壓電驅動的快速刀具定位臺自抗擾控制研究*

胡高峰 逯俊體

（①天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222；②天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222）

快速刀具定位臺是為超精密車削加工而研發設計的，通過壓電驅動完成傳動，利用自身所具有的高響應頻率、高剛度及高精度等特性，驅動刀具在運動方向快速微進給，能夠實現復雜面形工件或結構的精密加工[1]。由于壓電材料本身具有的遲滯和蠕變特性會嚴重影響控制精度，因此，制定有效的控制策略以實現高精度的驅動和定位控制具有極為重要的實際價值。

國內許多學者對于壓電驅動器的控制有較多的研究，總結起來主要有3 種控制方法[2]，即遲滯逆模型前饋補償控制、閉環控制以及結合遲滯逆模型的復合控制。根據具體情況選擇適當的輸入電壓，并利用定位臺獲取輸出位移，以建立準確的遲滯模型描述定位臺的運動特性，進而應用多種控制策略，例如自抗擾控制，以提升定位臺的控制精度，同時消除或減小其受到遲滯非線性特性的影響。國外采用類似的控制策略來提高壓電驅動器的控制精度。綜合起來，用于快速刀具定位臺遲滯建模的模型主要有PI 模型、KP 模型、Duhem 模型等[3]。

本文的主要研究內容是對比單頻輸入時遲滯逆模型的前饋補償控制和自抗擾控制方法的動態響應及跟蹤誤差，分析了兩種控制方法的均方根誤差（root-mean-square-error，RMSE）和相對誤差（relative-error，RE），實驗驗證了自抗擾控制策略的優越性。

1 快速刀具定位臺及其模型

1.1 快速刀具定位臺的組成

快速刀具定位臺控制系統實驗裝置由上位機、Dspace（MicroLabBox）、壓電陶瓷驅動電源（芯明天E01.D1）、主動隔振臺、電子顯微鏡和快速刀具定位臺（P92.X70C）組成，如圖1 所示為定位臺的測試系統，為了減小因結構和機構振動而引起的數據誤差，將主動隔振臺固定在氣動隔振光學平臺上[4]?？焖俚毒叨ㄎ慌_的技術參數見表1。

表1 壓電驅動的快速刀具定位臺的技術參數

圖1 快速刀具定位臺的測試系統

1.2 快速刀具定位臺的數學模型

壓電驅動的快速刀具定位臺包括電氣和機械兩部分[5]，如圖2 所示。

圖2 快速刀具定位臺的電氣和機械模型

圖2 中，kamp為建模時的增益，R0為驅動電路的等效電阻，vh為由于遲滯所產生的電壓值，H(q)、Tem代表壓電效應，是一種具有變壓比的機電換能器，CA表示與變壓器并聯的總壓電陶瓷的電容之和，PCA 中的總電荷為q，流過電路的電流為，存儲在線性電容CA中的電荷表示為qc，電荷qp是由于壓電效應從機械部分轉換的電荷，vA是轉換的電壓，FA為電氣部分的轉換力，x為機械部分的輸出位移，m、bs、ks分別為運動機構的質量、阻尼系數、剛度[6]。

定位臺的模型一般是由遲滯模型和線性模型共同表示，如圖3 所示。

圖3 快速刀具定位臺的動態模型

圖3 中的vin(t)為控制輸入電壓，w(t)為遲滯模型的輸出，x(t)為定位臺的位置輸出，P(vin(t))表示遲滯非線性函數，G(s)表示為線性部分函數。

定位臺的數學模型表達式為

1.3 快速刀具定位臺模型辨識

定位臺線性部分可由輸入階躍信號得出，即

其中：s為Laplace 算子，線性模型輸出與實驗數據結果如圖4 所示。

圖4 線性模型預測與實驗數據圖

PI 遲滯模型的表達式具有簡潔的特點，且其逆模型便于求取，在實際應用中對于控制器的合理設計至關重要?；谄鋵Ρ磉_遲滯特性方面具有突出的優點，PI 模型在系統補償上的應用比較廣泛[7]。

PI 遲滯算子的數學表達式可表示為

式中：bi為可調權重系數，且bi＞0，r為基本遲滯單元pr[x]的閾值，遲滯單元pr[x]的表達式為

式中：y(t) 為輸出信號；x(t)為輸入信號。

n個不同閾值、不同權重系數的間隙算子疊加成為PI 遲滯算子，即

根據具體輸入信號，選擇合適的間隙算子和閾值的數量，并根據式（1）～式（4）得到與實驗遲滯曲線擬合最佳的間隙算子權值[8]。

式中：H*(V(t)) 為PI 遲滯模型曲線；L(V(t))為實驗時定位臺的動態定位曲線。

對于PI 遲滯逆模型的逆算子，按照式（5）做相應的變換：

實驗采用10 Hz 時的實驗數據對Prandtl-Ishlinskii 遲滯模型的參數辨識，即對定位臺施加10 Hz頻率的電壓信號作為輸入，采集相應的輸出位移數據。隨后，通過分析輸入電壓信號和輸出位移信號，可推導出相關參數。

由式（4）可知，x(t)為輸入信號，選擇輸入信號為

記錄定位臺的定位數據，形成定位臺的動態定位曲線L(V(t))，取16 個間隙算子疊加得到PI 遲滯模型對實驗曲線進行擬合，由式（6）得到最佳間隙算子權值見表2。

表2 定位臺PI 遲滯模型參數辨識值

同理，取16 個PI 遲滯算子的逆算子線性疊加得到PI 遲滯逆模型，定位臺PI 遲滯逆模型參數值由式（7）得出，見表3。辨識所得擬合遲滯模型曲線與實際遲滯模型曲線對比如圖5 所示。利用RMSE 和RE 描述定位臺的建模誤差指標見表4。

表3 定位臺PI 遲滯逆模型參數辨識值

表4 定位臺的建模誤差

圖5 擬合遲滯模型曲線與實際遲滯模型曲線對比圖

由表4 建模誤差可得，PI 模型擬合的遲滯曲線較實測數據擬合曲線的均方根誤差和相對誤差更小，即擬合遲滯模型的RMSE和RE分別比實際模型小0.211 4 μm 和0.285 8%，因此PI 模型可以較好地擬合遲滯曲線。

2 快速刀具定位臺的自抗擾控制設計

根據系統的控制要求，設計四階擴張狀態觀測器，對于外界影響導致的擾動d(t)，可考慮到總擾動中。式（1）可變換為[9]：

式中：y為對應的輸出位置，f為系統的總擾動。

2.1 擴張狀態觀測器與控制律的設計

考慮到四階受控系統，令

設觀測值為zi，當總擾動已知時，所設計的觀測器為

式中：L為可變增益，即

控制律可設計為

式中：u為定位臺的輸入電壓；當系統總擾動可被估計時，有

5.情境扮演式教學。情境扮演式教學是指在教學過程中，扮演不同警務工作人員和場景，突出禮儀技能的運用，在訓練中教師要對學生進行充分引導，并留有足夠的發揮空間，讓學生自由發揮，增強學生身臨其境的實際感受，激發他們在不同情境下的創造性，幫助學生掌握禮儀規范的教學方法。重點是教師應及時將情境扮演過程中所反映出來的問題歸納總結，做出引導和指導，便于學生整體把握。如此不但有利于學生牢固掌握所學的警察禮儀規范知識，還有利于他們將理論內化后更好地運用于實際之中。

系統動態模型變換為串級積分器形式，則控制量uc的表達式可變換為

式中：yr為定值；ki為可調控制參數[10]。

2.2 自抗擾控制作用下定位系統的閉環穩定性

考慮到系統的遲滯特性，閉環系統模型為

式中：e0i=xi-zi，(i=1,···,4)為觀測器的估計誤差。

令

代入式（18）則有

對于此解，存在常數ki＞0,i=1,2,3使跟蹤誤差收斂，即，則跟蹤誤差有界。從而可得出對于有界的輸入信號，系統輸出信號同樣有界，即定位閉環系統是穩定的。

3 定位臺系統跟蹤控制對比實驗

圖6 定位臺閉環控制系統結構圖

根據控制器參數化和優化的方法，應滿足以下條件

式中：ωc、ω0分別為控制器和觀測器的帶寬。

采用均方根誤差（RMSE）和相對誤差（RE）兩種量化指標，定量比較自抗擾控制與逆模型前饋控制的控制效果。

3.1 遲滯逆模型前饋補償控制實驗

對定位臺輸入10 Hz 的單頻正弦波信號，采集定位臺的輸出位移與期望位移對比來驗證前饋補償控制器的控制效果，并繪制實驗位移輸出曲線，圖7 分別為前饋控制下10 Hz 時定位臺的期望輸出位移和實際輸出位移對比圖和誤差曲線圖。

圖7 前饋補償控制時間-位移響應曲線圖

通過前饋補償實驗可以得到，實際位移與期望位移存在一定的誤差，即均方根誤差RMSE為1.155 7 μm，相對誤差RE為2.111 4%，對于實測遲滯曲線有較好的提升效果，表明了前饋補償控制對于遲滯特性具有較好的補償。

3.2 定位系統自抗擾控制實驗

為了達到控制變量的效果，參考輸入同樣為10 Hz 的單頻信號，分別采用正弦輸入信號、三角波輸入信號、方波輸入信號進行自抗擾控制實驗驗證其控制效果。

選擇10 Hz 正弦波輸入信號：

10 Hz 三角波輸入信號：

10 Hz 方波輸入信號：

通過仿真實驗可以得到，如圖8 所示自抗擾控制時間-位移曲線圖。

圖8 自抗擾控制時間-位移響應曲線圖

為了更直觀地比較應用自抗擾控制對定位系統的控制精度，圖9 給出了自抗擾控制時間-位移跟蹤誤差曲線圖。逆模型前饋控制及自抗擾控制各輸入信號的控制誤差見表5。

表5 逆模型前饋控制及自抗擾控制各輸入信號的控制誤差

圖9 自抗擾控制時間-位移跟蹤誤差曲線

從實驗圖可以得出，升降曲線在大部分階段基本一致，表明在單頻輸入信號下，自抗擾控制能夠較有效地減小遲滯特性，然而在逆模型前饋補償控制下，誤差曲線整體呈現較大幅度。相比之下，經過自抗擾控制后，誤差曲線的幅度顯著減小；從控制誤差表的數據可以得出，自抗擾控制的系統均方根誤差較逆模型前饋補償控制下降了1.137～1.137 5 μm；對比系統相對誤差，自抗擾控制較逆模型前饋補償控制明顯更小、更穩定。

4 結語

（1）通過實驗進行對比分析，自抗擾控制較逆模型前饋補償控制具有更高的控制精度，但逆模型前饋補償控制對比未進行控制的實驗遲滯環，其控制精度也十分明顯。

（2）從跟蹤控制實驗數據中得出，自抗擾控制RMSE和RE都有明顯的下降，即控制誤差相對較低、精度更高，說明在單頻輸入信號下，自抗擾控制較逆模型前饋補償控制有更好的優越性。

（3）在刀具定位臺高控制精度的場合下，基于自抗擾補償控制算法更能滿足要求。