帶擴散項的Cahn-Hilliard方程解的適定性

李書嵐, 蒲志林

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

本文研究如下帶擴散項的廣義Cahn-Hilliard方程的初邊值問題

(x,t)∈Ω×R+,

(1)

(2)

u|t=0=u0,

(3)

其中,Ω?Rn(n=1,2,3)是有界正則區域,且具有光滑邊界Γ,ν為邊界上的單位外法向量,Δ為Laplace算子,f(u)為一對數型函數F(u)的導數,g(u)稱為擴散項.

在方程(1)中,若g(u)=0,則稱其為Cahn-Hilliard方程(簡稱CH方程),是數學物理上一類重要的非線性偏微分方程,它描述了與相分離過程相關的兩相系統的重要定性特征.1958年,Cahn和Hilliard[1]首次基于熱力學提出了相關模型,近幾十年來,國內外眾多學者對其進行了廣泛研究,尤其是解的存在性、唯一性、正則性,以及相關動力系統的漸近性等[2-5].

然而,目前在Neumann邊界條件下對帶一般的非線性擴散項的CH方程的研究相對較少,為了增加此類數學模型的適用范圍,并推廣一些已有結果,本文將在現有研究基礎上對具有更一般非線性擴散項的方程(1)～(3)進行解的先驗估計,得到弱解的存在唯一性,進而還得到解的相關正則性.

1 主要假設和記號

f′(s)≥-c0,c0≥0,s∈R,

(4)

f(s)s≥c1F(s)-c2,F(s)≥-c3,

c1>0,c2,c3≥0,s∈R,

(5)

|f(s)|≤F(s)+c, ?>0,s∈R, (6)

(7)

g′(s)≥-c4,c4≥0,s∈R,

(8)

|g(s)|≤c5(1+|s|2q+2),s∈R,

(9)

其中p≥2q+1.由于4q+4≤2p+2,則有

?>0,s∈R.

(10)

令H=L2(Ω),V=H1(Ω),且定義〈u〉為空間平均,表示為

2 主要結果及其論證

證明首先證明存在性.為了得到解的存在性,先要得到uN與N無關的先驗估計.以下用到的所有常數都是與N無關.考慮如下近似問題,其中N∈N,

(x,t)∈Ω×R+,

(11)

uN|t=0=u0.

首先,在Ω上對(11)式進行積分可得

(12)

等價地,上式可以寫成下面的形式

(13)

其中根據假設(4)和插值不等式可得

(15)

再由假設(9)和Young不等式可得

(16)

′>0,

(17)

根據(14)～(17)式可得

(18)

將〈uN〉與(12)式做內積可得

c‖g(uN)‖L1(Ω)|〈uN〉|,

(19)

根據連續嵌入L2(Ω)?L1(Ω)可得

(20)

將(18)和(20)式相加可得

?′>0.

(21)

(22)

其中

((f(uN),uN))-((f(uN),〈uN〉)),根據假設(5)式可得

((f(uN),〈uN〉))≤c‖f(uN)‖L1(Ω)|〈uN〉|,根據假設(6)式可得

‖f(uN)‖L1(Ω)≤

再根據假設(5)和(7)式可得F有界,則有

(23)

由(22)～(23)式可得

(24)

將(21)和(24)式相加可得

根據連續嵌入L4q+4(Ω)?L2(Ω),q≥1,再根據假設(10)則有

(25)

其中

(26)

c‖f(uN)‖L1(Ω)‖g(uN)‖≤

c‖g(uN)‖2+c′,

(27)

(28)

根據(25)～(28)式可得

(30)

(31)

其中

(33)

(34)

根據(30)～(35)式和(20)式,結合假設(10)可得

>0.

(35)

(36)

其中

(38)

(39)

由(36)～(39)式可得

(40)

并且

(41)

根據(40)和(41)式,結合前面的估計可得f(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中有界.

接下來,根據上述的先驗估計結果,結合標準的Aubin-Lions緊性結果,當N→+∞時可得

uN→u在L∞(0,T;H1(Ω))中弱收斂,uN→u在L2(0,T;H2(Ω))中弱收斂;

uN→u在L2(0,T;L2(Ω))中幾乎處處成立;

uN→u在L4q+4(0,T;L4q+4(Ω))中弱收斂;

線性部分的估計可以直接得到,然后考慮非線性項,根據勒貝格控制收斂定理,再由先驗估計已知f(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中一致有界,則可以得到f(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中收斂于f(u).同樣由于先驗估計(16)式可得g(uN)在L∞(0,T;L2(Ω))?L2(0,T;L2(Ω))中一致有界,則g(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中收斂于g(u),則解的存在性得證.

〈f(u1)-f(u2)〉+(-Δ)-1(g(u1)-

g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉)=0,

(42)

在Ω對方程(1)～(3)積分可得

(43)

f(u2),u))-((f(u1)-f(u2),〈u〉))+

(((-Δ)-1(g(u1)-g(u2)-

(44)

其中

((f(u1)-f(u2),u))≥-c0‖u‖2≥

因此

|((f(u1)-f(u2),〈u〉))|≤

同樣

|((g(u1)-g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉,

將〈u〉與(43)式做內積可得

根據(44)～(45)式,運用插值不等式‖u‖2≤‖▽u‖‖u‖-1可得

根據Gronwall引理可得

‖u1(t)-u2(t)‖-1≤c‖u1,0-u2,0‖-1,c>0,t∈[0,T].

由此可知u1(t)=u2(t),則解的唯一性得證.

定理 2.1關于方程(1)～(3)的解u滿足

?r0,且T>0.

證明方程(13)可寫成如下形式

(46)

將(46)式對時間求偏導可得

(47)

其中根據假設(8)和連續嵌入H2(Ω)?L∞(Ω)有

根據插值不等式可得

同時還可以得到(48)式右邊兩項是有上界的.最后根據Gronwall引理可得

?r0,T>0.