大單元指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計案例分析

劉紅霞

【摘? 要】普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)從對知識點的了解、理解和記憶提升到了對學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和對價格觀念的培育層次，這就要求教師在進行教學(xué)設(shè)計時不能只關(guān)注單一的知識點，而要引導(dǎo)學(xué)生著眼于全局，逐漸引領(lǐng)學(xué)生形成一個知識網(wǎng)絡(luò)，即要以大單元的思路設(shè)計每一節(jié)課程，對引入的每一個情境要為大單元的學(xué)習(xí)服務(wù)，從而為圓滿實現(xiàn)大單元的學(xué)習(xí)任務(wù)作好應(yīng)有的鋪墊。那么，如何在大單元指導(dǎo)下進行每一節(jié)課程的設(shè)計，則成了一線教師需要思考的問題。下面以“等比數(shù)列的前n項和”第一課時的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)劰P者對基于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)進行的“大單元”的教學(xué)設(shè)計及反思。

【關(guān)鍵詞】大單元教學(xué);初中數(shù)學(xué);教學(xué)案例

一、教材分析

從數(shù)列這一章來講，“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”“等比數(shù)列的前n項和”是相繼延續(xù)和發(fā)展的。從學(xué)生的整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程來講，“等比數(shù)列的前n項和”可以放在求“和”的大單元中。

二、學(xué)情分析

就學(xué)生而言，這是一個求“和”的問題。從已有的求“和”的經(jīng)驗來看，在此之前小學(xué)階段就有了逐項求和、歸納求和、簡便運算的方法。本章通過前幾節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握了等差數(shù)列的定義和通項公式，以及通過探究也了解和掌握了等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程，初步具備了數(shù)列的概念，也具備了一定的探究能力和運算能力，在此基礎(chǔ)上，通過“最近發(fā)展區(qū)”的衍生，在一定的引導(dǎo)和啟發(fā)下，讓學(xué)生思考如何推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式。

教學(xué)目標(biāo)

（1）在大單元“和”的引導(dǎo)下，探究并理解等比數(shù)列的前n項和公式的意義及各個要素的具體含義。同時通過對等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思維方法，并能夠利用這些公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。

（2）通過對等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)、演繹、探索、發(fā)現(xiàn)與證明過程，讓學(xué)生初步感知和理解探究的一些基本方法，如分類討論、整體消元等。

（3）在 “國王賞麥”的奇妙故事中出現(xiàn)的“和”的問題的思考中，體驗數(shù)學(xué)探究的樂趣，感知生活中蘊含的數(shù)學(xué)文化。

教學(xué)重點難點分析

教學(xué)重點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)及演繹過程，并能利用此公式針對一些具體的實際問題進行正確解答。

教學(xué)難點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程。

課堂實錄：

師：同學(xué)們，今天很榮幸和同學(xué)們度過接下來的40分鐘，今天老師帶了一個棋盤？你們看看這是什么棋盤？

師：棋盤上有多少格子？可以怎么數(shù)？

設(shè)計意圖：有些學(xué)生可能不了解國際象棋，首先我們對它有個認(rèn)識。而在數(shù)格子時我們可以大致采用二種思路：一是采用一一對應(yīng);二是斜數(shù)1+2+3+…7+8+7+6+…+2+1，這正好對應(yīng)了已學(xué)過的求“和”的方法：逐項相加、簡便運算（化加為乘），體會不同的數(shù)法對應(yīng)不同的算法，不同的算法對應(yīng)不同的運算的“繁”與“簡”。所以對一個求“和”的式子，數(shù)學(xué)運算的方法的選擇很重要。

師：歷史上還有一個關(guān)于棋盤的其妙故事呢！

情境“國王賞麥的故事” （具體故事情節(jié)此處略）

從古至今流傳著許多關(guān)于數(shù)學(xué)的奇妙故事，今天我們就看一則關(guān)于印度國王舍罕和他大臣的獎賞故事……最終國王無法兌現(xiàn)自己的獎勵承諾。

設(shè)計意圖：在“最近發(fā)展區(qū)”理念的引導(dǎo)下，通過創(chuàng)設(shè)流傳廣泛的數(shù)學(xué)小故事，激發(fā)學(xué)生積極思考的欲望，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識及類比的思維方法，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)世界的奇妙，驅(qū)動學(xué)生探究等比數(shù)列前n項和公式的原動力。同時，通過情境創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)來源于生活”“生活處處有學(xué)問”的意識，培養(yǎng)學(xué)生從生活情境中歸納推理出數(shù)學(xué)模型的能力，以及對數(shù)據(jù)進行科學(xué)分析的能力。

師：1+2+22+…+263等于多少？

設(shè)計意圖：學(xué)生感受等比數(shù)列的前n項和，揭示研究的必要性。問題拋出后，給學(xué)生時間探索，集思廣益。學(xué)生可能會談到逐項相加、歸納猜想、類比等差數(shù)列的簡便算法。

師：這是一個“和”的問題，從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)起，這并不是一個陌生的問題。那同學(xué)們打算怎么求呢？

師：很好，逐項相加確實是一種方法，但是缺點是項數(shù)多時，理論上可以操作，但是實際操作計算量太大！再想想還有沒有其他辦法？

師：嗯，這位同學(xué)說得很好，它的前n項和應(yīng)該也是一個數(shù)列，我們可以從少到多、由特殊到一般，對結(jié)果歸納（歸納）！大家試試看.

師：很好！我們剛從特殊到一般，從n=1，n=2，n=3，n=4的結(jié)果歸納出了首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前64項的和。歸納猜想是創(chuàng)新能力的一部分，但是歸納猜想的結(jié)果仍然有局限，一是如果改成公比為3，4，5呢？二是結(jié)果可靠嗎？

師：很好，確實，歸納猜想只能提供問題解決的方向，并不能真正證明。數(shù)學(xué)上的思想方法除了歸納猜想，還可以類比，我們之前學(xué)習(xí)等比數(shù)列，概念和性質(zhì)都可以類比等差數(shù)列，那么等差數(shù)列求和公式的是如何推導(dǎo)的？

設(shè)計意圖：突出等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)的本質(zhì)，揭示它的數(shù)學(xué)內(nèi)涵——利用等差數(shù)列的項的性質(zhì)化成了相等的n項的和，整體消項，構(gòu)造方程組，成功消去中間含有省略號的部分，達到了化“未知項”為“已知項”，達到了“整體消項”的目的，利用了“方程”的思想。公式將許多不定項的和變成了確定項的乘積，化多項的加法為等差數(shù)列的平均數(shù)和項數(shù)地乘法，項數(shù)變少了，運算次數(shù)變少了，方便了運算，乘法的意義也正在于此，為等比數(shù)列的求和類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)做好充分的鋪墊。

生： 倒序求和Sn=a1+a2+a3+…+an

Sn=an+an-1+an-2+…a1

師：為什么能用倒序求和呢？

生：等差的性質(zhì)a1+an=a2+an-1=…an+a1，每一組都是相等的。

師：這就成功處理了帶省略號的部分，化成了相等的n項的和，達到了化“未知項”為“已知項”，達到了“整體消項”的目的，利用了方程的思想。公式將許多不定項的和變成了確定項的乘積，化多項的加法為等差數(shù)列的平均數(shù)和項數(shù)地乘法，項數(shù)變少了，運算次數(shù)變少了。方便了運算，乘法的意義也正在于此。等比數(shù)列能否類比等差數(shù)列呢？

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生借助等比數(shù)列中的每一項乘公比2都等于后一項，構(gòu)造了相同項，兩個方程作差成功地處理中間省略號的那一部分項，輕松地達到“消項”，化“未知項”為“已知項”。

生：Sn=1+2+22+…2n-1

Sn=2n-1+2n-2+…+2+1

生：不是定值Sn=1+2+22+…2n-1

Sn=2+22+…2n-1+2n

師：很好，通過Sn=1+2+22+…2n-1乘2產(chǎn)生另一個方程，借助等比數(shù)列中的每一項乘公比2都等于后一項，構(gòu)造了相同項，兩個方程作差成功地處理中間省略號的那一部分項，輕松地達到“消項”，化“未知項”為“已知項”。為了形象直觀地看出其中的規(guī)律，我們可以將兩個式子的右邊錯開一位排列，這樣就會使兩個等式的同類項（相同項）在一列上，在進行錯位相減時就可以很容易地觀察到其差。同學(xué)們能否給它起一個名字呢？

師：很好，錯位相減法可是18世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中采用的.

師：那如果一般化呢？若將公比變?yōu)閝，項數(shù)變?yōu)閚，你覺得1+q+q2+…qn-1的結(jié)果是？

設(shè)計意圖：問題再次數(shù)學(xué)化，通過拼圖移格子，更加形象直觀地理解錯位相減，前面少一格，后面多一格。

師：大家覺得對嗎？

師：若將首項改為a1，你能計算出Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的結(jié)果嗎？

設(shè)計意圖：問題6、7是將具體數(shù)字變成字母，又由一個字母變成兩個字母的過程，是一般化、再一般化的過程。體現(xiàn)了探究數(shù)學(xué)問題的由具體到一般，再到更一般的過程。

師：那么等比數(shù)列求和公式是什么？

師：我們可以將這兩種情況寫成什么樣的形式？

師：同學(xué)們也能自己得出呢，真不錯！其他小組有沒有需要補充的或存在疑惑的？

設(shè)計意圖：學(xué)生從兩個角度對公式進行推導(dǎo)，既體會了錯位相減、整體消元的數(shù)學(xué)分析方法，讓學(xué)生體會再產(chǎn)生一個式子是為了化“繁”為“簡”，達到消省略號的目的，當(dāng)然是消去的項越多越好，所以還是乘以q是比較好。二是對q≠1這個條件。

師：大家覺得行嗎？還可以乘以什么？

師：很好，錯位相減的目的是消掉很多中間項。既然再產(chǎn)生一個式子是為了化“繁”為“簡”，達到消省略號的目的，當(dāng)然是消去的項越多越好，所以還是乘以q比較好。當(dāng)然同學(xué)們還可以嘗試其他的推導(dǎo)方法，將各自的推導(dǎo)過程展示在班級學(xué)習(xí)園地，共享探究。

師：我們在上幾節(jié)課學(xué)習(xí)了兩種形式的等差數(shù)列前n項和公式，其中一種是用首項、末項、項數(shù)來表示出公式的意義，那么同樣能夠利用這些要素（a1，q，an等）表示出等比數(shù)列的前n項和公式嗎？

設(shè)計意圖：類比等差數(shù)列的求和公式的兩種表示，讓學(xué)生感知等比數(shù)列的通項公式兩種表示，并說明每個字母的函數(shù)。

由等比數(shù)列的通項公式推出求和公式的第二種形式：當(dāng)q≠1時， S=

師：我們一起來總結(jié)上述公式的特征：（1）等比數(shù)列求和時，應(yīng)考慮q=1與q≠1兩種情況。（2）當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，分別都涉及4個量，4個量中“知三求一”。（3）等比數(shù)列通項公式結(jié)合前n項和公式涉及5個量a，q，n，a，S5個量中“知三求二”（方程思想）。

師：我們推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項和公式，那么我們就要對它加以運用，繼續(xù)回到課前的一個等比數(shù)列中來。

課堂小結(jié)

問題：本節(jié)課你有哪些收獲、體驗和感悟？

師生互動，教師總結(jié)如下：本節(jié)課是求“和”，在求“和”時方法的選擇很重要，對求和要選擇合適的算法，才能使得運算能力有提高。

設(shè)計意圖：適當(dāng)小結(jié)，在小故事上結(jié)束這堂課，首尾呼應(yīng)，同時培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，讓學(xué)生清楚會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界的重要性。

課后反思與感悟

本文從大單元“和”的視角出發(fā)，以宏觀的角度凸顯了數(shù)學(xué)“大單元”的思想，“和”是貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很重要的數(shù)學(xué)運算。本節(jié)課通過大單元設(shè)計改變了“和”的碎片化教學(xué)，實現(xiàn)了原有知識和現(xiàn)有知識的對接。本節(jié)課教學(xué)設(shè)計的載體為問題情境，其核心是以激發(fā)學(xué)生的思維為主導(dǎo)，從而進行數(shù)據(jù)分析，最終獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。