穩態滲流下非飽和土涵洞豎向土壓力的迭代解與簡化

張常光,吳 凱,孟祥忠,王曉輪

(1.長安大學 建筑工程學院,西安 710061; 2.地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室(成都理工大學),成都 610059; 3.中國兵器工業試驗測試研究院,陜西 華陰 714200)

涵洞是基礎設施中常見的地下構筑物,廣泛應用于交通、水利和油汽輸送等工程。隨著涵洞修筑地質水文環境的惡化以及長期服役性能退化,涵洞結構安全問題日益突出。豎向土壓力是涵洞結構設計考慮的主要荷載,也是影響涵洞結構安全的首要因素。根據埋設方式涵洞分為上埋式和溝埋式兩類,眾多學者基于飽和土力學對兩類涵洞豎向土壓力進行了系統研究[1-5]。然而,工程實踐中遇到的土體大多處于非飽和狀態[6-8],飽和狀態僅是非飽和狀態的一個特例,文獻[9]對回填非飽和砂土的混凝土涵洞豎向土壓力進行了現場實測,文獻[10]獲得了回填非飽和黏土時波紋管涵洞現場實測豎向土壓力的分布特征,探討非飽和土涵洞的豎向土壓力計算方法,可完善并優化涵洞結構設計理論。

關于非飽和土結構物豎向土壓力的理論研究,代表性進展有:文獻[11]推導了4種給定吸力分布下非飽和土Trapdoor問題的松動土壓力公式,文獻[12]建立了線性吸力分布下非飽和土淺埋隧道豎向土壓力的有效應力法解答,文獻[13]提出了線性與均勻兩種吸力分布下非飽和土上埋式涵洞的豎向土壓力解析解。上述非飽和土豎向土壓力公式均事先假定具體的吸力分布形式,難以反映土體類別、外界大氣環境(降雨入滲、靜水壓力和水分蒸發)所引發的吸力大小與分布變化,在實際工程應用中存在一些不適用情形,亟需構建不受具體吸力分布形式限制的非飽和土涵洞豎向土壓力解答。文獻[14]基于吸應力理論創立了非飽和土的有效應力強度公式,結合達西定律得到穩態滲流下基質吸力和吸應力的理論表達式,已在非飽和土地基承載力、邊坡穩定性等問題中得到實踐與檢驗[15-16]。同時,涵洞回填土內部的土拱效應顯著[17],假定圓弧小主應力軌跡是分析涵洞土拱效應的有效途徑[18]。

因此,本文首先以圓弧小主應力軌跡描述非飽和回填土的土拱效應,推導涵洞滑移面處的土壓力系數,繼而基于非飽和土的有效應力強度公式和吸應力理論,分別建立穩態滲流下兩類非飽和土涵洞的豎向土壓力迭代解,給出應用步驟并進行對比驗證與方法拓展,最后探討涵洞豎向土壓力迭代解的工程簡化。

1 基本理論

1.1 力學模型

鑒于涵洞長度多遠大于其橫斷面尺寸、涵洞與回填土存在明顯剛度差異以及兩類涵洞不同的施工方法,圖1給出了平面應變狀態下涵-土體系的兩種受力模型,其中B為箱型涵洞的寬度,h為箱型涵洞的高度,H為從涵頂算起的填土高度,地下水位Dw低于涵底,假定地基為剛體并忽略涵洞的結構變形,上埋式涵洞內/外土柱的非飽和回填土相同,溝埋式涵洞內土柱為非飽和回填土、外土柱為原狀地基土。

圖1 涵-土體系的受力模型

因為涵洞剛度大于回填土剛度,圖1(a)中上埋式涵洞內土柱沉降量小于外土柱沉降量而存在沉降差,進而外土柱對內土柱的摩擦力向下,當二者沉降量相等時出現等沉面及等沉面高度Hc。與上埋式涵洞內土柱摩擦力的方向相反,槽壁對圖1(b)中溝埋式涵洞內土柱的摩擦力向上。

1.2 非飽和土強度

文獻[14]定義的非飽和土有效應力σ′為

σ′=(σ-ua)-σs

(1)

式中:σ為總應力,ua為孔隙氣壓力,σ-ua為凈法向應力,σs為吸應力。

將式(1)代入Mohr-Coulomb準則的有效應力公式得

τf=c′+(σ-ua)tanφ′-σstanφ′

(2)

式中τf為土體抗剪強度,c′和φ′分別為飽和狀態下土體的有效黏聚力、有效內摩擦角。

式(2)為非飽和土基于吸應力理論的抗剪強度公式,其中吸應力σs的表達式為

(3)

式中:uw為孔隙水壓力,ua-uw為基質吸力,α近似為進氣值的倒數,n為無量綱的常數。

文獻[19]根據達西定理和Gardner模型求得穩態滲流下均質非飽和土的基質吸力為

(4)

式中:γw為水重度;ks為飽和滲透系數;q為穩態滲流量,存在水分蒸發(q>0)、靜水壓力(q=0)和降雨入滲(q<0)3種情況;q/ks為無量綱量,代表最小水力坡降和滲流強弱。

將式(4)代入式(3),得穩態滲流下均質非飽和土的吸應力σs為

(5)

1.3 土拱效應

因涵-土體系左右受力對稱,只取模型左側一半進行分析。在圖2(a)中,上埋式涵洞內土柱回填土產生土拱負效應,所形成的小主應力軌跡為虛線上凸拱;在圖2(b)中,溝埋式涵洞回填土產生土拱正效應,所形成的小主應力軌跡為虛線下凸拱。假定兩類涵洞不同深度處的小主應力軌跡均為圓弧,圓心在涵洞豎對稱軸上。

圖2 小主應力軌跡

以圖2(a)中上埋式涵洞滑移面處的A點為例,圖3(a)給出了水平薄層單元達到極限平衡時的Mohr應力圓,將其縱坐標向左平移c′cotφ′轉化為無黏性土,并在圖3(b)中標出A點應力。

圖3 薄層單元應力狀態及坐標平移后A點應力

新應力系的坐標為

(6)

(7)

2 公式推導

首先,在新應力系下由涵洞非飽和回填土拱效應與Mohr應力圓推導滑移面土壓力系數;其次,分析水平薄層單元的豎向力平衡,考慮上埋式/溝埋式涵洞滑移面摩擦力的方向差異,結合非飽和土吸應力理論分別建立兩類涵洞的豎向土壓力迭代解,其中上埋式涵洞需確定等沉面高度;最后,給出應用兩類涵洞豎向土壓力迭代解的步驟,同時對涵洞力學模型假定進行了方法拓展。

2.1 上埋式涵洞

2.1.1 滑移面土壓力系數

(8)

式中θ為A點有效大主應力作用面與水平面的夾角,且θ=45°+φ′/2對應有效小主應力達到最大偏轉、土拱效應充分發揮。

(9)

式中ψ為D點有效大主應力作用面與水平面的夾角,且θ≤ψ≤180°-θ。

(10)

(11)

式中R=0.5B/cosθ為圓弧半徑。

(12)

根據非飽和土的有效應力式(1),由式(12)得舊應力系下滑移面凈水平應力σhA-ua為

(13)

式中(σz-ua)為深度z處的凈豎向應力。

2.1.2 豎向土壓力解答

在圖2(a)深度z處(H-Hc≤z≤H)取一水平薄層單元,假定豎向土壓力沿涵洞寬度方向為均勻分布,圖4為該單元的受力分析。

圖4 上埋式涵洞水平薄層單元

通過水平薄層單元的豎向力平衡得

γBdz+2τdz-Bd(σz-ua)=0

(14)

式中γ為回填土的重度,τ為滑移面摩擦力。

在滑移面處非飽和土達到極限平衡,滑移面摩擦力τ等于土體抗剪強度τf,表明土拱效應已充分發揮即θ=45°+φ′/2,聯合式(2)和式(13)得

τ=c′+(σhA-ua)tanφ′-σstanφ′=

(15)

將式(5)和式(15)代入式(14)得

(16)

可見,式(16)為有關凈豎向應力σz-ua的一階線性非齊次微分方程,其通解為

(17)

(18)

式中Δz為深度迭代的步長,選取0.1、0.05或0.01 m以滿足精度要求。

當存在等沉面時,式(18)以等沉面z=H-Hc處σz-ua=γ(H-Hc)為初值條件,迭代步數為Hc/Δz;不存在等沉面時,以填土面z=0處σz-ua=0為初值條件,迭代步數為H/Δz。

2.1.3 等沉面高度

按土力學通常做法,壓縮變形計算時假定回填土為理想的線彈性體,記內土柱在深度z(>H-Hc)處的豎向土壓力為(σz-ua)I,外土柱在深度z處的豎向土壓力(σz-ua)II近似為

(σz-ua)II=γz

(19)

由于內土柱豎向土壓力大于土體自重而側向膨脹,外土柱隨之產生側向壓縮,內外土柱間的側向壓力可取為

(20)

式中:μ為回填土的泊松比,μ/(1-μ)為回填土的靜止土壓力系數。

根據分層總和法與廣義Hooke定律,平面應變狀態下內土柱的壓縮量SI為

(21)

式中:E為回填土的彈性模量,m1為等沉面至涵頂的回填土分層數。

取一側外土柱范圍L為箱型涵洞寬度B的1.5倍[9],外土柱的壓縮量SII包括涵頂以上和涵側兩部分,同理得平面應變狀態下外土柱的壓縮量SII為

(22)

式中m2為涵頂至原地面的回填土分層數,對應涵側外土柱的壓縮變形。

當內土柱沉降量SI等于外土柱沉降量SII即SI=SII時,由式(21)=式(22)求出等沉面高度Hc,這在一定程度上體現了由土拱效應引起內/外土柱的豎向土壓力變化。

2.2 溝埋式涵洞

按照節2.1.1的分析思路,得圖2(b)中溝埋式涵洞滑移面處的凈水平應力σhJ-ua為

(23)

圖5為溝埋式涵洞水平薄層單元的受力情況,根據其豎向力平衡和2.1.2節求解步驟,得有關凈豎向應力σz-ua的一階線性非齊次微分方程為

(24)

圖5 溝埋式涵洞水平薄層單元

因式(24)的右邊第3項積分在微分方程通解中不能顯式表達,需結合填土面z=0處σz-ua=0的初值條件,由式(18)和式(24)迭代計算溝埋式涵洞的凈豎向應力σz-ua,迭代步數為H/Δz。

2.3 應用步驟

需注意的是,首先,以上均針對可忽略涵洞結構變形的剛性涵洞(管土相對剛度α≥1,如鋼筋混凝土涵洞、碎石涵洞等),而柔性涵洞(管土相對剛度α<1,如薄壁鋼管涵洞、波紋管涵洞等)需考慮涵洞結構變形SG的影響,將剛性涵管結果乘以剛度影響系數ξ,且2.1.3節中等沉面形成條件變為SI+SG=SII。其中,α、ξ和SG的表達式[18,20]為

(25)

式中:EP為涵洞材料的彈性模量,E0為回填土的變形模量,t為涵洞壁厚,r=(B-t)/2為涵洞內半徑。

其次,對于其他假定的方法拓展(上埋式涵洞):1)非剛性地基,將本文剛性地基結果乘以地基類型影響系數[20];2)豎向土壓力分布的非線性,將本文均勻分布結果乘以圓弧小主應力軌跡的應力分布系數[18];3)非箱型涵洞,以涵高上下水平線、涵寬左右豎向線圍成的矩形斷面替代;4)地下水位在涵頂以上或涵頂以下而原地面以上,需區分地下水位以上為非飽和土、以下為飽和土。

3 對比驗證

通過對比涵洞頂部z=H處豎向土壓力的現場實測數據[9-10]和有效應力法公式[12],以驗證本文迭代解的正確性以及對非飽和土涵洞的適用性。

3.1 現場實測(非飽和砂土)

文獻[9]對高填方上埋式鋼筋混凝土拱型涵洞的豎向土壓力進行了現場測試,涵洞周圍為非飽和砂土,最大填土高度為18 m,地下水位在原地面以下5 m處。文獻[9]中實測涵頂豎向土壓力集中系數隨填土高度變化以及數值模擬回填土沉降等值線分布,驗證了滑移面處土體已達到極限平衡、土拱效應充分發揮。圖6為本文計算涵頂豎向土壓力(水分蒸發狀態)與文獻[9]現場實測的對比,等沉面高度Hc(藍線)一并給出以選擇迭代計算的初值條件(下同圖7),其中B=h=7.5 m,Dw=H+h+5,γ=20 kN/m3,c′=0 kPa,φ′=20°,E=30 MPa,μ=0.27;依據文獻[19]設定α=0.2 kPa-1,n=4.2,ks=3×10-4m/s,q=1.15×10-8m/s。

圖6 與非飽和砂土現場實測豎向土壓力的對比

圖7 與非飽和黏土現場實測豎向土壓力的對比

由圖6可知,本文計算涵頂豎向土壓力與文獻[9]現場實測值吻合良好,平均相對誤差絕對值為7.5%,表明式(16)和式(18)可用于分析非飽和砂土上埋式涵洞的豎向土壓力。

3.2 現場實測(非飽和黏土)

文獻[10]開展了高填方上埋式波紋管涵洞豎向土壓力的現場試驗,回填土為非飽和黏土,最大填土高度為24 m,地下水位在原地面以下4 m處;文獻[10]中涵頂沉降實測值隨填土高度變化以及涵頂豎向土壓力實測值出現區域集中,驗證了滑移面處土體已達到極限平衡、土拱效應充分發揮。由式(25)得管土相對剛度α=3.5×10-4<1,可知屬于柔性涵洞且剛度影響系數ξ=0.265。

圖7為本文涵頂豎向土壓力計算值(水分蒸發狀態)與文獻[10]的實測值(填土高度H為0、2、4、8、10、16、20、24 m時涵頂實測土壓力)對比,其中B=h=4.011 m,Dw=H+h+4,t=5.5 mm,Ep=2×105MPa,γ=15.2 kN/m3,c′=35.8 kPa,φ′=24°,E=20 MPa,E0=12 MPa,μ=0.35;依據文獻[19]設定α=0.005 kPa-1,n=1.4,ks=5×10-8m/s,q=1.15×10-8m/s。

由圖7可知,本文迭代解較好地預測了非飽和黏土上埋式柔性涵洞的涵頂豎向土壓力,與現場實測的平均相對誤差絕對值為8.2%,說明式(16)和式(18)對求解非飽和黏土涵洞豎向土壓力具有一定的適用性。

3.3 理論公式

文獻[12]基于非飽和土的Bishop有效應力原理,結合線性吸力分布(對應穩態滲流量q為零的靜水壓力狀態),建立了非飽和土淺埋隧道豎向土壓力的有效應力法解答。淺埋隧道可視為不存在涵槽的溝埋式涵洞,隧道上方土體受力情況與圖5類似。圖8為本文不同深度z處計算豎向土壓力與文獻[12]有效應力法解答的對比,其中B=h=10 m,Dw=10 m(地下水位在涵頂處),H=10 m(最大填土高度),γ=14.2 kN/m3,c′=0 kPa,φ′=30°,α=0.246 kPa-1,n=1.461,ks=5×10-4m/s,q=0 m/s。

圖8 與有效應力法解答的對比

由圖8可知,本文計算豎向土壓力與文獻[12]的有效應力法解答接近且變化趨勢一致,豎向土壓力平均差異率的絕對值為10.7%,但本文計算豎向土壓力均高于有效應力法解答,這是因為文獻[12]假定滑移面土壓力系數等于1,相比本文考慮土拱效應的滑移面土壓力系數小于1,此假定使溝埋式涵洞內土柱回填土自重過多地轉移給槽壁,進而有效應力法解答偏小。此外,本文可根據實際情況選取不同的穩態滲流量q,以分析降雨入滲和水分蒸發時的豎向土壓力變化。

4 工程簡化

囿于迭代計算隱式和冗長,第2節涵洞豎向土壓力迭代解在實際工程應用中欠缺簡便性。因此,分析3類非飽和回填土吸應力沿深度的分布規律,提出可顯式表達的涵洞豎向土壓力簡化實用公式,并進行準確性和合理性檢驗。

4.1 吸應力分布

假定地下水位Dw=10 m,由式(5)得砂土、粉土和黏土的吸應力(取絕對值)沿深度的分布情況,如圖9所示。

圖9 吸應力分布

由圖9可知,砂土的吸應力很小且基本不受穩態滲流量q影響,而粉土和黏土的吸應力受穩態滲流量q影響較顯著,尤其是黏土。此外,粉土的吸應力在地表下一定深度內呈現非線性變化,黏土的吸應力近似符合線性分布。

4.2 實用公式

根據不同類型回填土的吸應力分布規律,以剛性涵洞為例對第2節豎向土壓力迭代解進行實用性簡化,柔性涵洞可按第2.3節修正。

對于砂土,因其吸應力σs很小而忽略即認為吸應力σs=0 kPa,此時對式(16)和式(24)積分得非飽和砂土涵洞豎向土壓力的實用公式為

a)上埋式涵洞

不存在等沉面時,

(26)

存在等沉面時,

(27)

b)溝埋式涵洞

(28)

對于粉土和黏土,假定吸應力σs沿深度線性減少且在地下水位Dw處為零。以填土面處的吸應力σs0為基準,深度z處的吸應力σs可表示為

(29)

于是,結合式(29)對式(16)和式(24)積分得非飽和粉土或黏土涵洞豎向土壓力的實用公式為

c)上埋式涵洞

不存在等沉面時,

(30)

存在等沉面時,

(31)

d)溝埋式涵洞

(32)

對式(27)與式(30)中的等沉面高度Hc,仍需由式(33)=式(34)即SI=SII確定。

(33)

(34)

為說明上述涵洞豎向土壓力實用公式的準確性,設定某剛性涵洞算例:涵洞的高度h為2.4 m,最大填土高度H為10 m;上埋式涵洞寬度B=2.4 m、溝埋式涵洞寬度B=5 m,地下水位在原地面以下2 m,3類非飽和回填土的參數按表1取值。

表1 非飽和回填土參數

圖10為涵洞豎向土壓力實用公式與第2節迭代解的比較,右縱坐標和點劃線代表豎向土壓力差異率δ,紅線對應上埋式涵洞,綠線對應溝埋式涵洞。

圖10 豎向土壓力實用公式計算值與迭代解的比較

由圖10可知,上埋式涵洞由實用公式得到的豎向土壓力相比迭代解略偏小,溝埋式涵洞由實用公式得到的豎向土壓力相比迭代解略偏大,具體表現為:無論是上埋式還是溝埋式涵洞,圖10(a)、10(b)中砂土涵洞的豎向土壓力差異率δ接近0%,圖10(c)、10(d)中粉土涵洞的豎向土壓力差異率δ在±10%以內;對于圖10(e)、10(f)中黏土涵洞的豎向土壓力差異率δ,上埋式涵洞在-5%以內,溝埋式涵洞在+10%以內。因此,所提涵洞豎向土壓力實用公式對穩態滲流下3類非飽和回填土均具有較好的適用性。

另外,粉土吸力非線性分布使得上埋式粉土涵洞實用公式的豎向土壓力偏小且差異率δ約為-10%,可將式(30)和式(31)乘以修正系數1.1以更好地應用于上埋式粉土涵洞。為驗證所提非飽和土涵洞豎向土壓力實用公式的預測合理性,將其計算豎向土壓力與第3節中文獻[9-10,12]的實測和理論公式數據進行對比,如圖11所示。

圖11 豎向土壓力實用公式計算值與文獻數據的對比

由圖11可知,實用公式計算豎向土壓力與上埋式砂土涵洞、上埋式黏土涵洞、溝埋式砂土涵洞的實測和理論公式數據吻合良好,平均相對誤差絕對值分別為6.5%、9.6%和12.2%,精度與迭代解相當,表明豎向土壓力實用公式可用于估算涵洞主要荷載。另外,未找到粉土涵洞和溝埋式黏土涵洞的豎向土壓力實測數據,下一步將開展豎向土壓力實用公式在粉土涵洞和溝埋式黏土涵洞中的應用合理性研究。

5 結 論

1)結合非飽和土有效應力強度公式、吸應力理論和滑移面土壓力系數,所建立的穩態滲流下涵洞豎向土壓力迭代解與應用步驟能合理反映土體類別、土拱效應和外界大氣環境變化下吸應力大小與分布的綜合影響,并對所作假定給出了一些方法拓展。

2)通過與文獻現場實測和理論公式數據對比的良好吻合,驗證了所得涵洞豎向土壓力迭代解的正確性以及對非飽和土涵洞的適用性,進而基于吸應力沿深度分布規律,提出可顯式表達的涵洞豎向土壓力簡化實用公式,用于估算不同穩態滲流下的涵洞主要荷載。