巧借正交分解法解決高中物理力學難題

紀順田

(江蘇省建湖高級中學,江蘇 鹽城 224700)

要想正確使用正交分解法,就需要先掌握正交分解法的原理及使用步驟.我們在利用正交分解法解決力學問題時,首先需要建立平面直角坐標系,找準受力物體水平和豎直方向的力,并將其分解[1].再結合已知條件和未知問題靈活把握,綜合求解,不能做無用功,浪費時間.

1 如何構建平面直角坐標系

平面直角坐標系,顧名思義,需要在水平面上搭建.但是,在很多物理問題中,受力物體往往垂直于水平面或傾斜于水平面.那針對這些問題,我們又應該如何構建平面直角坐標系呢?下面,筆者就以具體例題為例,談談構建平面直角坐標系的方法:

例1 如圖1所示,彎折桿PRQ固定在豎直面內,PR水平,QR與PR間的夾角為60°,B球套在桿QR上,一根細線連接A、B兩球,另一根細線連接小球A與桿PR上的O點,連接在O點的細線與水平方向的夾角為60°,連接A、B兩球的細線與QR桿垂直,B球剛好不下滑.已知A球質量為2m,B球質量為m,兩小球均可視為質點,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,則小球B與桿QR間的動摩擦因數為( ).

圖1 彎折桿PRQ

解析設連接O點的細線拉力為F1,連接小球B的細線拉力為F2,對A球研究,受力分析如圖2:

圖2 對A球受力分析

構建完平面直角坐標系后,我們再開始分解F1和F2:

豎直方向上:F1cos30°=2mg+F2cos60°

水平方向上:F1sin30°=F2sin60°

解之:F2=2mg

對B球研究有:mgsin60°=μ(F2-mgcos60°)

2 使用正交分解法的步驟

(1)先對受力對象進行受力分析,畫出受力圖.需要引起同學們注意的是,有時一個題目中會有兩個受力對象,這種情況下,學生就要根據題設條件和未知數靈活分析;

對于各項績效考核指標可以采取評分制度，根據工作人員各項指標的表現進行打分，滿分為100分。如果沒有完成考核或者出現違反有關規章的行為直接扣分。

(2)以力的作用點為原點,建立平面直角坐標系;

(3)將不在坐標系上的力沿水平方向或豎直方向分解;

(4)將相同方向上的分力合并起來,一起計算并列出方程;

(5)求出合力的大小和方向.

例2如圖3,水平面上放置的是一個表面光滑的半圓柱體,將小球A置于該圓柱體上,并用水平輕彈簧拉住小球B,兩小球A、B通過光滑滑輪用輕質細線相連,兩球均處于靜止狀態.若B球質量為m,O在圓心O1的正上方,OA與豎直方向成30°,OA的長度與半圓柱體半徑相等,OB與豎直方向成45°角,重力加速度為g,要求:

圖3 球A和球B

(1)繩OB拉力FTOB和彈簧拉力F;

(2)A球的質量mA.

3 正交分解法的具體應用

3.1 求合力

圖4 石墩模型

(1)若輕繩與水平面的夾角θ為60°,輕繩對石墩的總作用力大小;

(2)輕繩與水平面的夾角為多大時,輕繩對石墩的總作用力最小,并求出該值.

解析(1)本題要求合力,故我們先對石墩受力分析可知:

Fcos60°=μ(mg-Fsin60°)

則當θ=60°時F最小,最小值為750 N.

3.2 受力平衡

若物體受到三個或三個以上的作用力,且處于平衡狀態,則我們可以采用正交分解法進行解題,不僅能提高解題速度,而且能提高解題正確率[3].假設一個物體受到了n個不同方向上的作用力,且處于平衡狀態,則我們先建立直角坐標系xOy,并將這些力分解到坐標軸上.根據物體處在平衡狀態,合外力為0的規律,我們可以沿著水平方向和豎直方向,分別建立方程F1x+F2x+F3x+…+Fnx=0以及F1y+F2y+F3y+…+Fny=0,并以此求解.

圖5 斜劈模型

A.FN>(M+m)gB.FN<(M+m)g

C.f=0 D.f≠0

3.3 受力不平衡

除了受力平衡外,正交分解法也常適用于受力不平衡的情況.當一個物體在受到n個作用力,但處于不平衡狀態時,我們同樣可以以該物體建立平面直角坐標系xOy,并將這個作用力分解到坐標軸上.則在水平和豎直方向上依據牛頓第二定律列出方程F1x+F2x+F3x+…+Fnx=max以及F1y+F2y+F3y+…+Fny=may,進而求解.

例5若用彈簧測力計與水平方向成θ角斜拉木塊,使其做勻速直線運動,如圖6所示,求f與F的大小關系.若圖中木塊改為勻加速拉動,用木塊質量m、拉力F、斜拉角度θ和加速度a表示木塊和木板間的動摩擦因數μ.

圖6 彈簧測力計測拉力

解析如圖7,當物塊勻速滑動時,則建立直角坐標系,結合平衡狀態可得:

圖7 對物塊受力分析

水平方向上:Fcosθ=f;

若木塊改為勻加速拉動,則由牛頓第二定律Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=ma,

上述三種情況是常見的力學綜合題型,也是正交分解法的適用范圍.當然,除了力學外,正交分解法也可以用于計算位移、速度及加速度等矢量.

4 結束語

總的來說,正交分解法作為高中物理的重要知識點,同學們一定要重點掌握.在日常的訓練和學習過程中也要培養自己使用正交分解法解決物理力學問題的意識.只有在日常學習中準確應用,及時總結,才能真正在考場上做到游刃有余.