方案1,選取P3、P4、P5、P64個控制點間共12個距離觀測值建網;

方案2,選取P2、P3、P4、P5、P65個控制點間共20個距離觀測值建網;

方案3,選取P1、P2、P3、P6、P7、P86個控制點間共30個距離觀測值建網;

方案4,選取P2、P3、P4、P5、P6、P7、P87個控制點間共42個距離觀測值建網;

方案5,選取P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P88個控制點間共56個距離觀測值建網。

4.1 未知數隨機取值坐標概算

表1 方案1未知數不同取值區間坐標概算結果

表2 方案2未知數不同取值區間坐標概算結果

表3 方案3未知數不同取值區間坐標概算結果

表4 方案4未知數不同取值區間坐標概算結果

表5 方案5未知數不同取值區間坐標概算結果

通過表1～5分析可得,控制點固定的情況下,利用改進的LM算法進行坐標概算,無論未知數初值在任何區間選取,只會影響迭代的次數,而不會影響解的精度和一致性,說明所有控制點之間的相對位置關系可以固定且精度較高,即解算結果作為平差解算的坐標初始值的有效性強。

4.2 三維測邊網平差分析

通過4.1節的分析,驗證了對未知數任意取值進行坐標概算方法的可行性,概算所得的三維坐標值精度高、一致性強,可作為三維測邊網的坐標初值進行平差。為了驗證多路絕對激光測距儀所建三維測邊網的精度,結合所建立的秩虧自由網平差模型,對實驗數據進行處理,5種方案平差結果見表6和圖6。

表6 三維測邊網平差結果 μm

圖7 距離反算與原始測距數據差值結果

表6和圖 6結果可得,基于多路絕對激光測距儀高精度絕對測距性能,通過雙向觀測值對比進而復測排除測距偶然誤差,可得到準確度及精確度較高的測距值以建立高精度的三維測邊網。同時,對5種不同方案得到的控制點精度進一步對比分析可得,在所選控制點高差較大、點位分布較均勻、通視條件好的基礎上,控制點數量對點位精度的影響較小,三維測邊控制網的控制點的平均點位精度優于±1.14 μm,滿足HPES預準直階段磁鐵定位對控制網精度的需求。

4.3 距離反算精度驗證

為了驗證所建立的三維測邊控制網的精度可靠性,利用平差解算所得坐標對兩點間距離進行反算,并與經加常數改正后的原始測量值進行對比。為了記錄方便,對測距值進行編號,56個邊長測量值為SP1P2～SP8P7,設與其對應反算值的差值為Δd1～Δd56。經計算,5種方案中,距離測量值與反算值差值絕對值最大為2.732 6 μm,最小為0.001 5 μm,結果如圖 7所示。

由圖 7及計算數據分析可得,方案1所建控制網采用的12條邊長中,距離觀測值與反算值差值的絕對值在0～0.5 μm、0.5～1 μm、1～2 μm、大于2 μm,分別占測量數的50%、33.3%、16.7%、0%;方案2采用的20條邊長中,占比分別為55%、20%、25%、0%;方案3采用的30條邊長中,占比分別為53.3%、20%、26.7%、0%;方案4采用的42條邊長中,占比分別為52.4%、21.4%、26.2%、0%;方案5采用的56條邊長中,占比分別為51.8%、19.6%、26.8%、1.79%。可見,僅利用測距值進行坐標概算和秩虧自由網平差后,得到的控制點的平均點位精度優于±1.14 μm,可靠性強。

5 結束語

本文對基于多路絕對激光測距儀建立精密三維測邊控制網進行了實驗研究,完成了以下工作:

1)根據多組范圍不同的隨機初值選取,采用改進的LM算法對未知數進行迭代計算,得到了高穩定性和高精度的概算結果,實現了任意初值的坐標概算。

2)建立了僅含控制點間距離的秩虧自由網平差模型,基于該儀器的測距特性及標稱精度,設計了控制點數量不同的5種建網方案,在恒溫間內整體范圍為8 m×3.5 m×2.5 m的大理石標定場上,采集了不同方案的距離數據;利用對應的秩虧自由網平差模型進行解算,建立了控制點數量不同的高精度三維測邊網。通過對5種不同方案得到的控制點精度進一步對比分析可得,在實驗環境及選點合理的基礎上,通過排除測距偶然誤差得到高精度的測距值,可建立控制點平均點位精度優于±1.14 μm、點位精度最優可達±0.55 μm的三維測邊控制網,且控制點數量在4～8個范圍內時,控制點數量增多對建網所得控制點的精度影響較小。在實際工程應用上,為了能在多路絕對激光測距儀測距范圍內建立該精度的控制網,控制點的選取應滿足高差盡可能大、穩定性好、通視效果好、點位分布均勻等條件。

3)通過平差結果坐標反算控制點間距離與實測原始數據對比,兩者差值的絕對值幾乎均在2 μm以內,最小為0.0015 μm,其中優于0.5 μm的邊長數超過建網所用邊長數的一半。故基于該儀器該方法建立的平均點位精度優于±1.14 μm,且點位精度最優可達±0.55 μm的三維測邊網精度具有可靠性。

研究結果滿足實驗要求,在粒子加速器預準直階段、大型飛機部件數字化對接裝配、高精度坐標測量、天線位姿測量、固體火箭發動機推力線測量等現代工業應用方面具有實用價值。