多維探究課本例題 發展學生核心素養

彭光焰

(湖北省廣水市一中,湖北 廣水 432700)

教材是重要的課程資源,這是毋庸置疑的.教材中有的例習題具有拓展性,可以設計為具有科學探究價值的問題或課題,以此為載體,引導學生合理運用科學的思維方法,分析問題或進行深入研究.對于廣大學生提高核心認知品質,發展關鍵能力,進而提升學科核心素養,具有深遠意義.

1 課本例題,探究之源

題目如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,OM⊥AB并與AB相交于點M,求點M的軌跡方程[1].

圖1 課本例題圖

此題是人教社A版(2007年1月第2版)普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4《坐標系與參數方程》第33頁例3.

2 解法探究,曲徑通幽

思路1設A,B兩點坐標,分別寫出直線AB,OM方程,充分利用OA⊥OB這一條件,即可求出點M的軌跡方程.

即(y1+y2)y-2px-y1y2=0.

由OA⊥OB,有y1y2=-4p2.

故(y1+y2)y-2px+4p2=0.

①

②

將②代入①整理,得

x2+y2-2px=0(x≠0).

當y1+y2=0時,點M的坐標是(2p,0),此時點M的坐標滿足方程x2+y2-2px=0(x≠0).

因此,點M的軌跡方程是x2+y2-2px=0(x≠0).

思路2利用kAB·kOM=-1建立等式,消去參數得軌跡方程.

y2-(y1+y2)y+(y1+y2)y0-2px0=0.

故y1y2=(y1+y2)y0-2px0.

又y1y2=-4p2,

當y1+y2=0時,點M的坐標是(2p,0),此時點M的坐標滿足方程x2+y2-2px=0(x≠0),

因此,點M的軌跡方程是x2+y2-2px=0(x≠0).

思路3充分挖掘已知條件,由已知我們易知直線與x軸交于定點N(2p,0),這樣一來,問題就好解決了.

解法3設M(x,y),由解法1中的①式,即

(y1+y2)y-2px+4p2=0.

易得 (y1+y2)y-2p(x-2p)=0.

故直線AB過定點N(2p,0).

即x2+y2-2px=0(x≠0).

因此,點M的軌跡方程是x2+y2-2px=0(x≠0).

思路4建立直線AB的斜截式方程y=kx+b,然后y=kx+b與y2=2px聯立,并利用已知條件OA⊥OB,用p和b表示k,把k代入y=kx+b,也可以得到直線AB過定點N(2p,0).

解法4 設直線AB的方程為y=kx+b(bk≠0),

k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.

設A(x1y1),B(x2,y2),則

故y1y2=(kx1+b)(kx2+b)

③

又由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0.

④

故直線AB過定點N(2p,0),下同解法3.

即(2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0.

所以t1t2=-1.

⑤

所以x(t1+t2)+y=0.

⑥

化簡,得x-(t1+t2)y+2pt1t2=0.

⑦

即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點M的軌跡方程.

設點M的坐標為(x,y),則

由A,B,M三點共線可得

⑧

由OM⊥AB,得kAB·kOM=-1.

⑨

當k≠±1時,點M的坐標是(2p,0),此時點M的坐標滿足方程x2+y2-2px=0(x≠0).

即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點M的軌跡方程.

解法7設點M,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2).

所以x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

⑩

=p|y2-y1|.

又|y1-y2|≠0,即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點M的軌跡方程.

思路8 設點M,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),求出AB的斜率,利用OM⊥AM,OM⊥BM,OM⊥AB,再由平面向量有關知識可求出點M的軌跡方程.

由OA⊥OB易得y1y2=-4p2.

所以2x2+2y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,

=0,

=0.

即x2+y2-2px=0(x≠0),這就是點M的軌跡方程.

思路9M是Rt△AMO與Rt△BMO的交點,也就是以OA為直徑的圓與以OB為直徑的圓的交點,這樣可以利用圓的直徑式方程求解.

化簡,得y1y2=-4p2.

以OA為直徑的圓的方程為

以OB為直徑的圓的方程為

把y1·y2=-4p2代入,得

思路10 利用極坐標求軌跡方程.在利用極坐標求曲線方程時,關鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件,將它用極坐標表示,再通過代數變換進行化簡.而且,與用平面直角坐標求曲線方程相比,求它的極坐標方程更加簡便,代數變換更加直接.根據題目的要求可以把極坐標方程化成直角坐標方程.

解法10 由求軌跡方程解法1中的①式知直線AB過定點N(2p,0).

3 根植沃土,橫縱拓展

解答完例3之后,課本給出了“探究:在例3中,點A,B在什么位置時,△AOB的面積最小?最小值是多少?”這可以看成是例3的變式,教參給出的解答是解法1,在此給出“探究”的多種解法.

探究1如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,當點A,B在什么位置時,△AOB的面積最小?最小值是多少?

解法1 由例3(課本上例3)可得

≥4p2,

當且僅當t1=-t2,即當點A,B關于x軸對稱時,△AOB的面積最小,最小值為4p2.

解法2 設A(x1,y1),B(x2,y2).

由OA⊥OB,易知

x1x2+y1y2=0,x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

當且僅當x1=x2且y1=-y2,即當點A,B關于x軸對稱時,△AOB的面積最小,最小值為4p2.

由OA⊥OB,易知

當且僅當x1=x2且y1=-y2,即當點A,B關于x軸對稱時,△AOB的面積最小,最小值為4p2.

當k=±1時上式等號成立,即當點A,B關于x軸對稱時,△AOB的面積最小,最小值為4p2.

解法5 由求軌跡方程解法3知直線AB過定點N(2p,0),

可設直線AB的方程為x-2p=ty,A(x1,y1),B(x2,y2),

y2-2pty-4p2=0.

所以y1+y2=2pt,y1y2=-4p2.

當且僅當t=0時,上式等號成立.即當點A,B關于x軸對稱時,△AOB的面積最小,最小值為4p2.

解法6 把y2=2px化成極坐標方程

探究2 如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,求|AB|的最小值.

x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

=4p,

當且僅當y1=-y2時等號成立,所以|AB|的最小值為4p.

解法2 由求軌跡方程解法3知直線AB過定點N(2p,0),可設直線AB的方程為x-2p=ty,A(x1,y1),B(x2,y2).

所以y1+y2=2pt,y1y2=-4p2.

≥4p,

當且僅當t=0時等號成立,所以|AB|的最小值為4p.

探究3如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,求|OA|+|OB|的最小值.

x1x2=4p2,y1y2=-4p2.

當且僅當y1=-y2時等號成立,

探究4如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,求△OAB周長的最小值.

探究5如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,求證直線AB與x軸相交于定點,并求定點坐標.

其解法見求軌跡方程解法3.

探究6O是直角坐標原點,M(2p,0),過點M作直線交拋物線y2=2px(p>0)異于頂點的A,B兩動點,則OA⊥OB.

所以y1+y2=2pt,y1y2=-4p2.

探究5與探究6互為充要條件.

探究7O是直角坐標原點,T是拋物線y2=2px(p>0)上的定點,過T作拋物線兩條互相垂直的弦TA與TB,A,B都異于原點,則直線AB過定點.

證明設T(2pm2,2pm),A(2pa2,2pa),B(2pb2,2pb),其中m為常數,a+b≠0.

所以(2pa2-2pm2)(2pb2-2pm2)+(2pa-2pm)(2pb-2pm)=0.

即(a+m)(b+m)+1=0.

則ab+(a+b)m+m2+1=0.

則ab=-(a+b)m-m2-1.

化簡,得(a+b)y=x+2pab.

則(a+b)y=x+2p[-(a+b)m-m2-1].

則(a+b)(y+2mp)=x-2p(m2+1).

故直線AB過定點Q(2p(m2+1),-2mp).

探究8如圖1,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,過A,B分別作拋物線的切線,則兩切線交點在定直線上.

由兩切線方程聯立求解得x=-2p.

故兩切線交點在定直線x=-2p上.

探究9O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p>0)異于頂點的兩動點,過A,B分別作拋物線的切線,若兩切線的交點在直線x=-2p上,則OA⊥OB.

又x=-2p,

所以y1y2=-4p2.

所以OA⊥OB.

探究10已知雙曲線的中心為O,實軸、虛軸的長分別為2a,2b(b>a>0),A,B分別為雙曲線上的兩點,且OA⊥OB.

(2)求△AOB面積的最小值.

將雙曲線的直角坐標方程化為極坐標方程,得

(2)由(1)知

4 溯源教材,升華思想

波利亞在《怎樣解題》一書中寫道:“好的題目和某種蘑菇有點相似之處,它們能成串生長,找到一個以后,再四處看看,很有可能在附近的地方能找到更多.”

題1如圖2,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:OA⊥OB.

圖2 題1圖

題1是人教版(2004年6月第1版)全日制普通高級中學教科書(必修)《數學》第二冊(上)第八章圓錐曲線方程第126頁小結與復習例2,課本給出了該題的兩種證法.

人教A版(2007年2月第2版)普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1第二章圓錐曲線與方程第73頁習題2.4第6題也是該題,只是給出的形式不同,一個是例題一個是習題.

題2 如圖3,已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點D,點D的坐標為(2,1),求p的值.

題2是人教A版(2007年2月第2版)普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1第二章圓錐曲線與方程第80頁復習參考題B組第3題.

人教A版(2020年5月第1版)普通高中教科書《數學》選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程第145頁第10題也是該題.

題3經過拋物線y2=2px(p>0)的頂點O任作兩條互相垂直的線段OA和OB(點A,B均在拋物線上),以直線OA的斜率k為參數,求線段AB的中點M的軌跡的參數方程.

題3是人教A版(2007年1月第2版)普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4《坐標系與參數方程》第二講參數方程第34頁習題2.2第5題.

題4已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上的兩點,且OA⊥OB.

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

題4是人教A版(2007年1月第2版)普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4《坐標系與參數方程》第一講坐標系第15頁習題1.3第6題.

5 結束語

高中數學學科核心素養包括數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數據分析、數學抽象.對課本例習題進行多解多變有利于發展學生的思維品質,從而獲得正確的數學觀念,增進科學態度和責任.教師不僅要結合教學實際情況創設多種探究情境,以此激發學生的學習動機,還要通過積極改進和創新,引導學生大膽嘗試,養成敢于批判質疑和勇于創新的精神.對于學生獨特的解決問題的方法,教師更應該重視,適時給予鼓勵,讓學生體驗成功的喜悅,激發學生的創造熱情,最終達到發展學生核心素養的目的.