讓數學學習在真實情境中發生
——以蘇科版數學教材八（上）“平面直角坐標系”單元教學為例

■唐 莉

一、教材、學情分析

平面直角坐標系的建立，使平面上的點和有序實數對建立了一一對應關系，是后續研究函數性質，函數與方程、不等式關系的基礎。學生學過數軸，知道直線上的點與實數的對應關系，對“用數對表示具體情境中物體的位置”有一定的了解，但從一維到二維，本章內容對學生的數學抽象能力、數學表達能力、研究方法的遷移能力有較高要求，需要教師進行適時引導。

二、教學目標

經歷從具體實際問題抽象出數學模型——平面直角坐標系的過程，理解建立平面直角坐標系的必要性，促進抽象思維和數學高階思維的發展，培養合作意識、問題意識、應用意識，進一步體會類比、數形結合等思想。

三、教學重難點

重點：理解平面直角坐標系及其相關概念，體會平面直角坐標系中的點與坐標的一一對應關系；難點：理解建立平面直角坐標系的必要性。

四、教學片段

1.新課引入

首先，請學生觀看視頻。視頻中，機械手將一件件元器件準確送入芯片的相應位置。

師：工程師是如何向機械手下達命令的呢？

教師引導學生將芯片抽象成一個長方形，將元器件的位置抽象成一個點。這個實際問題就可以抽象成數學問題：如何描述點P在長方形OBCD中的位置？如圖1。

圖1

【設計意圖】通過視頻，創設真實情境，激發學生學習的主動性和積極性，說明建立平面直角坐標系的必要性、合理性；將現實問題抽象為數學問題，讓學生體會如何用數學的眼光觀察世界，發展學生的抽象能力。

2.建立模型，形成概念

問題1 如何描述點P在長方形OBCD中的位置呢？

學生先獨立思考，再組內交流。教師隨機抽選一名學生上臺展示，其他學生可隨時提問。

生：過點P作PM⊥OD，量出PM的長度就可以確定點P的位置。

師：大家同意嗎？

生：我們小組不同意。到OM的距離為此長度的點有無數個，所以只有這一個數值不能確定點P的位置。可以過點P作PM⊥OD，PN⊥OB，如圖2，量出PM、PN的長，由這兩個數值就可以確定點P的位置。

圖2

師：大家還有其他方法嗎？

生：我們小組受方向角的啟發，認為連接OP，再量出∠BOP的度數，如圖3，由OP的長度和∠BOP的度數這兩個數值就可以確定點P的位置。

圖3

師：只有點P到點O的距離，可以確定點P的位置嗎？只有∠BOP的度數，可以確定點P的位置嗎？

學生通過討論發現：只用一個數值無法確定點P在長方形OBCD中的位置，要確定點P在長方形OBCD中的位置，至少需要兩個數值。

問題2 生活中有許多需要兩個數值確定物體位置的例子，你能列舉一些嗎？

學生舉例。教師引導學生分析所舉事例，類比數軸上確定直線上的點的方法，給出有序數對的概念。

問題3 如果點Q在直線OD的左邊，如何描述點Q的位置？

學生形成認知沖突，教師引導學生用有序數對描述點Q的位置。

問題4 如何確定平面內點P的位置？

教師引導學生探究如何才能更方便、快捷、容易統一標準地表示平面內點的位置，自然地構建平面直角坐標系的概念。此過程中可以滲透數學史相關內容的介紹。

【設計意圖】以問題驅動的方式，引導學生探索發現確定點P在長方形OBCD中的位置需要兩個數值，感受有序數對在實際生活中的應用，類比數軸上確定直線上的點的方法，結合對有序數對的認識，構建平面直角坐標系。學生面對復雜問題能主動簡化或調取已有的研究經驗，并從已有經驗中獲取有價值的信息，提升了分析問題、解決問題的能力，發展了數學思維。

3.類比學習，探究新知

教師引導學生描述平面直角坐標系，深刻理解平面直角坐標系的含義。水平的數軸稱為x軸或橫軸，一般取向右方向為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，一般取向上方向為正方向。兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點，記為點O。

問題5 如圖4，在平面直角坐標系中，你能表示點E的位置嗎？

圖4

師生共同完成“由點寫坐標”任務。

師：已知有序數對（3，2），你能畫出它表示的點的位置嗎？

師追問：你能表示點B、C、D的坐標嗎？

練一練：在平面直角坐標系中，畫出下列各點：F（-3，2）、G（-3，-2）、H（3，-2）。

問題6 類似于數軸上點與坐標的關系，坐標平面內的點與坐標又有什么關系呢？

【設計意圖】以上環節設計了兩個活動：由點寫坐標，由坐標描點。旨在通過作圖，加深學生對點與坐標一一對應的理解，讓學生從已有認知——數軸與實數的關系，聯想到坐標平面內的點與有序實數對的關系，降低教學難度，突出教學重點，促進知識的有效遷移。

4.觀察發現，拓展延伸

問題7 觀察以上平面直角坐標系中畫出的點，你有哪些發現？

學生觀察發現象限點的坐標特征、平移點的坐標特征、對稱點的坐標特征、坐標與距離的關系，甚至還能發現G、O、E、C四點在同一條直線上，E、F、G、H四點共圓。隨后，教師幫助學生建構知識結構，引導學生體會在平面直角坐標系中，點的坐標不僅具有定位功能，還能刻畫圖形的位置、大小和形狀特征。

問題8 現在你知道工程師是如何向機械手下達命令的吧？

生：工程師在長方形芯片中建立一個平面直角坐標系，編輯程序，輸入元器件所在位置的點的坐標，機械手就可以通過坐標找到位置。

【設計意圖】學生通過開放性問題，了解了知識的來龍去脈，進而構建知識體系，培養了系統化和結構化思維，同時體會到在平面直角坐標系中，點的坐標不僅具有定位功能，還能刻畫圖形的大小和形狀特征。問題8 旨在解決課堂一開始提出的問題，讓學生再次感受數學來源于生活，又服務于生活。

5.反思小結，知識展望

問題9 我們這節課學了什么？為什么學呢？以后我們還要學什么？

【設計意圖】用大觀念、大問題、大任務來組織學生的單元學習。教師通過小結，幫助學生梳理本節課所學內容，回顧平面直角坐標系的學習過程，體會類比、數形結合的數學思想，感受建立平面直角坐標系的必要性和應用價值，促進學生對平面直角坐標系的進一步研究，讓學生的思維從一維空間，到二維空間，再到三維空間，不斷發展。課堂結束后，教師可布置一道項目化作業供學生探究。

五、教學反思

本節課旨在讓學生從整體和內部規律上系統掌握平面直角坐標系的知識，再現“如何想到用平面直角坐標系來描述物體（點）的位置”，即平面直角坐標系的生成過程。

在此過程中，筆者通過合適的主題整合教學內容，幫助學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，培養數學思維。課堂開始，筆者利用視頻創設真實問題情境，激發學生學習的主動性和積極性，讓學生體會新知識是根據生活需要而產生的，從而說明建立平面直角坐標系的必要性以及合理性；隨后，設置任務來驅動學生學習，設計問題來啟迪學生思維，引導學生獨立思考、合作探究，探索發現確定點P在長方形OBCD中的位置需要兩個數值，這樣的探究就顯得很自然。為避免“類似于數軸確定直線上點的位置，能不能找到一種方法確定平面內的點的位置”這類問題帶來的突兀感，筆者滲透了類比思想，讓學生構建平面直角坐標系的生長過程。學生在對問題深入、持續的探索過程中，培養了高階思維能力，實現了深度學習。