再談構造法求an+1=kan+f(n)型遞推關系數列的通項

李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學,湖北 武穴 435400)

數列遞推關系是考查學生探究能力的重要載體,探究數列的性質,探究如何求數列的通項.在解答題中,擔心學生能力不足,命題者一般會設置解題坡度,學生只需按圖索驥就能解決問題.但這并不影響我們對遞推關系的研究,從簡單到復雜,不斷開拓視野,提升學生應變和解決問題的能力.形如an+1=kan+f(n)的遞推關系是一類比較常見的問題,如何求數列的通項公式,方法是多樣的.下面以系數k為第一分類標準,分別討論f(n)的常見類型,統一采取構造法,實現求數列通項的目的.

1 系數k=1的類等差型

an+1-an=f(n)是等差數列定義的升級版.當f(n)為常數時,遞推關系表明{an}就是等差數列,直接套用公式就可以得到通項.下面主要考查f(n)不為常數的情形.

1.1 f(n)為一次式,構造常數列求通項

例1 在數列{an}中,a1=1,an+1-an=7-2n,求數列{an}的通項公式.

分析我們知道,當f(n)是關于n的一次式時,通常采取疊加法求數列的通項.如果能將f(n)改寫成某個數列相鄰兩項之差,則遞推關系重組后出現相鄰兩項相等,從而得到一個常數列.設7-2n=g(n+1)-g(n),顯然,當g(n)是關于n的一次式時,g(n+1)-g(n)為常數,不符合條件,這時必需“升級”g(n)為常數項為0的二次式[1].

解析由an+1-an=7-2n,可設

an+1-[k(n+1)2+b(n+1)]=an-(kn2+bn).

則an+1-an=[k(n+1)2+b(n+1)]-(kn2+bn)=2kn+k+b.

所以2kn+k+b=7-2n,

解得k=-1,b=8.

則an+1-[-(n+1)2+8(n+1)]=an-(-n2+8n).

故數列{an-(-n2+8n)}是常數列.

所以an-(-n2+8n)=a1-(-1+8)=-6.

則an=-n2+8n-6.

小結疊加是差為一次式的遞推關系求通項的通法,雖然構造法看起來“復雜”,但如果差是二次式或更高次,除了需要應用特殊公式(如前n個正整數的平方和公式)外,構造應該是比較合理又好操作的方法.一般利用相鄰高次式相減得低次式,待定系數完成多項式的“分配”[2].

1.2 f(n)為指數式的倍數,構造常數列求通項

例2 設數列{an}滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1,則an=____.

分析由于同底數的高次冪減低次冪,結果為低次冪,因此,將指數冪的倍數分解給an+1和an,只需要配置一個系數即可.

解析由an+1-an=3·22n-1,

設an+1-k·22n+1=an-k·22n-1,

則an+1-an=k·22n+1-k·22n-1

=3k·22n-1.

所以k=1.

即an+1-22n+1=an-22n-1.

所以數列{an-22n-1}是常數列.

從而an-22n-1=a1-2=0.

即an=22n-1.

1.3 f(n)為指數式加常數,構造等差數列求通項

例3在數列{an}中,a1=1,an+1-an=2n+1,則數列{an}的通項公式是____.

分析通過疊加,借助等比數列前n項和公式是可以確定數列的通項公式,但由于指數式可以對應分解成相鄰兩項的差,因此可以構造一個等差數列.

解析因為2n=2n+1-2n,

所以由an+1-an=2n+1可得

(an+1-2n+1)-(an-2n)=1.

則數列{an-2n}是公差為1的等差數列.

因為a1-2=-1,

所以an-2n=-1+(n-1)=n-2.

則an=2n+(n-2).

1.4 f(n)為指數式加一次式,構造常數列求通項

例4 若a1=1,an+1-an=2n-n,n∈N*,則an=____.

分析雖然疊加法可求通項,但這是類型1和2的合并,因此可以構造常數列求通項.

解析因為2n=2n+1-2n,且

所以由an+1-an=2n-n,可得

2 系數k≠1的類等比型

當系數k不等于1時,遞推關系是等比數列的升級版.

2.1 f(n)為常數,構造等比數列求通項

例5 已知數列{an}中,an+1=4an-6,則an=____.

解析由an+1=4an-6,得

an+1-2=4(an-2).

當a1-2=0,即a1=2時,由遞推關系得an-2=0,所以an=2;

所以{an-2}是首項為a1-2,公比為4的等比數列.

因此an-2=(a1-2)·4n-1.

即an=(a1-2)·4n-1+2.

顯然a1=2時也符合上式.

因此,an=(a1-2)·4n-1+2.

2.2 f(n)為一次式,構造等比數列求通項

例6 已知數列{an}滿足a1=5,an+1=3an-4n+2(n∈N*).數列{bn}滿足bn=an-2n,則數列{bn},{an}的通項公式分別為____.

解析由an+1=3an-4n+2,得

an+1-2(n+1)=3[an-2n].

即bn+1=3bn.

因為b1=a1-2=3≠0,

所以數列{bn}是首項為3,公比為3的等比數列.

所以bn=3n.

從而an=3n+2n.

評析為求數列{an}的通項公式,需要對數列遞推關系式進行重構.設置數列{bn},既是解題梯度,也是構造方向.為了“處理”掉一次項,相對于系數為1的遞推關系,為什么是一次式而不是二次式,主要原因就在于系數.由于an+1和an兩項的系數不相等,因此相鄰一次項的差運算后就不會抵消掉一次項.故只需設an+1-[k(n+1)+b]=3[an-(kn+b)],待定系數得到f(n)的分解,即an+1-2(n+1)=3(an-2n)[3].

2.3 f(n)為指數式,指數式的底數與系數相等,構造等差數列求通項

例7 已知數列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,則an=____.

則an=n·3n-1.

2.4 f(n)為指數式,指數式的底數與系數不相等,構造等比數列求通項

例8 數列{an}中,已知a1=26,an=3an-1+2·5n(n∈N*,n≥2).求證:數列{an-5n+1}是等比數列.

分析當系數和冪底數不相等時,指數冪的轉化有兩種方式,一是同時除以冪,轉化為線性遞推關系,兩次轉化求解;二是分解冪,直接得到等比結構.

證法1(同除構造)等式an=3an-1+2·5n兩邊同時除以5n,得

證法2(分解構造)設an-k·5n+1=3(an-1-k·5n),則an=3an-1+2k·5n.

所以k=1.又a1-52=1,

所以{an-5n+1}是公比為3的等比數列.

所以an-5n+1=3n-1.

即an=5n+1+3n-1.

2.5 f(n)為指數式加常數,構造等差數列求通項

證明依題意,得an-1=2(an-1-1)+2n.

小結由于系數和冪底數相等,先處理常數,再采取同除構造法比較簡單;如果系數和冪底數不相等,先分解指數冪,轉化為線性遞推關系,再處理常數.

至于說f(n)的其他結構如分式,構造方式大同小異,本文不再贅述,讀者可自行參閱相關文獻.

3 結束語

關于an+1=kan+f(n)型數列遞推關系,系數k為1是等差數列升級版,系數不為1則是等比數列的升級版.等差型遞推關系一般采取疊加法,僅僅只能解決f(n)為一次式或可裂項的分式結構,等比型遞推關系一般采取累乘法,解決的類型也不多.以等差和等比數列的定義為核心,基于構造法,通過改變遞推關系式的結構,巧妙構造等差(常)數列和等比數列,實現求通項公式的自由.