一類具有垂直傳染的傳染病模型的穩定性

郝艷榮,趙春

(天津師范大學數學科學學院,天津 300387)

1.引言

傳染病一旦出現以及蔓延會嚴重危及人類生命健康,尤其面對新型復雜的傳染病類型,初期只能從宏觀上對其進行預防和控制,很難科學地從根本上進行防控,因此及時發現并探究各類傳染病的內在傳播機制是極為重要的.通過建立傳染病動力學模型可有效的描述疾病發展變化的過程和傳播規律,預測疾病發展趨勢,并能為預防控制疾病提供決策依據.為了使模型更加符合實際,許多關于傳染病模型的文獻考慮了不同的倉室并討論了相應模型的穩定性[1].文[2]以COVID-19為背景,研究了基于存在基礎病史易感者的SEIR模型的穩定性.文[3]在假設總人口為常數的情況下研究了一類具有水平和垂直傳播的傳染病模型.文[4]基于LI等人的研究進一步討論了一類含潛伏期,染病者有病死且具標準傳染率的SEIR傳染病模型.文[5]針對COVID-19的傳播特性和新生兒患病案例的出現,提出了一類具有垂直傳染風險及潛伏者感染性的SEIR傳染病動力學模型.文[6]研究了一類具有垂直傳播和飽和發病率的傳染病模型.但是在具有基礎病史易感者的基礎上考慮垂直傳染的研究還較少,本文在二者結合的基礎上,增加了隔離治療者倉室,建立了一類具有垂直傳染的傳染病模型.

2.模型的建立

本文模型共建立六個倉室,分別為無基礎病史的易感者(S1),有基礎病史的易感者(S2),具感染的潛伏者(L),染病者(I),隔離治療者(Q)和移出者(R).假設母體為有基礎病史的新生兒為無基礎病史易感者;母體為具感染的潛伏者,染病者和隔離治療者的新生兒具被垂直傳染的可能;隔離治療者不具備傳染他人的可能以及該疾病無因病致死的可能.所以,根據傳染病的動力學方法建立如下傳染病模型:

其中N(t)=S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)+R(t),模型中的參數均為正常數.β1是因具感染的潛伏者由S1轉為L的傳染率.β2是因染病者由S1轉為L的傳染率.β3是因潛伏感染由S2轉為L的傳染率.β4是因染病者由S2轉為L的傳染率.b是自然出生率.p是垂直傳染率.μ是自然死亡率.ξ是由S1轉為S2的轉移率.δ是由L轉為I的轉移率.η是由I轉為Q的轉移率.θ是由L轉為Q的轉移率.γ是由Q轉為R的恢復率.初始條件N(0)=S1(0)+S2(0)+L(0)+I(0)+Q(0)+R(0),S1(0)>0,S2(0)>0,L(0)>0,I(0)>0,Q(0)>0,R(0)>0.

下面說明系統(2.2)所有滿足初始條件的解的正定性和有界性.

定理2.1對任意t>0,系統(2.2)所有滿足初始條件的解(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t))均滿足0

證首先,對系統(2.2)的第一式有

即

令t1=sup{t>0 :S1(t)>0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0,R(t)>0}>0,則當t ∈(0,t1]時,式(2.3)可寫為

再令t2=sup{t>t1:S1(t)>0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0,R(t)>0}>0,則當t ∈(t1,t2]時,有

依次向后延拓,可得對任意t>0,S1(t)>0成立.同理對系統(2.2)還可證得對任意t>0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0,R(t)>0均成立[7].又N?=S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)+R(t),所以對任意t>0,系統(2.2)所有滿足初始條件的解(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t))均滿足0

因系統(2.2)中只有第6個方程含有R,故可以只考慮以下系統:

通過以上分析,可得系統(2.4)有正不變集D={(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t))∈R5|S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0}.

3.平衡點和基本再生數

令x=(L,I,Q,S1,S2)T,則系統(2.4)可改寫為矩陣形式

計算F(x)和V(x)的Jacobian矩陣,得：

從而,F(x)和V(x)在無病平衡點處的Jacobian矩陣分別為：

進而,借助下一代矩陣法[8],得到系統(2.4)的基本再生數R0的表達式,即

且顯然m1,m2,m3均大于0.

下面求系統(2.4)的地方病平衡點E?=(,,L?,I?,Q?).

首先,由f1(t)=0,f2(t)=0,f4(t)=0和f5(t)=0得

且f′(I)<0,即f(I)是區間[0,N?]上關于I的單調遞減函數.由根的唯一性定理,當且僅當滿足條件f(0)>0,即R0>1時,方程f(I)=0在區間(0,N?)上有唯一根.所以,當R0>1,b>m3時,可知系統(2.2)存在唯一的地方病平衡點E?.

此外,將f(I)=0整理為一元二次方程形式,有

其中

易知a1<0,方程(3.2)有唯一正根

通過以上的分析,得出以下地方病平衡點的存在唯一性定理.

定理3.1若R0>1,b>m3,則系統(2.4)的地方病平衡點E?存在且唯一.

4.平衡點的穩定性

定理4.1若R0<1,η>γ,則系統(2.4)在無病平衡點E0處局部漸近穩定;若R0>1,則系統(2.4)在無病平衡點E0處不穩定.

證系統(2.4)的Jacobian矩陣為

在無病平衡點E0處有

由此得到兩個具有負實部的特征根λ1=-ξ-μ,λ2=-μ,且其余特征根λ3,λ4,λ5滿足

進而，可知當R0<1時,

同時,當η>γ時,

根據Routh-Hurwitz判別法[9],當R0<1,η>γ時,方程(4.1)的一切根具有負實部,進而證得系統(2.4)在無病平衡點E0處局部漸近穩定.

當R0>1時,顯然a6<0,由根與系數的關系知

故λ3,λ4,λ5中至少有一個正根,所以在無病平衡點E0處不穩定.

定理4.2若R0<1,則系統(2.4)在無病平衡點E0處全局漸近穩定.

證構造Lyapunov函數

其中ui(i=1,2,3)為待定的正數.易知只有在無病平衡點E0處,V1=0.否則,V1>0.現對V1關于系統(2.4)求導,可得

下面討論地方病平衡點的局部漸近穩定的充分條件.

易知系統(2.4)在地方病平衡點E?處的Jacobian矩陣為

則A|E?對應的特征方程如下

可列出相應的勞斯表,如表4.1 所示,其中

表4.1 勞斯表

由Routh判據[11]知,當R0>1,b>m3,ai>0(i=7,···,11),b1>0,c1>0,d1>0時,系統(2.4)在地方病平衡點E?處局部漸近穩定.綜上可得如下結論:

定理4.3若R0>1,b>m3,ai>0(i=7,···,11),b1>0,c1>0,d1>0,則系統(2.4)的地方病平衡點E?是局部漸近穩定的.

定理4.4若R0>1,b>m3,則系統(2.2)存在唯一的地方病平衡點且在其地方病平衡點處全局漸近穩定.

5.數值模擬和討論

下面進行數值模擬,驗證穩定性的主要結論.

對系統(2.4),取初始值S1(0)=0.54,S2(0)=0.08,L(0)=0.1,I(0)=0.08,Q(0)=0.11,R(0)=0.09及參數β1=0.3,β2=0.35,β3=0.4,β4=0.55,δ=0.3,η=0.8,ξ=0.05,γ=0.45,θ=0.5,b=0.007,p=0.003,μ=0.007.經計算知,此時基本再生數R0=0.7226<1.同時,觀察圖5.1,得系統(2.4)在無病平衡點處全局漸近穩定.

圖5.1 無病平衡點的穩定性

同樣的,取系統(2.2)中的初始值S1(0)=0.54,S2(0)=0.08,L(0)=0.1,I(0)=0.08,Q(0)=0.11,R(0)=0.09及參數β1=0.45,β2=0.6,β3=0.5,β4=0.664,δ=0.15,η=0.85,ξ=0.05,γ=0.25,θ=0.4,b=0.007,p=0.003,μ=0.007,得基本再生數R0=1.0929>1.此時,圖5.2顯示呈漸近穩定性態,說明系統(2.2)的地方病平衡點是全局漸近穩定的.

圖5.2 地方病平衡點的穩定性