空間向量基底法妙解立體幾何問題

雷 譽

(湖北省咸寧市青龍山高級中學,湖北 咸寧 437000)

利用空間向量基底法解決立體幾何問題,首先要選取合適的基向量,盡量選取長度和夾角已知的向量;其次,把要解決的立體幾何問題轉化為向量問題,通過向量的運算解決向量問題;最后,再把向量關系翻譯成幾何關系,最終解決問題.

1 求距離

例1已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,底面邊長和側棱長均為2,∠A1AB=∠A1AD=60°,則對角線AC1的長為____.

=4+4+4+2×2×2cos60°×2=20.

2 求軌跡

例2 (2023年武漢二月調考第8題)設A,B是半徑為3的球體O表面上兩定點,且∠AOB=60°,球體O表面上動點P滿足PA=2PB,則點P的軌跡長度為( ).

圖1 兩球相交的截面圖

設P(x,y),由PA=2PB,得

所求的軌跡為阿氏球C與球O的交線圓,交線圓的半徑r即為以O為圓心,3為半徑的圓與以C為圓心,2為半徑的圓的公共弦長的一半,兩圓圓心距

點評本題以阿氏圓為背景情境,過渡到阿氏球上,更加靈活,對空間想象力的要求極高.把立體幾何問題轉化為平面解析幾何問題,即把兩球相交的問題轉化為兩圓相交的問題,運算較為繁瑣.

空間向量的基本定理:已知三個非零向量a,b,c不共面,那么對于空間任意向量p,存在唯一的實數對x,y,z滿足p=xa+yb+zc.其中a,b,c為一組空間向量的基向量,叫做基底.當我們遇到某些立體幾何圖形本身沒有很明顯的垂直關系或是點坐標不易求得等問題時,不妨嘗試尋找空間中三個不共面的基向量,無需建立空間直角坐標系,通過基底法解決問題.本題的具體解法如下:

|a|=|b|=|c|=3,〈a,b〉=60°.

整理,得c·(4b-a)=27.

所以點P到4b-a方向上的距離為

點評利用基底法解題時,選取合適的基底十分關鍵,應盡可能選擇三個模長已知的向量,且向量的夾角也容易得出.本題使用向量基底法更簡潔快速,是一個出彩的方法,不容易想到,難點在于先利用數量積的幾何意義求出投影,再把點P的軌跡的圓周長的半徑轉化為距離[1].

3 證明空間的位置關系和計算空間角

圖2 四棱臺ABCD-A1B1C1D1

(1)證明:直線A1B∥平面AD1E;

(2)若CC1⊥平面ABCD,且CC1=3,求直線BB1與平面AD1E所成角的正弦值.

解法1 (1)延長D1E和DC交于點M,連接MA交BC于點N,連接D1N,如圖3.

所以CM=4=AB.

則N為BC中點.

此時A1D1∥B1C1∥BN,且A1D1=BN.

故四邊形A1BND1為平行四邊形.

所以A1B∥D1N.

又D1N?平面AD1E,A1B?平面AD1E,

所以A1B∥平面AD1E.

點評第(1)問輔助線的想法是把平面AD1E延展開來,補形成四邊形AD1EN,而這種輔助線的作法又是學生比較畏懼的.相比較而言,第(2)問三條直線兩兩垂直關系顯而易見,學生毫不費力地建立空間直角坐標系,用空間向量坐標法直接計算,第(2)問本文不再贅述.

平面向量的基本定理:如果兩個非零向量a,b不共線,那么向量c與a,b共面的充要條件是存在唯一的一對有序實數x,y,使c=xa+yb.如果平面外一條直線的方向向量可以用這個平面內不共線的兩個向量來表示,就可以判定直線和平面平行.

所以直線A1B∥平面AD1E.

設平面AD1E的法向量為n=xa+yb+zc,則

取x=-1,則z=2,y=2.

所以n=-a+2b+2c.

4 證明比例關系

例4 (2023年圓創教育三月測評第12題)如圖4,在正四面體ABCD中,棱AB的中點為M,棱CD的中點為N,過MN的平面交棱BC于點P,交棱AD于點Q,記多面體CAMPNQ的體積為V1,多面體BDMPNQ的體積為V2,則( ).

圖4 正四面體ABCD

A.直線MQ與PN平行

C.點C與點D到平面MPNQ的距離相等

D.V1=V2

所以m=n,B正確;

CD選項本文不做說明,此外也可以將正四面體放置于正方體中研究AB選項.

5 結束語

空間向量基底法是高中數學教學中的薄弱應用,往往被人忽視,如果平時不注意使用和練習,久而久之向量的思維就會固化和鈍化,以至于一說到向量法就只想到坐標法.通過以上例題的分析,利用空間向量基底法求解也是一種簡潔實用的方法,希望引起大家對這種方法的注意,加深認識和體會.