廣角衍射光學元件的優化設計

楊亮亮，劉成林，趙勇兵，沈法華，趙 琪，劉建利

〈系統與設計〉

廣角衍射光學元件的優化設計

楊亮亮，劉成林，趙勇兵，沈法華，趙 琪，劉建利

（鹽城師范學院 物理與電子工程學院，江蘇省智能光電器件與測控工程研究中心，江蘇 鹽城 224007）

為進一步研究入射角度的增大對衍射光學元件（diffractive optical element, DOE）衍射效率及微結構高度等參數的影響，分析了入射角度和周期寬度對帶寬積分平均衍射效率的影響。基于擴展標量衍射理論，建立了DOE的微結構高度與入射角度和周期寬度的數學模型，提出了工作在一定入射角度范圍內，基于復合帶寬積分平均衍射效率（comprehensive polychromatic integral diffraction efficiency, CPIDE）最大化實現設計波長和微結構高度等結構參數的優化設計方法。以工作在紅外波段的DOE為例進行分析。結果表明：當相對周期寬度為20，入射角度范圍為0°～40°時，該DOE的CPIDE為94.15%，微結構高度為1.3396mm。該設計方法可以實現廣角DOE的優化設計。

衍射光學元件；衍射效率；微結構高度；入射角度

0 引言

近年來，鑒于衍射光學元件能夠為系統提供一定的設計自由度，被廣泛地應用于各種光學系統中，如成像系統、光束整形系統、復眼和3D顯示等[1-5]。衍射效率和帶寬積分平均衍射效率（polychromatic integral diffraction efficiency，PIDE）是決定DOE工作波段的重要參數。DOE的衍射效率對入射角度具有一定的依賴性。入射角度的增大會降低其衍射效率，進一步影響折衍混合光學系統的成像質量。

目前，成像光學系統中的DOE都是利用標量衍射理論（scalar diffraction theory，SDT）進行設計的，但該理論沒有考慮入射角度對微結構高度的影響[6]。隨著微結構表面入射角的增大，DOE的衍射效率會不斷下降[7-8]。當微結構高度和波長處于同一數量級時，采用SDT計算衍射效率的準確度會大幅度下降，此時可以利用矢量衍射理論（vector diffraction theory，VDT）進行分析計算[9-12]。但是，VDT很難通過優化設計微結構高度等參數實現衍射效率的最大化。擴展標量衍射理論（extended scalar diffraction theory，ESDT）考慮了入射角度這一參數，其計算結果要比SDT更加精確，能夠簡化VDT的計算時間，并實現DOE的優化設計[13]。對于工作在可見光波段的雙層DOE，文獻[14]討論了基于SDT和VDT計算的入射角度對衍射效率的影響。文獻[15]基于ESDT討論了周期寬度對微結構高度和PIDE的影響，但并沒有給出DOE結構參數的優化設計。對于工作在一定入射角度范圍內的DOE，基于ESDT對PIDE的優化設計未見報道。

本文基于ESDT，提出了工作在一定入射角度范圍內，基于復合帶寬積分平均衍射效率（comprehensive PIDE，CPIDE）最大化實現DOE設計波長、微結構高度等結構參數的優化設計方法。以工作在紅外波段的DOE為例進行了分析與討論。該方法可以實現工作在一定入射角度范圍內的DOE結構參數的優化設計，特別是在相對周期寬度不是很大的情況下。

1 理論模型

當光線以入射角傳播到DOE的微結構上時，如圖1所示，根據衍射光柵公式，得到DOE的衍射光柵方程為：

(rsind－isin)＝(1)

式中：為光柵周期；i與r分別為相應介質材料在波長時的折射率；d為衍射角；為衍射級次。依據Snell折射定律，考慮衍射微結構對光線傳播的影響，有：

isin(＋)＝rsin(r＋) (2)

圖1 光線經過DOE的傳播模型

式中：為微結構表面的傾角，tan＝/，r為折射角。當衍射角等于折射角，即r＝d時，第衍射級次的衍射效率最大。利用公式(1)和(2)，得到DOE的表面微結構高度為：

由公式(3)可知，當衍射面兩端介質材料確定后，DOE的微結構高度與波長、入射角度和周期寬度有關。當DOE工作在正入射的狀態下，微結構高度可以表示為：

當周期寬度遠大于波長并且光線正入射時，得到基于SDT的DOE的微結構高度為：

可見，基于SDT，當介質材料和衍射級次確定后，微結構高度僅由設計波長0決定。

基于ESDT，斜入射時DOE的衍射效率為：

利用公式(3)和(6)可以計算周期寬度和入射角度對DOE衍射效率的影響。若把公式(6)中的換成SDT0即得到SDT的計算結果。

若DOE工作在min～max波段范圍時，其PIDE為：

要基于PIDE的最大化確定微結構高度的大小，需要利用公式(7)，在周期寬度已知的前提下，確定公式(3)中的設計波長0和設計入射角度0，即可計算得到微結構高度0，即：

若工作在成像光學系統中的DOE，其入射角度范圍為min～max，則DOE在整個工作入射角度范圍內的CPIDE為：

若DOE工作在幾個分離的入射角度范圍內，如變焦系統，則其CPIDE為：

式中：min和max分別表示第個入射角范圍的最小和最大入射角；為第個入射角范圍的權重；表示總的入射角范圍數量。

2 基于SDT的仿真與分析

以工作在紅外波段1.4～2.2mm的DOE為例，基底材料采用硫化鋅，衍射級次＝1。假設光束從空氣介質入射到衍射基底，如圖2所示為基于SDT計算得到的正入射時DOE的PIDE與波長的關系。在整個波段范圍內，PIDE最高為94.47%，此時對應的峰值波長為設計波長，即1.7410mm，利用公式(5)計算得到微結構高度SDT0為1.3726mm。

圖2 正入射時的PIDE與波長的關系

當入射角度分別為20°和40°時，DOE的衍射效率與波長的關系如圖3所示。正入射時，在設計波長處的衍射效率為100%，最低衍射效率為81.07%。隨著入射角度的增大，100%衍射效率對應的設計波長向長波方向移動；而且在工作波段范圍內的最低衍射效率呈現快速下降的變化趨勢。

圖4給出了PIDE與入射角度的關系。當入射角度分別為20°、40°和60°時，DOE在整個波段的PIDE分別為94.27%、91.13%%和78.05%。假設各個視場的權重相同，當DOE分別工作在0°～20°、0°～40°和0°～60°入射角度范圍內時，利用公式(10)計算得到CPIDE分別為94.43%、93.81%和91.13%。可見，基于正入射計算得到的微結構高度，隨著入射角度或入射角度范圍的增大，對應的PIDE或CPIDE逐漸減小。

圖3 衍射效率與波長的關系

圖4 PIDE與入射角度的關系

3 基于ESDT的仿真與分析

基于ESDT，首先分析周期寬度和入射角度對DOE微結構高度的影響；然后，分析一定的周期寬度和不同入射角度時DOE的衍射效率；最后，基于CPIDE最大化實現微結構高度等結構參數的優化設計。

3.1 微結構高度的分析

由公式(3)可知，DOE的微結構高度的大小與周期寬度和入射角度有關。當入射角度分別為0°、20°、40°和60°時，DOE的微結構高度與相對周期寬度（周期寬度與波長1.7410mm的比值）的關系如圖5所示。正入射時，當相對周期寬度為5時，衍射微結構高度為1.3758mm，與SDT0相比，增大了0.0032mm。如表1所示，當入射角度為40°時，相對周期寬度分別為10或無窮大時，對應的微結構高度分別為1.2511mm和1.2355mm，與SDT0相比，分別減小了8.85%和9.99%。如圖5和表1所示，當入射角度或者相對周期寬度改變時，基于ESDT計算得到的微結構高度與SDT的偏差不同。所以，當入射角度較大時，需要考慮入射角度和相對周期寬度對微結構高度的影響。

圖5 微結構高度與周期寬度的關系

表1 微結構高度與周期寬度的關系

3.2 斜入射時的仿真與分析

當相對周期寬度確定為20時，在上述4個入射角度情況下，DOE的PIDE與波長的關系如圖6所示。隨著入射角度的增大，PIDE最大值對應的峰值設計波長向短波方向移動。利用公式(4)計算得到微結構高度如表2所示。伴隨著設計波長的減小，微結構高度隨入射角度的增大也減小。

圖6 不同入射角度時PIDE與波長的關系

表2 基于帶寬積分平均衍射效率最大化確定的結構參數

利用上述計算得到的設計波長和微結構高度，計算DOE的衍射效率如圖7所示。入射角度為20°時，采用SDT和ESDT設計時的DOE在整個工作波段范圍內的衍射效率圖7(a)所示，衍射效率最小值分別為76.18%和81.65%，提高了5.47%。當入射角度分別增大到40°和60°時，如圖7(b)、(c)所示，衍射效率最小值分別從59.25%增大到81.17%，從29.39%增大到81.21%，分別提高了21.92%和51.82%。可見，當入射角度偏離正入射時，利用基于ESDT計算得到的設計波長和微結構高度能夠顯著提高衍射效率。

圖7 衍射效率與波長關系的對比

3.3 一定入射角度范圍工作時的仿真與分析

同樣假設DOE的相對周期寬度確定為20，當DOE工作時的入射角度范圍為0°～20°，并假設各個視場的權重因子相同，DOE的PIDE與波長和入射角度的關系如圖8所示，基于CPIDE的最大化（94.45%），得到設計波長為1.73mm，設計角度為8.25°，進一步計算得到DOE的微結構高度為1.3615mm。若DOE工作的入射角度范圍增大到0°～40°或0°～60°時，其微結構高度和CPIDE等參數如表3所示。可見，隨著DOE衍射面入射角度范圍的增大，其微結構高度和CPIDE都逐漸減小。

圖8 一定周期寬度時的PIDE與入射角度和波長的關系

表3 基于帶寬積分平均衍射效率最大化確定的結構參數

4 結論

本文基于ESDT，建立了DOE的微結構高度與入射角度、周期寬度的數學關系模型，提出了工作在一定入射角度范圍內，基于CPIDE最大化實現設計波長和微結構高度等結構參數的優化設計方法。對工作在紅外波段的DOE進行仿真分析。當入射角度為40°時，對比SDT，基于ESDT計算得到的在工作波段范圍內衍射效率的最小值提高了29.39%；當DOE工作在0°～40°范圍內時，通過優化設計得到微結構高度為1.3396mm，CPIDE為94.15%。隨著DOE在各類光學系統中的廣泛應用，該方法為工作在較大入射角度范圍內DOE的優化設計提供了理論依據。

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Optimal Design of Wide Angle Diffractive Optical Element

YANG Liangliang，LIU Chenglin，ZHAO Yongbing，SHEN Fahua，ZHAO Qi，LIU Jianli

( Jiangsu Province Intelligent Optoelectronic Devices and Measurement-Control Engineering Research Center, School of Physics and Electronics Engineering, Yancheng Teachers University, Yancheng 224007, China)

The influence of the incident angle on the diffraction efficiency and microstructure height of the diffractive optical element (DOE) was analyzed to further study the influence of the incident angle and period width on the polychromatic integral diffraction efficiency (PIDE). Based on the extended scalar diffraction theory (ESDT), a mathematical model of the relationship among the microstructure height, incident angle, and period width of the DOE was established. An optimal design method for structural parameters, such as the design wavelength and microstructure height, was proposed based on maximizing the comprehensive PIDE (CPIDE) within a certain range of incident angles. A DOE operating within the infrared waveband was considered as an example. The results indicate that when the relative period width is 20 and the incidence angle range is 0° to 40°, the CPIDE of the DOE is 94.15%, and the microstructure height is 1.3396mm. This design method can realize the optimal design of a wide-angle DOE.

diffractive optical element, diffraction efficiency, microstructure height, incident angle

O436

A

1001-8891(2024)03-0256-05

2023-02-15；

2023-03-31.

楊亮亮（1986-），女，博士，副教授，主要從事衍射光學和光學設計方面的研究。E-mail: yang_liangliang@163.com。

國家自然科學基金（61904158）；江蘇省智能光電器件與測控工程研究中心開放基金（306054014）；江蘇省重點研發計劃-社會發展項目（BE2021685）江蘇省自然科學基金面上項目（BK20201475）。