2023年高考數學新課標全國Ⅰ卷壓軸題的題源及推廣

甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

2023年高考數學新課標全國卷壓軸題(即第22題)是一道平面解析幾何題,但涉及不等式問題.文章給出了這道題的題源及推廣,由得到的推廣容易編擬出大量的類似題目.

1 一道高考壓軸題

(1)求W的方程;

2 高考壓軸題的題源

題2 (1998年上海市高中數學競賽試題第三題)如圖1,已知一個正方形的三個頂點A,B,C均在拋物線y=x2上,求該正方形面積的最小值.

圖1 例2題圖

假設x1,x2,x3均是非負數,由AB⊥BC,可得

即(1,x2+x1)·(1,x3+x2)=1+(x2+x1)(x3+x2)=0.

即(x2+x1)(x3+x2)<0.

所以x1,x2,x3不可能均是非負數也不可能均是非正數,即x1,x2,x3中有負數也有正數,因而x1<0

kABkBC=(x1+x2)(x2+x3)=-1<0.

若kAB<0,則kBC>0.

若kAB=x1+x2>0,由x1<0,可得x2>0.

再由x10.總之,kBC>0.

再由弦長公式[1],可得

由均值不等式及平方平均≥算術平均,可得

k2+1≥2k(當且僅當k=1時取等號),

3 對題1(2)結論的推廣

圖2 定理1證明圖

假設x1,x2,x3均是非負數,由AB⊥BC,可得

即(1,a(x2+x1))·(1,a(x3+x2))=0=1+a2(x2+x1)(x3+x2)=0.

即(x2+x1)(x3+x2)<0.

所以x1,x2,x3不可能均是非負數也不可能均是非正數,即x1,x2,x3中有負數也有正數,因而x1<0

kABkBC=a2(x1+x2)(x2+x3)=-1<0.

若kAB<0,則kBC>0;

若kAB=a(x1+x2)>0,由x1<0,可得x2>0.

再由x10.總之,kBC>0.

可再設點B(p,ap2)(x1

又由兩點A,C均在拋物線y=ax2上,可得

綜上所述,可得欲證結論成立.

4 對題1(2)結論的再推廣

(1)λ(α)是增函數且值域是(0,+∞);

圖3 定理2證明圖

再由弦長公式,可得

再由結論(1),可得

k3λ(α)+2k2-2kλ(α)-1=0

?(k3-2k)λ(α)=1-2k2

?λ(k)=λ(α)

?k=α.

①

②

設矩形ABCD的面積是S,由①②,可得

a2Smin=a|AB|min·a|BC|min

進而可得欲證結論成立.

a(|AB|+|BC|)min

及定理2(2),可得欲證結論成立.

5 結束語

通過對高考試題的研究,我們可以更好地理解考試,揭示重點考查內容,從而更有效地引導教學,為高效教學提供數據支持,重視對高考試題的研究,能夠精準地捕捉命題趨勢,科學地調整教學內容.