關注通性通法 提升運算素養
——對2023年天津卷第18題的解法探究

周宗杰 周 鑫 濮偉宇

(1.山南市第二高級中學,西藏 山南 856099;2.淮北市第一中學,安徽 淮北 235000)

“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問題必不可少的重要數學方法,也是解決解析幾何問題的通性通法,如果學生能夠對這兩種方法熟練掌握,那么對于大部分解析幾何問題都會迎刃而解.下面就結合2023年高考天津卷第18題對“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應用進行分析,為我們的教學提供借鑒與參考,以期起到拋磚引玉的作用.

1 原題再現

(1)求橢圓方程及其離心率;

(2)已知點P是橢圓上一動點(不與端點重合),直線A2P交y軸于點Q,若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍,求直線A2P的方程.

2 解法分析

對于解析幾何問題通常可以從“解析”和“幾何”兩個角度進行分析.從解析法來處理問題,可以選擇“設點”為突破口,或者“設線”為突破口,下面就從“設點”和“設線”的角度,用解析法來處理該問題.

解法1解析法——“設點”.

解法1從設橢圓上動點P(x0,y0)的坐標為入手點,直接翻譯題目所給信息S△A1PQ=2S△A2FP,同時結合三角形面積公式,獲得關于x0的方程,求得點P的坐標,最終求出直線A2P的方程.

解法2 解析法——“設線”.

設直線A2P的方程為y=k(x-2),令x=0,可得yQ=-2k,即點Q坐標為Q(0,-2k).

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

結合S△A1PQ=2S△A2FP可知12|k|=|16k3-12k|,

解法2從設直線A2P的方程入手,由于該直線A2P與橢圓恒有一個交點A2(2,0),因此考慮聯立直線A2P與橢圓的方程,消去y整理成關于x的一元二次方程,則xA2=2必為該方程的一解,由此結合韋達定理可以求出點P的橫坐標xP,進而結合三角形面積公式,直接翻譯S△A1PQ=2S△A2FP,獲得關于斜率k的方程,解得斜率,進而寫出直線A2P方程.

“解析幾何”問題本質上仍然是“幾何”問題,“解析”只是解決“幾何”問題的方法,因此很多情況下我們不妨返璞歸真,從幾何的角度來分析問題,用“幾何法”來解決問題.

解法3幾何法.

即S△A2A1P=2S△A1PQ.

將△A1A2P與△A1QP看成以A2P和QP為底的三角形,則它們的高相同,結合S△A2A1P=2S△A1PQ,可知|A2P|=2|QP|.

解法3從幾何關系S△A1PQ=2S△A2FP出發,并結合橢圓的簡單幾何性質進行分析,獲得A2P與PQ的長度關系|A2P|=2|QP|,接下來通過分類討論來處理問題,獲得問題的解.

3 追根溯源

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)求直線l的方程.

本題中的直線l恒過定點F(1,0),該點是橢圓C的焦點,不在橢圓上.因此如果將直線l與橢圓C聯立,消掉y(或x),得到關于x(或y)的一元二次方程,該方程的兩個解均不易求出.如果采用引例解法1和解法2處理該題,運算量顯然比較大,而且不易解決.

由韋達定理可得

4 結束語

對比引例和本題的解法可以發現,兩題的題干信息十分相似,在解決問題的方法上也有一定的可借鑒性,但是,由于細微的差別,導致同一種方法在解決這兩個問題時所面對的運算量是不同的,這就要求我們要善于開展數學變式教學,組織學生開展數學探究活動,關注問題處理的通性通法和不同問題的細微差別,提高學生的運算能力和運算素養[1].