關(guān)于光滑流形Spark特征的注記

陳洪宇, 黃開河, 薛 涵, 杜承勇

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 預(yù)備知識

因此,為了進一步研究清楚這些spark復(fù)形的spark特征的同構(gòu)關(guān)系,需要找到更一般的spark復(fù)形同態(tài)使得它們可以誘導(dǎo)spark特征的同構(gòu).在本文中,首先找到一類滿足這一條件的spark復(fù)形同態(tài),稱之為擬同構(gòu)(定義2.2).

本文第3.3節(jié),將構(gòu)造一個新的上鏈spark復(fù)形SΓ,使得SCS?SΓ?SCH是子復(fù)形含入,而且構(gòu)造出spark復(fù)形同態(tài)

定理 1.2(同定理4.6) 有一個具體的spark特征同構(gòu)

本文結(jié)構(gòu)如下:首先,在第2節(jié)中整理spark復(fù)形的基本概念與性質(zhì),并證明擬同構(gòu)誘導(dǎo)spark特征的同構(gòu),即定理1.1;然后,在第3節(jié)中回憶SU與SCS和SCH的構(gòu)造,并構(gòu)造出SΓ;最后,在第4節(jié)中研究這些spark復(fù)形的關(guān)系,并證明定理1.2.

2 Spark復(fù)形

一個同調(diào)spark復(fù)形[1,5-6],或簡稱為spark復(fù)形,是一個上鏈復(fù)形的三元組S:=(F*,E*,I*),滿足:

1)I*與E*都是F*的子復(fù)形;

2) 當(dāng)k>0時Ik∩Ek={0},當(dāng)k<0時Fk=Ek=Ik={0};

3)H*(E*)?H*(F*).

一個元素a∈Fk若滿足spark方程

da=e-r,e∈Ek+1,r∈Ik+1,

(1)

則稱之為一個度為k的spark.2個度為k的sparks a和a′稱為等價,如果它們滿足

a-a′=db+s,b∈Fk-1,s∈Ik.

(2)

一個spark復(fù)形同態(tài)

定理 2.3如果

是spark復(fù)形擬同構(gòu),則它誘導(dǎo)spark特征的同構(gòu)

由引理2.1,ds=0,[s]∈H*(I*).所以

而

d(a-s′-t)=e+r-ds′-dt=r-dt=0,所以[a-s′-t]∈H*(F*),而且

f*([a-s′-t])=[f(a-s′-t)]=

(3)

也即是

(4)

因此f也是滿射.

3 光滑流形的spark復(fù)形

本節(jié)先回憶文獻[1]中光滑流形的光滑hyperspark復(fù)形、Cheeger-Simons spark復(fù)形和上鏈hyperspark復(fù)形的構(gòu)造,并引進一個新的spark復(fù)形:上鏈spark復(fù)形.

3.1 光滑hyperspark復(fù)形首先回顧光滑hyperspark復(fù)形的構(gòu)造.設(shè)U={Ui|i∈I}是光滑流形X中局部有限開覆蓋.有雙復(fù)形

它的2個微分算子為

D=D′+D″.

r將一個q-形式ω∈Ωq(X)嵌入到C0(U,Ωq)中.下面的結(jié)果是經(jīng)典的,參見文獻[7].

引理 3.1(廣義Mayer-Vietoris原理) 對每個q≥0,復(fù)形

(5)

是正合的.

(6)

由de Rham定理可知此上鏈復(fù)形嵌入是擬同構(gòu).顯然

所以有spark復(fù)形

定理 3.2[1]我們有

文獻[1]構(gòu)造了上鏈hyperspark復(fù)形SCH并證明了存在子spark復(fù)形的含入同態(tài)因此

為了實現(xiàn)這一點,本文將會構(gòu)造一個新的spark復(fù)形SΓ,稱為上鏈spark復(fù)形,并構(gòu)造出spark復(fù)形同態(tài):

(7)

接下來首先回顧上鏈hyperspark復(fù)形SCH的構(gòu)造,再給出上鏈spark復(fù)形SΓ的定義.

3.3 上鏈hyperspark復(fù)形與上鏈spark復(fù)形上鏈hyperspark復(fù)形與上鏈spark復(fù)形都是用光滑奇異上鏈的芽層構(gòu)造的.因此先回顧一下光滑奇異上鏈的芽層.

1) Supp(li)?Ui;

(8)

(9)

因為

(10)

設(shè)Aq是q次微分形式的芽層(因此也是微分形式的預(yù)層),則

Aq(U)=Γ(U,Aq)=Ωq(U).

將(6)式應(yīng)用于每個開集U?X,可得群的單態(tài)射

(11)

特別地,這個態(tài)射是單射.

光滑奇異鏈的邊緣算子?誘導(dǎo)了層的鏈復(fù)形

定義 3.5光滑流形X的相應(yīng)于局部有限開覆蓋U的上鏈hyperspark復(fù)形為

當(dāng)開覆蓋只有一個開集{X}時,得到

定義 3.6光滑流形的上鏈spark復(fù)形為

4 光滑流形的4個spark復(fù)形的關(guān)系

本節(jié)將完整地研究3.3中的所有4個spark復(fù)形之間的同態(tài),即

4.1spark復(fù)形SU和SCH之間的擬同構(gòu)通過(11)式中的φ得到了一個spark復(fù)形單同態(tài)

φ:SU→SCH.

引理 4.1當(dāng)U是good開覆蓋時,φ:SU→SCH是擬同構(gòu).

另一方面,注意到

(12)

則

于是有

因此當(dāng)U是good開覆蓋時,有

(13)

證畢.

證明這是因為

接下來構(gòu)造一個反向的擬同構(gòu)

f:SCH→SΓ.

它的具體構(gòu)造如下.首先從li出發(fā)可以定義一個同倫算子

其中

類似于文獻[7]第9節(jié)的計算可得:

引理 4.3f是一個鏈復(fù)形同態(tài)

此外

DL+LD=id-ι°f,它是由

4.3spark復(fù)形SCS和SΓ之間的擬同構(gòu)由正合列(8)和(9)式可以得到一個spark復(fù)形同態(tài)

r:SCS→SΓ.

定理 4.6有spark特征同構(gòu)

由Da=e+s可知

D(φ(a))=φ(b)=φ(e)+φ(s)=e+φ(s).

所以

?(f°φ(a))=f(D(φ(a)))=

f°φ(e)+f°φ(s)=e+f°φ(s),由推論4.5可得

r(a′)=f°φ(a),da′=f°φ(e)+s′=e+s′,r(s′)=f°φ(s).